MathSups - Fonctions - Continuité des fonctions

Exercice 1

Rendre une fonction continue en un point

Énoncé

On définit la fonction $f$ par morceaux.

Pour $x\ne 1$, $f(x)=\dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$, et $f(1)=a$.

1. Simplifier $f(x)$ lorsque $x\ne 1$.

2. Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $1$.

3. Déterminer la valeur de $a$ pour que $f$ soit continue en 1.

Corrigé détaillé

Question 1

Simplifier l'expression

On factorise le numérateur avec une identité remarquable.

x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) pour x différent de 1, f(x) = ((x - 1)(x + 1))/(x - 1) pour x différent de 1, f(x) = x + 1

Autour de $1$, la fonction se comporte comme $x\mapsto x+1$.

Question 2

Calculer la limite en 1

On utilise l'expression simplifiée, valable pour x différent de 1.

\lim_{x\to 1} f(x) = \lim_{x\to 1} (x + 1)\lim_{x\to 1} f(x) = 1 + 1\lim_{x\to 1} f(x) = 2

La limite de f en 1 vaut 2.

Question 3

Choisir la bonne valeur de a

Pour être continue en 1, la valeur f(1) doit être égale à la limite en 1.

f(1) = a\lim_{x\to 1} f(x) = 2f continue en 1 <=> a = 2

Il faut choisir $a=2$.

Exercice 2

Existence d'une racine carrée

Énoncé

On considère la fonction $p$ définie sur $[1 ; 2]$.

Pour tout $x\in[1 ; 2]$, $p(x)=x^2-2$.

1. Justifier que $p$ est continue sur $[1 ; 2]$.

2. Montrer que l'équation $p(x)=0$ admet une solution dans $[1 ; 2]$.

3. Encadrer cette solution entre deux dixièmes.

Corrigé détaillé

Question 1

Justifier la continuité

Une fonction polynomiale est continue sur tout intervalle de $\mathbb{R}$.

p(x) = x^2 - 2 p est une fonction polynomiale p est continue sur [1 ; 2]

La continuité sur l'intervalle est acquise.

Question 2

Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires

On vérifie que les valeurs aux bornes ont des signes opposés.

p(1) = 1^2 - 2 p(1) = -1 p(2) = 2^2 - 2 p(2) = 2 p(1) < 0 et p(2) > 0

L'équation $p(x)=0$ admet au moins une solution dans $[1 ; 2]$.

Question 3

Encadrer la solution

On calcule deux valeurs proches pour localiser la racine.

p(1.4) = 1.4^2 - 2 p(1.4) = -0.04 p(1.5) = 1.5^2 - 2 p(1.5) = 0.25

La solution appartient à l'intervalle $[1.4 ; 1.5]$.

Exercice 3

Continuité et solution unique

Énoncé

On considère la fonction $h$ définie sur $[0 ; 1]$.

Pour tout $x\in [0 ; 1]$, $h(x)=x^3+x-1$.

1. Justifier que $h$ est continue sur $[0 ; 1]$.

2. Montrer que l'équation $h(x)=0$ admet au moins une solution dans $[0 ; 1]$.

3. Montrer que cette solution est unique et l'encadrer entre deux dixièmes.

Corrigé détaillé

Question 1

Justifier la continuité

Une fonction polynomiale est continue sur $\mathbb{R}$, donc sur tout intervalle inclus dans $\mathbb{R}$.

h(x) = x^3 + x - 1 h est une fonction polynomiale h est continue sur R donc h est continue sur [0 ; 1]

La continuité sur [0 ; 1] est établie.

Question 2

Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires

On calcule les valeurs aux bornes et on cherche un changement de signe.

h(0) = 0^3 + 0 - 1 h(0) = -1 h(1) = 1^3 + 1 - 1 h(1) = 1 h(0) < 0 et h(1) > 0

Par continuité, l'équation $h(x)=0$ admet au moins une solution dans $[0 ; 1]$.

Question 3

Montrer l'unicité et encadrer

On montre que h est strictement croissante, puis on calcule deux valeurs proches.

h'(x) = 3x^2 + 1 pour tout x dans [0 ; 1], h'(x) > 0 h est strictement croissante sur [0 ; 1] h(0.6) = 0.6^3 + 0.6 - 1 = -0.184 h(0.7) = 0.7^3 + 0.7 - 1 = 0.043

La solution est unique et appartient à l'intervalle $[0.6 ; 0.7]$.

Exercice 4

Prolongement continu de x ln(x)

Énoncé

On définit une fonction $f$ sur $[0 ; +\infty[$.

Pour $x>0$, $f(x)=x\ln(x)$, et $f(0)=a$.

1. Déterminer la limite de $x\ln(x)$ lorsque $x$ tend vers $0^+$.

2. Trouver la valeur de $a$ qui rend $f$ continue en $0$.

3. Justifier la continuité de $f$ sur $[0 ; +\infty[$.

Corrigé détaillé

Question 1

Transformer la limite

On réécrit le produit sous forme de quotient pour utiliser une croissance comparée.

x ln(x) = ln(x)/(1/x)\lim_{x\to 0^+} ln(x)/(1/x) = 0\lim_{x\to 0^+} x ln(x) = 0

La limite à droite en $0$ vaut $0$.

Question 2

Choisir la bonne valeur

Pour être continue en $0$, la valeur de la fonction doit être égale à la limite à droite.

f(0) = a\lim_{x\to 0^+} f(x) = 0a = 0

Il faut choisir $a=0$.

Question 3

Conclure sur la continuité

On sépare le point $0$ et l'intervalle ouvert où l'expression est classique.

sur ]0 ; +∞[, x -> x ln(x) est continue\lim_{x\to 0^+} f(x) = f(0)f est continue sur [0 ; +∞[

Avec $a=0$, la fonction est continue sur tout son domaine.

Exercice 5

Paramètre de continuité

Énoncé

On définit la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}$ si $x\ne 2$, et $f(2)=a$.

1. Simplifier $f(x)$ pour $x\ne 2$.

2. Déterminer la valeur de $a$ pour que $f$ soit continue en $2$.

3. Avec cette valeur de $a$, préciser l'expression simple de $f$ sur $\mathbb{R}$.

Corrigé détaillé

Question 1

Simplifier hors du point délicat

On factorise le numérateur pour faire apparaître le facteur commun.

Dans cette question, on suppose $x\ne 2$ afin de pouvoir simplifier par $x-2$.

x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) f(x) = ((x - 2)(x + 2))/(x - 2) f(x) = x + 2

Hors de $2$, la fonction se comporte comme la fonction affine $x\mapsto x+2$.

Question 2

Imposer la continuité

La continuité en $2$ impose que la valeur $f(2)$ soit égale à la limite en $2$.

f(2) = a

D'après la forme simplifiée, $\lim_{x\to 2}f(x)=\lim_{x\to 2}(x+2)=4$.

Il faut choisir $a=4$.

Question 3

Écrire la fonction prolongée

Avec $a=4$, la valeur au point $2$ co�ncide avec l'expression affine.

f(2) = 4 2 + 2 = 4 pour tout x, f(x) = x + 2

Le prolongement continu est la fonction $x\mapsto x+2$.

Exercice 6

Existence et unicité par continuité

Énoncé

On considère la fonction $h$ définie sur $[0 ; 1]$ par $h(x)=e^{x}-3x$.

1. Montrer que l'équation $h(x)=0$ admet au moins une solution sur $[0 ; 1]$.

2. Montrer que cette solution est unique.

3. Donner un encadrement de cette solution à $0,1$ près.

Corrigé détaillé

Question 1

Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires

La fonction $h$ est continue comme somme de fonctions continues.

h(0) = e^{0} - 0h(0) = 1h(1) = e - 3e - 3 < 0

Comme $h(0)>0$ et $h(1)<0$, il existe au moins une solution dans $]0 ; 1[$.

Question 2

Prouver l'unicité

On étudie le signe de la dérivée sur l'intervalle.

h'(x) = e^{x} - 3sur [0 ; 1], e^{x} <= ee < 3h'(x) < 0

La fonction $h$ est strictement décroissante, donc l'équation $h(x)=0$ admet une seule solution.

Question 3

Encadrer la solution

On teste deux valeurs décimales autour du changement de signe.

h(0.6) = e^{0.6} - 1.8h(0.6) > 0h(0.7) = e^{0.7} - 2.1h(0.7) < 0

La solution unique $\alpha$ vérifie $0,6<\alpha<0,7$.

Exercice 7

Raccord avec l'exponentielle

Énoncé

On définit une fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ de la façon suivante.

Pour $x\ne 0$, $f(x)=\dfrac{e^x-1}{x}$, et $f(0)=a$.

1. Interpréter le quotient $\dfrac{e^x-1}{x}$ comme un taux d'accroissement.

2. Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$.

3. Déterminer la valeur de $a$ pour que $f$ soit continue en $0$.

Corrigé détaillé

Question 1

Reconnaître un taux d'accroissement

On utilise la fonction exponentielle $\varphi(x)=e^x$ au voisinage de $0$.

varphi(x) = e^x varphi(0) = 1 (e^x - 1)/x = (varphi(x) - varphi(0))/(x - 0)

Le quotient est donc le taux d'accroissement de $\varphi$ entre $0$ et $x$.

Sa limite est la dérivée de $\varphi$ en $0$.

Question 2

Utiliser la dérivée en zéro

La dérivée de $e^x$ est encore $e^x$.

varphi'(x) = e^x varphi'(0) = e^0 varphi'(0) = 1 f(x) -> 1

On a donc $\lim_{x\to 0}f(x)=1$.

La limite à gauche et à droite vaut $1$.

Question 3

Imposer la continuité

La continuité en $0$ demande que la valeur de la fonction soit égale à la limite.

f(0) = a limite en 0 = 1 a = 1

La fonction $f$ est continue en $0$ uniquement pour $a=1$.

Exercice 8

Raccord logarithmique en un point

Énoncé

On définit une fonction $g$ sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$.

Pour $x\ne 1$, $g(x)=\dfrac{\ln(x)}{x-1}$, et $g(1)=b$.

1. Reconnaître le quotient comme un taux d'accroissement.

2. Calculer la limite de $g(x)$ lorsque $x$ tend vers $1$.

3. Choisir $b$ pour rendre $g$ continue en $1$.

Corrigé détaillé

Question 1

Relier le quotient à la fonction logarithme

On observe la fonction $\psi(x)=\ln(x)$ au voisinage de $1$.

psi(x) = ln(x) psi(1) = ln(1) psi(1) = 0 ln(x)/(x - 1) = (psi(x) - psi(1))/(x - 1)

Le quotient est le taux d'accroissement de $\psi$ entre $1$ et $x$.

Question 2

Passer à la limite

La limite du taux d'accroissement est la dérivée de $\ln$ en $1$.

psi'(x) = 1/x psi'(1) = 1 g(x) -> 1

Ainsi, $\lim_{x\to 1}g(x)=1$.

La limite de $g(x)$ en $1$ vaut $1$.

Question 3

Choisir la valeur de raccord

Pour être continue, la fonction doit prendre en $1$ la valeur de sa limite.

g(1) = b limite en 1 = 1 b = 1

La valeur qui rend $g$ continue en $1$ est $b=1$.