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Fonctions

Intégrales

Fonctions

Intégrales

Exercices corrigés de intégrales disponibles en HTML statique, avec le JavaScript conservé pour l'interactivité.

Exercice 1

Intégrale avec une dérivée composée

Énoncé

On considère l'intégrale $I=\displaystyle\int_0^1 2xe^{x^2}\,dx$.

1. Reconnaître une primitive de $2xe^{x^2}$.

2. Calculer I.

3. Interpréter le signe du résultat.

Corrigé détaillé

Question 1
Reconnaître la forme $u'e^{u}$

On identifie la fonction située dans l'exponentielle.

u(x) = x^2
u'(x) = 2x
2xe^{x^2} = u'(x)e^{u(x)}
2xe^{x^2} -> e^{x^2}

La primitive utilisée est $F:x\mapsto e^{x^2}$.

Question 2
Calculer l'intégrale

On applique la formule avec les bornes 0 et 1.

I = \left[e^{x^2}\right]_0^1
I = e^{1^2} - e^{0^2}
I = e - 1

On obtient $I=e-1$.

Question 3
Contrôler le signe

On vérifie que le résultat est cohérent avec le signe de l'intégrande.

sur [0 ; 1], 2x >= 0
sur [0 ; 1], e^{x^2} > 0
donc 2xe^{x^2} >= 0
e - 1 > 0

Le résultat positif est cohérent avec une intégrale d'une fonction positive.

Exercice 2

Intégrale d'un polynôme

Énoncé

On considère l'intégrale $I=\displaystyle\int_0^2 (x^2-1)\,dx$.

1. Donner une primitive de $x^2-1$.

2. Calculer $I$.

3. Interpréter le signe du résultat.

Corrigé détaillé

Question 1
Trouver une primitive

On primitive chaque terme du polynôme.

x^2 -> x^3/3
-1 -> -x
F(x) = x^3/3 - x

On peut utiliser $F(x)=\dfrac{x^3}{3}-x$.

Question 2
Évaluer aux bornes

On applique la relation entre intégrale et primitive.

I = \left[x^3/3 - x\right]_0^2
I = (2^3/3 - 2) - (0^3/3 - 0)
I = 8/3 - 2
I = 2/3

La valeur exacte de l'intégrale est $\dfrac{2}{3}$.

Question 3
Contrôler le signe

Le résultat est positif, ce qui signifie que l'aire algébrique positive domine.

I = 2/3
I > 0

L'aire algébrique sur $[0 ; 2]$ est positive.

Exercice 3

Intégrale logarithmique simple

Énoncé

On considère l'intégrale $J=\displaystyle\int_0^1 \dfrac{2}{x+1}\,dx$.

1. Reconnaître une primitive de l'intégrande.

2. Calculer $J$.

3. Donner une interprétation du signe.

Corrigé détaillé

Question 1
Reconnaître la forme u'/u

On pose $u(x)=x+1$ pour faire apparaître une primitive logarithmique.

u(x) = x + 1
u'(x) = 1
2/(x + 1) -> 2ln(x + 1)

La primitive utilisée est $F:x\mapsto 2\ln(x+1)$.

Question 2
Calculer l'intégrale

On évalue la primitive entre les bornes $0$ et $1$.

J = \left[2ln(x + 1)\right]_0^1
J = 2ln(2) - 2ln(1)
J = 2ln(2)

La valeur exacte est $J=2\ln(2)$.

Question 3
Vérifier la cohérence

L'intégrande est positive sur l'intervalle d'intégration.

sur [0 ; 1], x + 1 > 0
sur [0 ; 1], 2/(x + 1) > 0
J > 0

Le signe positif de $2\ln(2)$ est cohérent.

Exercice 4

Intégrale de ln(x) par parties

Énoncé

On considère l'intégrale $J=\displaystyle\int_1^e \ln(x)\,dx$.

1. Préparer une intégration par parties.

2. Calculer J.

3. Vérifier que le résultat est positif.

Corrigé détaillé

Question 1
Choisir u et v'

Pour intégrer $\ln(x)$, on écrit $\ln(x)=\ln(x)\times 1$.

u(x) = ln(x)
u'(x) = 1/x
v'(x) = 1
v(x) = x

Ces choix permettent d'appliquer l'intégration par parties.

Question 2
Appliquer la formule

On utilise $\int uv'=[uv]-\int u'v$.

J = \left[x ln(x)\right]_1^e - int de 1 à e de x*(1/x) dx
J = \left[x ln(x)\right]_1^e - int de 1 à e de 1 dx
J = e ln(e) - 1 ln(1) - \left[x\right]_1^e
J = e - 0 - (e - 1)
J = 1

La valeur de l'intégrale est $J=1$.

Question 3
Vérifier le signe

On regarde le signe de $\ln(x)$ sur l'intervalle d'intégration.

sur [1 ; e], ln(x) >= 0
donc J >= 0
1 >= 0

Le résultat obtenu est cohérent.

Exercice 5

Intégrale avec exponentielle composée

Énoncé

On considère l'intégrale $I=\displaystyle\int_0^1 xe^{-x^2}\,dx$.

1. Reconnaître une primitive de $xe^{-x^2}$.

2. Calculer la valeur exacte de $I$.

3. Vérifier le signe du résultat.

Corrigé détaillé

Question 1
Reconnaître une forme composée

La dérivée de $-x^2$ est $-2x$, ce qui permet d'ajuster le coefficient.

-2xe^{-x^2} -> e^{-x^2}
xe^{-x^2} -> -1/2 e^{-x^2}

On peut utiliser $F(x)=-\dfrac{1}{2}e^{-x^2}$.

Question 2
Évaluer aux bornes

On applique le lien entre intégrale et primitive avec les bornes $0$ et $1$.

I = \left[-1/2 e^{-x^2}\right]_0^1
I = -1/2 e^{-1} - (-1/2 e^{0})
I = 1/2 - 1/(2e)
I = (1 - e^{-1})/2

La valeur exacte est $I=\dfrac{1-e^{-1}}{2}$.

Question 3
Contrôler le signe

Sur $[0 ; 1]$, les deux facteurs de l'intégrande sont positifs.

x >= 0
e^{-x^2} > 0
xe^{-x^2} >= 0
I >= 0

Le résultat positif est cohérent.

Exercice 6

Intégrale sur un intervalle logarithmique

Énoncé

On considère l'intégrale $J=\displaystyle\int_0^{\ln(2)} \left(e^{2x}+x\right)\,dx$.

1. Donner une primitive de $x\mapsto e^{2x}+x$.

2. Calculer la valeur exacte de $J$.

3. Donner une valeur simplifiée du terme exponentiel.

Corrigé détaillé

Question 1
Déterminer une primitive

On primitive séparément les deux termes.

e^{2x} -> 1/2 e^{2x}
x -> x^2/2
F(x) = 1/2 e^{2x} + x^2/2

On peut utiliser $F(x)=\dfrac{1}{2}e^{2x}+\dfrac{x^2}{2}$.

Question 2
Évaluer entre les bornes

On calcule $F(\ln(2))-F(0)$.

J = \left[1/2 e^{2x} + x^2/2\right]_0^{\ln(2)}
J = (1/2 e^{2\ln(2)} + (\ln(2))^2/2) - (1/2 e^{0} + 0)
J = 1/2 e^{2\ln(2)} + (\ln(2))^2/2 - 1/2

Il reste à simplifier $e^{2\ln(2)}$.

Question 3
Simplifier l'exponentielle

On utilise $2\ln(2)=\ln(4)$.

e^{2\ln(2)} = e^{\ln(4)}
e^{2\ln(2)} = 4
J = 1/2\times 4 + (\ln(2))^2/2 - 1/2
J = 3/2 + (\ln(2))^2/2

La valeur exacte est $J=\dfrac{3}{2}+\dfrac{(\ln(2))^2}{2}$.

Exercice 7

Aire entre une parabole et une droite

Énoncé

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $[0 ; 2]$ par $f(x)=x^2$ et $g(x)=2x$.

1. Montrer que $g(x)\ge f(x)$ sur l'intervalle $[0 ; 2]$.

2. Écrire l'intégrale qui donne l'aire comprise entre les deux courbes.

3. Calculer cette aire.

Corrigé détaillé

Question 1
Comparer les deux fonctions

On étudie le signe de la différence $g(x)-f(x)$.

g(x) - f(x) = 2x - x^2
g(x) - f(x) = x(2 - x)
0 <= x <= 2
x >= 0
2 - x >= 0
g(x) - f(x) >= 0

Sur l'intervalle $[0 ; 2]$, la droite est au-dessus de la parabole.

Question 2
Traduire l'aire en intégrale

Quand $g$ est au-dessus de $f$, l'aire est l'intégrale de $g-f$.

A = \int_{0}^{2} (g(x) - f(x)) dx
A = \int_{0}^{2} (2x - x^2) dx

Il reste à calculer cette intégrale.

Question 3
Calculer l'intégrale

On détermine une primitive de $2x-x^2$, puis on évalue aux bornes.

2x - x^2 -> x^2 - x^3/3
A = \left[x^2 - x^3/3\right]_0^2
A = (4 - 8/3) - 0
A = 4/3

L'aire comprise entre les deux courbes vaut $\dfrac{4}{3}$ unité d'aire.

Exercice 8

Valeur moyenne avec exponentielle

Énoncé

On considère la fonction $f$ définie entre $0$ et le logarithme népérien de $2$ par $f(x)=e^{2x}+1$.

1. Calculer l'intégrale de la fonction entre ces deux bornes.

2. Simplifier le terme exponentiel obtenu avec la borne supérieure.

3. En déduire la valeur moyenne de la fonction sur cet intervalle.

Corrigé détaillé

Question 1
Trouver une primitive

On primitive séparément le terme exponentiel et la constante.

e^(2x) -> 1/2 e^(2x)
1 -> x
F(x) = 1/2 e^(2x) + x

On peut utiliser la primitive obtenue dans la dernière ligne du calcul.

Question 2
Évaluer aux bornes

On applique la formule de calcul d'une intégrale à partir d'une primitive.

I = \left[1/2 e^(2x) + x\right]_0^{ln(2)}
I = (1/2 e^(2ln(2)) + ln(2)) - (1/2 e^0 + 0)
I = 1/2 e^(2ln(2)) + ln(2) - 1/2

Le calcul exact dépend maintenant de la simplification du terme exponentiel.

Question 3
Simplifier puis calculer la moyenne

On simplifie le terme exponentiel, puis on applique la formule de la valeur moyenne.

e^(2ln(2)) = e^(ln(4))
e^(2ln(2)) = 4
I = 1/2 * 4 + ln(2) - 1/2
I = 3/2 + ln(2)
m = I/(ln(2) - 0)
m = (3/2 + ln(2))/ln(2)

La dernière ligne donne la valeur moyenne exacte de la fonction sur l'intervalle demandé.