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Fonctions

Équations différentielles

Fonctions

Équations différentielles

Exercices corrigés de équations différentielles disponibles en HTML statique, avec le JavaScript conservé pour l'interactivité.

Exercice 1

Équation différentielle affine

Énoncé

On cherche la solution de l'équation différentielle $y'=2y-4$ vérifiant $y(0)=5$.

1. Trouver une solution constante.

2. Résoudre l'équation en posant $z=y-2$.

3. Utiliser la condition $y(0)=5$.

Corrigé détaillé

Question 1
Chercher l'équilibre

Une solution constante vérifie $y'=0$.

y' = 0
0 = 2y - 4
2y = 4
y = 2

La fonction constante $y=2$ est une solution particulière.

Question 2
Transformer l'équation

On pose $z=y-2$ pour se ramener à une équation homogène.

z = y - 2
z' = y'
y' = 2y - 4
z' = 2(z + 2) - 4
z' = 2z

La fonction $z$ vérifie $z'=2z$.

Question 3
Appliquer la condition initiale

Les solutions de $z'=2z$ sont de la forme $Ce^{2x}$.

z(x) = Ce^{2x}
y(x) = 2 + Ce^{2x}
y(0) = 2 + Ce^{0}
5 = 2 + C
C = 3
y(x) = 2 + 3e^{2x}

La solution cherchée est $y(x)=2+3e^{2x}$.

Exercice 2

Équation homogène décroissante

Énoncé

On cherche la solution de l'équation différentielle $y'=-3y$.

La solution doit vérifier $y(0)=4$.

1. Donner la forme générale des solutions.

2. Utiliser la condition initiale.

3. Étudier le comportement lorsque $x$ tend vers $+\infty$.

Corrigé détaillé

Question 1
Résoudre l'équation homogène

Les solutions de $y'=ay$ sont les fonctions de la forme $Ce^{ax}$.

a = -3
y(x) = Ce^{-3x}

Les solutions générales sont $y(x)=Ce^{-3x}$.

Question 2
Déterminer la constante

On utilise la valeur de la solution en $0$.

y(0) = Ce^{0}
y(0) = C
C = 4
y(x) = 4e^{-3x}

La solution cherchée est $y(x)=4e^{-3x}$.

Question 3
Lire la limite

L'exponentielle $e^{-3x}$ tend vers $0$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.

\lim_{x\to+\infty} e^{-3x} = 0
\lim_{x\to+\infty} y(x) = 0

La solution tend vers $0$ en $+\infty$.

Exercice 3

Équation différentielle avec second membre

Énoncé

On cherche la solution de l'équation différentielle $y'+y=2e^{-x}$ vérifiant $y(0)=1$.

1. Multiplier l'équation par $e^{x}$.

2. En déduire l'expression générale de y.

3. Utiliser la condition initiale.

Corrigé détaillé

Question 1
Faire apparaître une dérivée de produit

Le facteur $e^{x}$ permet de reconnaître la dérivée de $e^{x}y$.

y' + y = 2e^{-x}
e^{x}y' + e^{x}y = 2
(e^{x}y)' = 2

On a transformé l'équation en une équation directement intégrable.

Question 2
Intégrer

On cherche les fonctions dont la dérivée vaut 2.

(e^{x}y)' = 2
e^{x}y = 2x + C
y(x) = (2x + C)e^{-x}

Les solutions sont $y(x)=(2x+C)e^{-x}$.

Question 3
Déterminer C

On utilise $y(0)=1$.

y(0) = (2*0 + C)e^{0}
y(0) = C
C = 1
y(x) = (2x + 1)e^{-x}

La solution cherchée est $y(x)=(2x+1)e^{-x}$.

Exercice 4

Équation affine avec équilibre

Énoncé

On cherche la solution de l'équation différentielle $y'-2y=6$.

La solution doit vérifier $y(0)=1$.

1. Déterminer une solution constante.

2. Résoudre l'équation en posant $z=y+3$.

3. Donner l'expression de $y$.

Corrigé détaillé

Question 1
Trouver une solution constante

Pour une solution constante, la dérivée est nulle.

y' = 0
0 - 2y = 6
-2y = 6
y = -3

La fonction constante $y=-3$ est une solution particulière.

Question 2
Passer à l'équation homogène

On enlève l'équilibre en posant $z=y+3$.

z = y + 3
z' = y'
y = z - 3
y' - 2y = 6
z' - 2(z - 3) = 6
z' - 2z = 0

La fonction $z$ vérifie $z'=2z$.

Question 3
Utiliser la condition initiale

On résout pour $z$, puis on revient à $y$.

z(x) = Ce^{2x}
y(x) = Ce^{2x} - 3
y(0) = C - 3
1 = C - 3
C = 4
y(x) = 4e^{2x} - 3

La solution est $y(x)=4e^{2x}-3$.

Exercice 5

Équation affine ramenée à une homogène

Énoncé

On cherche la solution de l'équation différentielle $y'=2y+4$ vérifiant $y(0)=1$.

1. Déterminer une solution constante de l'équation.

2. Résoudre l'équation différentielle.

3. Utiliser la condition initiale.

Corrigé détaillé

Question 1
Chercher l'équilibre

Une solution constante vérifie $y'=0$.

0 = 2L + 4
2L = -4
L = -2

La fonction constante $y=-2$ est une solution particulière.

Question 2
Écrire la solution générale

On ajoute à une solution particulière les solutions de l'équation homogène $y'=2y$.

y_h'(x) = 2y_h(x)
y_h(x) = Ce^{2x}
y(x) = Ce^{2x} - 2

Les solutions sont les fonctions $y(x)=Ce^{2x}-2$.

Question 3
Déterminer la constante

On utilise $y(0)=1$.

y(0) = Ce^{0} - 2
1 = C - 2
C = 3
y(x) = 3e^{2x} - 2

La solution cherchée est $y(x)=3e^{2x}-2$.

Exercice 6

Équation avec second membre exponentiel

Énoncé

On cherche la solution de l'équation différentielle $y'+y=e^{-x}$ vérifiant $y(0)=2$.

1. Multiplier l'équation par $e^{x}$.

2. En déduire la forme générale des solutions.

3. Déterminer la solution vérifiant la condition initiale.

Corrigé détaillé

Question 1
Reconnaître une dérivée de produit

Le facteur $e^{x}$ transforme le membre de gauche en dérivée de $e^{x}y$.

e^{x}y' + e^{x}y = 1
(e^{x}y)' = 1

On a ramené l'équation à une primitive très simple.

Question 2
Intégrer

On primitive les deux membres de l'égalité.

(e^{x}y)' = 1
e^{x}y = x + C
y = (x + C)e^{-x}

Les solutions sont les fonctions $y(x)=(x+C)e^{-x}$.

Question 3
Appliquer la condition initiale

On remplace $x$ par $0$ dans la forme générale.

y(0) = (0 + C)e^{0}
2 = C
y(x) = (x + 2)e^{-x}

La solution cherchée est $y(x)=(x+2)e^{-x}$.

Exercice 7

Refroidissement vers une valeur limite

Énoncé

Une température $T(t)$, exprimée en degrés, vérifie l'équation différentielle $T'=-\dfrac{1}{5}(T-18)$.

On suppose que $T(0)=30$.

1. Résoudre l'équation différentielle.

2. Déterminer la solution qui vérifie la condition initiale.

3. Déterminer la limite de $T(t)$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$.

Corrigé détaillé

Question 1
Se ramener à une équation homogène

On pose $Y(t)=T(t)-18$ afin de supprimer la valeur d'équilibre.

Y(t) = T(t) - 18
Y'(t) = T'(t)
Y' = -1/5 Y
Y(t) = C e^(-t/5)

Les solutions sont donc de la forme $T(t)=18+Ce^{-t/5}$.

Question 2
Utiliser la condition initiale

On remplace $t$ par $0$ dans la forme générale.

T(0) = 18 + C e^0
T(0) = 18 + C
30 = 18 + C
C = 12

La solution cherchée est $T(t)=18+12e^{-t/5}$.

Question 3
Étudier la limite

Le terme exponentiel $e^{-t/5}$ tend vers $0$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$.

e^(-t/5) -> 0
12e^(-t/5) -> 0
T(t) -> 18

On obtient $\lim_{t\to +\infty}T(t)=18$.

La température se rapproche de $18$ degrés.

Exercice 8

Équation linéaire avec second membre constant

Énoncé

On considère l'équation différentielle $y'-3y=6$.

1. Résoudre l'équation homogène associée.

2. Trouver une solution particulière constante, puis donner la solution générale.

3. Déterminer la solution vérifiant $y(0)=1$.

Corrigé détaillé

Question 1
Résoudre l'équation homogène

L'équation homogène associée est $y'-3y=0$.

y' - 3y = 0
y' = 3y
y_h(x) = C e^(3x)

Les solutions de l'équation homogène sont $y_h(x)=Ce^{3x}$.

Question 2
Chercher une solution particulière

Comme le second membre est constant, on essaie une solution constante $y_p=k$.

y_p = k
y_p' = 0
0 - 3k = 6
k = -2
y(x) = C e^(3x) - 2

La solution générale est $y(x)=Ce^{3x}-2$.

Question 3
Appliquer la condition initiale

La condition $y(0)=1$ fixe la constante $C$.

y(0) = C e^0 - 2
y(0) = C - 2
1 = C - 2
C = 3

La solution cherchée est $y(x)=3e^{3x}-2$.