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Fonctions

Limite des fonctions

Fonctions

Limite des fonctions

Exercices corrigés de limite des fonctions disponibles en HTML statique, avec le JavaScript conservé pour l'interactivité.

Exercice 1

Quotient rationnel et asymptote horizontale

Énoncé

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$.

Pour tout réel $x$, $f(x)=\dfrac{3x^2 - 5x + 1}{x^2 + 2}$.

1. Transformer l'expression de $f(x)$ en divisant le numérateur et le dénominateur par $x^2$.

2. Déterminer la limite de f(x) lorsque x tend vers +∞.

3. En déduire une asymptote horizontale à la courbe de f.

Corrigé détaillé

Question 1
Mettre le quotient sous une forme adaptée

À l'infini, on divise tous les termes par la plus grande puissance de x présente au dénominateur.

f(x) = (3x^2 - 5x + 1)/(x^2 + 2)
f(x) = x^2(3 - 5/x + 1/x^2)/(x^2(1 + 2/x^2))
f(x) = (3 - 5/x + 1/x^2)/(1 + 2/x^2)

Cette forme fait apparaître uniquement des termes qui tendent vers 0.

Question 2
Calculer la limite

On utilise les limites usuelles de $\dfrac{1}{x}$ et $\dfrac{1}{x^2}$ en $+\infty$.

\lim_{x\to+\infty} 5/x = 0
\lim_{x\to+\infty} 1/x^2 = 0
\lim_{x\to+\infty} 2/x^2 = 0
\lim_{x\to+\infty} f(x) = (3 - 0 + 0)/(1 + 0)
\lim_{x\to+\infty} f(x) = 3

La limite de $f$ en $+\infty$ vaut $3$.

Question 3
Interpréter graphiquement

Une limite finie à l'infini donne une asymptote horizontale.

\lim_{x\to+\infty} f(x) = 3
y = 3

La courbe de $f$ admet l'asymptote horizontale d'équation $y=3$ en $+\infty$.

Exercice 2

Racine carrée et forme conjuguée

Énoncé

On considère la fonction $g$ définie sur $[0 ; +\infty[$.

Pour tout $x\ge 0$, $g(x)=\sqrt{x^2 + 4x} - x$.

1. Écrire $g(x)$ sous une forme sans différence de racines.

2. Déterminer la limite de $g(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.

3. Donner l'asymptote horizontale correspondante.

Corrigé détaillé

Question 1
Multiplier par la quantité conjuguée

La différence de deux termes qui deviennent grands peut créer une forme indéterminée. On rationalise.

g(x) = sqrt(x^2 + 4x) - x
g(x) = (sqrt(x^2 + 4x) - x)(sqrt(x^2 + 4x) + x)/(sqrt(x^2 + 4x) + x)
g(x) = (x^2 + 4x - x^2)/(sqrt(x^2 + 4x) + x)
g(x) = 4x/(sqrt(x^2 + 4x) + x)

La forme obtenue est beaucoup plus stable pour calculer la limite.

Question 2
Factoriser par x

Comme $x$ tend vers $+\infty$, on peut sortir $x$ de la racine.

sqrt(x^2 + 4x) = x sqrt(1 + 4/x)
g(x) = 4x/(x sqrt(1 + 4/x) + x)
g(x) = 4/(sqrt(1 + 4/x) + 1)
\lim_{x\to+\infty} 4/x = 0
\lim_{x\to+\infty} g(x) = 4/(sqrt(1) + 1)
\lim_{x\to+\infty} g(x) = 2

La limite de $g$ en $+\infty$ vaut $2$.

Question 3
Conclure sur l'asymptote

On transforme la limite en information graphique.

\lim_{x\to+\infty} g(x) = 2
y = 2

La courbe de $g$ admet l'asymptote horizontale d'équation $y=2$ en $+\infty$.

Exercice 3

Croissance comparée exponentielle

Énoncé

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$.

Pour tout réel $x$, $f(x)=x^2e^{-x}$.

1. Réécrire $f(x)$ sous forme de quotient.

2. Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.

3. Interpréter graphiquement le résultat.

Corrigé détaillé

Question 1
Mettre sous forme de quotient

Pour utiliser la croissance comparée, on écrit l'exponentielle négative au dénominateur.

e^{-x} = 1/e^{x}
f(x) = x^2/e^{x}

La fonction est un quotient entre un polynôme et une exponentielle.

Question 2
Utiliser la croissance comparée

L'exponentielle domine toute puissance de $x$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.

\lim_{x\to+\infty} x^2/e^{x} = 0
\lim_{x\to+\infty} f(x) = 0

La limite de $f$ en $+\infty$ est $0$.

Question 3
Traduire la limite

Une limite nulle à l'infini donne une asymptote horizontale.

\lim_{x\to+\infty} f(x) = 0
y = 0

La courbe de $f$ admet l'axe des abscisses comme asymptote horizontale en $+\infty$.

Exercice 4

Limite avec racine et quotient

Énoncé

On considère la fonction $g$ définie pour $x>0$.

Pour tout $x>0$, $g(x)=\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x}$.

1. Transformer $g(x)$ avec la quantité conjuguée.

2. Déterminer la limite de $g(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$.

3. Donner l'interprétation algébrique de cette limite.

Corrigé détaillé

Question 1
Rationaliser le numérateur

On multiplie par la quantité conjuguée pour faire disparaître la différence de racines.

g(x) = (sqrt(x + 1) - 1)/x
g(x) = ((sqrt(x + 1) - 1)(sqrt(x + 1) + 1))/(x(sqrt(x + 1) + 1))
g(x) = (x + 1 - 1)/(x(sqrt(x + 1) + 1))
g(x) = 1/(sqrt(x + 1) + 1)

La forme obtenue n'a plus de quotient indéterminé en $0$.

Question 2
Passer à la limite

On utilise la continuité de la racine carrée en $1$.

\lim_{x\to 0} sqrt(x + 1) = 1
\lim_{x\to 0} g(x) = 1/(1 + 1)
\lim_{x\to 0} g(x) = 1/2

La limite cherchée vaut $\dfrac{1}{2}$.

Question 3
Identifier le résultat

Cette limite correspond au taux d'accroissement de la racine carrée en $1$.

g(x) = (sqrt(1 + x) - sqrt(1))/x
\lim_{x\to 0} g(x) = 1/2

On retrouve la dérivée de $x\mapsto\sqrt{x}$ au point $1$.

Exercice 5

Exponentielle amortie

Énoncé

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(3x+1)e^{-x}$.

1. Réécrire $f(x)$ sous forme de quotient lorsque c'est utile.

2. Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.

3. Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$.

Corrigé détaillé

Question 1
Préparer la forme à l'infini

Pour $x\to+\infty$, l'exponentielle $e^{x}$ domine tout polynôme.

e^{-x} = 1/e^{x}
f(x) = (3x + 1)/e^{x}

Cette forme permet d'utiliser une croissance comparée.

Question 2
Limite en plus l'infini

Le numérateur est affine, tandis que le dénominateur est exponentiel.

\lim_{x\to+\infty} (3x + 1)/e^{x} = 0
\lim_{x\to+\infty} f(x) = 0

La courbe de $f$ admet l'axe des abscisses comme asymptote horizontale en $+\infty$.

Question 3
Limite en moins l'infini

Quand $x$ tend vers $-\infty$, le facteur affine est négatif et $e^{-x}$ tend vers $+\infty$.

\lim_{x\to-\infty} (3x + 1) = -\infty
\lim_{x\to-\infty} e^{-x} = +\infty
\lim_{x\to-\infty} f(x) = -\infty

La limite de $f$ en $-\infty$ est $-\infty$.

Exercice 6

Racine et asymptote oblique

Énoncé

On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=\sqrt{x^2+4x+5}$.

1. Étudier la limite de $g(x)-x$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.

2. En déduire une asymptote à la courbe de $g$ en $+\infty$.

3. Étudier la limite de $g(x)+x$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$.

Corrigé détaillé

Question 1
Rationaliser en plus l'infini

Pour éviter une différence de deux quantités grandes, on multiplie par la quantité conjuguée.

g(x) - x = sqrt(x^2 + 4x + 5) - x
g(x) - x = (x^2 + 4x + 5 - x^2)/(sqrt(x^2 + 4x + 5) + x)
g(x) - x = (4x + 5)/(sqrt(x^2 + 4x + 5) + x)

Quand $x$ tend vers $+\infty$, on a $\sqrt{x^2+4x+5}\sim x$.

On obtient $\lim_{x\to+\infty}(g(x)-x)=2$.

Question 2
Identifier l'asymptote

Si $g(x)-(ax+b)$ tend vers $0$, alors la droite $y=ax+b$ est asymptote.

g(x) - (x + 2) = g(x) - x - 2
2 - 2 = 0

Comme $\lim_{x\to+\infty}(g(x)-x)=2$, on obtient $\lim_{x\to+\infty}(g(x)-(x+2))=0$.

La courbe admet l'asymptote oblique d'équation $y=x+2$ en $+\infty$.

Question 3
Regarder l'autre côté

Quand $x$ est négatif et très grand en valeur absolue, $\sqrt{x^2+4x+5}$ est équivalent à $-x$.

g(x) + x = sqrt(x^2 + 4x + 5) + x
g(x) + x = (4x + 5)/(sqrt(x^2 + 4x + 5) - x)
quand x -> -∞, (4x + 5)/(sqrt(x^2 + 4x + 5) - x) -> -2

On a $\lim_{x\to-\infty}(g(x)+x)=-2$.

Exercice 7

Racine dominante au dénominateur

Énoncé

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[1 ; +\infty[$.

Pour tout $x\ge 1$, on a $f(x)=\dfrac{3x^2-1}{\sqrt{x^4+x^2}+2x^2}$.

1. Factoriser le numérateur et le dénominateur par $x^2$.

2. Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.

3. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.

Corrigé détaillé

Question 1
Mettre en évidence le terme dominant

Sur l'intervalle étudié, $x$ est positif, donc $\sqrt{x^4}=x^2$.

On cherche à faire apparaître des termes qui tendent vers $0$.

3x^2 - 1 = x^2(3 - 1/x^2)
sqrt(x^4 + x^2) = x^2 * sqrt(1 + 1/x^2)
sqrt(x^4 + x^2) + 2x^2 = x^2(sqrt(1 + 1/x^2) + 2)
f(x) = (3 - 1/x^2)/(sqrt(1 + 1/x^2) + 2)

La factorisation est possible car $x\ne 0$ sur l'intervalle $[1 ; +\infty[$.

On dispose maintenant d'une expression adaptée au passage à la limite.

Question 2
Passer à la limite

On utilise les limites usuelles de $1/x^2$ et la continuité de la racine carrée en $1$.

1/x^2 -> 0
3 - 1/x^2 -> 3
sqrt(1 + 1/x^2) -> 1
sqrt(1 + 1/x^2) + 2 -> 3
f(x) -> 1

Ainsi, $\lim_{x\to +\infty}f(x)=1$.

La limite cherchée vaut $1$.

Question 3
Lire l'asymptote horizontale

Une limite finie en $+\infty$ donne une asymptote horizontale.

f(x) -> 1
y = 1

La courbe représentative de $f$ admet la droite d'équation $y=1$ comme asymptote horizontale en $+\infty$.

Exercice 8

Limite par encadrement près de zéro

Énoncé

On considère une fonction $h$ définie sur l'intervalle $]0 ; 1]$.

Pour tout $x\in]0 ; 1]$, on sait que $2-x\le h(x)\le 2+x$.

1. Déterminer les limites des deux fonctions qui encadrent $h$ lorsque $x$ tend vers $0^+$.

2. En déduire la limite de $h(x)$ lorsque $x$ tend vers $0^+$.

3. Déterminer la limite de $x h(x)$ lorsque $x$ tend vers $0^+$.

Corrigé détaillé

Question 1
Étudier les deux bornes

Les deux fonctions d'encadrement sont affines, donc leurs limites se lisent directement.

2 - x -> 2
2 + x -> 2

Les deux bornes ont la même limite quand $x$ tend vers $0^+$.

L'encadrement est donc suffisamment précis pour appliquer le théorème des gendarmes.

Question 2
Appliquer le théorème des gendarmes

La fonction $h$ est coincée entre deux fonctions qui tendent vers la même valeur.

2 - x <= h(x)
h(x) <= 2 + x
2 - x -> 2
2 + x -> 2
h(x) -> 2

On obtient $\lim_{x\to 0^+}h(x)=2$.

La limite de $h(x)$ en $0^+$ est $2$.

Question 3
Composer avec le facteur $x$

On combine la limite de $x$ et celle de $h(x)$.

x -> 0
h(x) -> 2
x h(x) -> 0*2
x h(x) -> 0

La limite de $x h(x)$ lorsque $x$ tend vers $0^+$ est donc $0$.