MathSups - Fonctions

Exercice 1

Convexité d'un polynôme de degré 3

Énoncé

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$.

Pour tout réel $x$, $f(x)=x^3-3x^2+2$.

1. Calculer $f'(x)$ puis $f''(x)$.

2. Étudier la convexité de $f$ sur $\mathbb{R}$.

3. Déterminer le point d'inflexion de la courbe de $f$.

Corrigé détaillé

Question 1

Calculer les dérivées

On dérive terme à terme.

f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 f'(x) = 3x^2 - 6x f''(x) = 6x - 6 f''(x) = 6(x - 1)

La dérivée seconde est $f''(x)=6(x-1)$.

Question 2

Lire le signe de f''

La convexité se lit avec le signe de la dérivée seconde.

f''(x) < 0 <=> x < 1 f''(x) = 0 <=> x = 1 f''(x) > 0 <=> x > 1

La fonction $f$ est concave sur $]-\infty ; 1]$ et convexe sur $[1 ; +\infty[$.

Question 3

Déterminer le point d'inflexion

Un changement de signe de f'' donne un point d'inflexion.

f'' change de signe en x = 1 f(1) = 1^3 - 3*1^2 + 2 f(1) = 0

La courbe de $f$ admet un point d'inflexion de coordonnées $(1 ; 0)$.

Exercice 2

Convexité et inégalité

Énoncé

On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$.

Pour tout réel $x$, $g(x)=e^{x}-\dfrac{x^2}{2}$.

1. Calculer $g''(x)$.

2. Étudier la convexité de $g$ sur $\mathbb{R}$.

3. En déduire une inégalité simple valable pour $x\ge 0$.

Corrigé détaillé

Question 1

Calculer la dérivée seconde

On dérive deux fois la fonction donnée.

g(x) = e^{x} - x^2/2g'(x) = e^{x} - xg''(x) = e^{x} - 1

On obtient $g''(x)=e^{x}-1$.

Question 2

Étudier le signe de g''

On compare $e^{x}$ à $1$.

e^{x} < 1 <=> x < 0e^{x} = 1 <=> x = 0e^{x} > 1 <=> x > 0sur ]-∞ ; 0[, g''(x) < 0sur ]0 ; +∞[, g''(x) > 0

La fonction $g$ est concave sur $]-\infty ; 0]$ et convexe sur $[0 ; +\infty[$.

Question 3

Utiliser la tangente en 0

Sur un intervalle de convexité, la courbe est au-dessus de ses tangentes.

g(0) = e^{0} - 0^2/2 = 1g'(0) = e^{0} - 0 = 1la tangente en 0 a pour équation y = x + 1pour x >= 0, g(x) >= x + 1

Pour tout $x\ge 0$, on a $e^{x}-\dfrac{x^2}{2}\ge x+1$.

Exercice 3

Convexité d'une fonction quartique

Énoncé

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$.

Pour tout réel $x$, $f(x)=x^4-4x^2$.

1. Calculer $f''(x)$.

2. Étudier la convexité de $f$.

3. Déterminer les abscisses des points d'inflexion.

Corrigé détaillé

Question 1

Calculer la dérivée seconde

On dérive deux fois le polynôme.

f'(x) = 4x^3 - 8x f''(x) = 12x^2 - 8 f''(x) = 4(3x^2 - 2)

Le signe de $f''$ dépend de $3x^2-2$.

Question 2

Étudier le signe de f''

On résout l'inéquation portant sur $x^2$.

f''(x) = 0 <=> 3x^2 - 2 = 0 x^2 = 2/3 x = -sqrt(2/3) ou x = sqrt(2/3) f''(x) > 0 <=> x^2 > 2/3 f''(x) < 0 <=> x^2 < 2/3

La fonction est convexe à l'extérieur de $[-\sqrt{2/3} ; \sqrt{2/3}]$ et concave à l'intérieur.

Question 3

Repérer les changements de convexité

Un point d'inflexion apparaît lorsque $f''$ change de signe.

f'' change de signe en -sqrt(2/3) f'' change de signe en sqrt(2/3)

Les abscisses des points d'inflexion sont $-\sqrt{2/3}$ et $\sqrt{2/3}$.

Exercice 4

Concavité du logarithme

Énoncé

On considère la fonction $g$ définie sur $]0 ; +\infty[$.

Pour tout $x>0$, $g(x)=\ln(x)$.

1. Calculer $g''(x)$.

2. Étudier la convexité de $g$.

3. Utiliser la tangente en $1$ pour retrouver une inégalité.

Corrigé détaillé

Question 1

Calculer les dérivées

On dérive le logarithme sur son domaine.

g'(x) = 1/x g''(x) = -1/x^2

Pour $x>0$, la dérivée seconde est toujours négative.

Question 2

Conclure sur la concavité

Le signe de $g''$ donne la convexité ou la concavité.

sur ]0 ; +\infty[, x^2 > 0 sur ]0 ; +\infty[, -1/x^2 < 0 g''(x) < 0

La fonction $g$ est concave sur $]0 ; +\infty[$.

Question 3

Utiliser la tangente en 1

Une courbe concave est située sous ses tangentes.

g(1) = ln(1) g(1) = 0 g'(1) = 1 la tangente en 1 a pour équation y = x - 1 ln(x) <= x - 1

Pour tout $x>0$, on obtient $\ln(x)\le x-1$.

Exercice 5

Point d'inflexion d'une fonction cubique

Énoncé

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-3x^2+2$.

1. Calculer $f''(x)$.

2. Étudier la convexité de $f$ sur $\mathbb{R}$.

3. Déterminer les coordonnées du point d'inflexion.

Corrigé détaillé

Question 1

Calculer les dérivées

On dérive deux fois la fonction polynomiale.

f'(x) = 3x^2 - 6x f''(x) = 6x - 6

La dérivée seconde est $f''(x)=6x-6$.

Question 2

Lire la convexité

Le signe de $f''$ donne les intervalles de convexité et de concavité.

f''(x) = 6(x - 1) f''(x) < 0 <=> x < 1 f''(x) > 0 <=> x > 1

La fonction est concave sur $]-\infty ; 1]$ puis convexe sur $[1 ; +\infty[$.

Question 3

Trouver le point d'inflexion

Un changement de signe de $f''$ donne un point d'inflexion.

x = 1 f(1) = 1 - 3 + 2 f(1) = 0

Le point d'inflexion a pour coordonnées $(1 ; 0)$.

Exercice 6

Tangente et inégalité de convexité

Énoncé

On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=e^{x}$.

1. Justifier que $g$ est convexe sur $\mathbb{R}$.

2. Écrire l'équation de la tangente à la courbe de $g$ au point d'abscisse $0$.

3. En déduire que, pour tout réel $x$, $e^{x}\ge 1+x$.

Corrigé détaillé

Question 1

Étudier la dérivée seconde

Une fonction deux fois dérivable est convexe lorsque sa dérivée seconde est positive.

g'(x) = e^{x}g''(x) = e^{x}e^{x} > 0

La fonction $g$ est strictement convexe sur $\mathbb{R}$.

Question 2

Écrire la tangente

La tangente en $0$ a pour équation $y=g'(0)(x-0)+g(0)$.

g(0) = 1 g'(0) = 1 y = 1(x - 0) + 1 y = x + 1

La tangente en $0$ a pour équation $y=x+1$.

Question 3

Utiliser la position par rapport aux tangentes

Une fonction convexe est située au-dessus de chacune de ses tangentes.

g(x) >= x + 1e^{x} >= x + 1

Pour tout réel $x$, on a bien $e^{x}\ge 1+x$.

Exercice 7

Convexité d'une exponentielle corrigée

Énoncé

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^x-x$.

1. Calculer $f'(x)$ puis $f''(x)$.

2. Étudier la convexité de $f$ sur $\mathbb{R}$.

3. En déduire la position de la courbe de $f$ par rapport à sa tangente au point d'abscisse $0$.

Corrigé détaillé

Question 1

Calculer les dérivées successives

On dérive séparément l'exponentielle et le terme affine.

f(x) = e^x - x f'(x) = e^x - 1 f''(x) = e^x

La dérivée seconde est $f''(x)=e^x$.

Question 2

Lire le signe de la dérivée seconde

L'exponentielle est strictement positive sur $\mathbb{R}$.

e^x > 0 f''(x) > 0

La fonction $f$ est strictement convexe sur $\mathbb{R}$.

Question 3

Utiliser la position par rapport aux tangentes

Une fonction convexe est située au-dessus de chacune de ses tangentes.

f(0) = 1 f'(0) = 0 T : y = 1

La tangente au point d'abscisse $0$ est horizontale.

Pour tout réel $x$, on obtient $e^x-x\ge 1$, c'est-à-dire $e^x\ge x+1$.

Exercice 8

Concavité du logarithme et inégalité

Énoncé

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par $g(x)=\ln(x)-x+1$.

1. Calculer $g'(x)$ et $g''(x)$.

2. Étudier la concavité de $g$.

3. En déduire que pour tout $x>0$, $\ln(x)\le x-1$.

Corrigé détaillé

Question 1

Dériver deux fois

On utilise la dérivée de $\ln(x)$ et celle d'une fonction affine.

g'(x) = 1/x - 1 g''(x) = -1/x^2

On dispose de la dérivée seconde pour étudier la concavité.

Question 2

Étudier le signe de $g''$

Sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$, le carré $x^2$ est strictement positif.

x^2 > 0 -1/x^2 < 0 g''(x) < 0

La fonction $g$ est concave sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$.

Question 3

Exploiter le maximum

Une fonction concave dont la dérivée s'annule en un point atteint son maximum en ce point.

g'(x) = 0 <=> 1/x - 1 = 0 g'(x) = 0 <=> x = 1 g(1) = ln(1) - 1 + 1 g(1) = 0 g(x) <= 0

L'inégalité $g(x)\le 0$ se réécrit $\ln(x)-x+1\le 0$.

Pour tout $x>0$, on a donc $\ln(x)\le x-1$.