MathSups - Fonctions - Fonction logarithme népérien

Exercice 1

Étude d'un quotient logarithmique

Énoncé

On considère la fonction $f$ définie sur $]0 ; +\infty[$.

Pour tout $x>0$, $f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}$.

1. Calculer $f'(x)$.

2. Étudier les variations de $f$.

3. Déterminer le maximum de $f$ sur $]0 ; +\infty[$.

Corrigé détaillé

Question 1

Dériver un quotient

On dérive f avec la formule du quotient.

f(x) = ln(x)/x f'(x) = ((1/x)*x - ln(x)*1)/x^2 f'(x) = (1 - ln(x))/x^2

La dérivée est $f'(x)=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}$.

Question 2

Étudier le signe de f'

Comme $x^2$ est positif, le signe de $f'$ est celui de $1-\ln(x)$.

sur ]0 ; +\infty[, x^2 > 0 1 - ln(x) > 0 <=> ln(x) < 1 ln(x) < 1 <=> x < e 1 - ln(x) = 0 <=> x = e 1 - ln(x) < 0 <=> x > e

La fonction $f$ est croissante sur $]0 ; e]$ puis décroissante sur $[e ; +\infty[$.

Question 3

Lire le maximum

Le changement de signe de f' donne le maximum.

f(e) = ln(e)/e f(e) = 1/e

Le maximum de $f$ est $\dfrac{1}{e}$, atteint pour $x=e$.

Exercice 2

Équation avec logarithme composé

Énoncé

On cherche à résoudre l'équation $\ln(2x+1)=1$.

1. Déterminer le domaine de définition.

2. Résoudre l'équation.

3. Donner une valeur approchée de la solution.

Corrigé détaillé

Question 1

Trouver le domaine

L'argument du logarithme doit être strictement positif.

2x + 1 > 0 2x > -1 x > -1/2

L'équation est étudiée sur $]-\dfrac{1}{2} ; +\infty[$.

Question 2

Passer à l'exponentielle

La fonction logarithme est strictement croissante, donc on peut exponentier les deux membres.

ln(2x + 1) = 1 2x + 1 = e 2x = e - 1 x = (e - 1)/2

La solution exacte est $\dfrac{e-1}{2}$.

Question 3

Approcher la solution

On utilise l'approximation $e\approx 2.718$.

x = (e - 1)/2 x approx (2.718 - 1)/2 x approx 0.859

La solution vaut environ $0.859$.

Exercice 3

Inégalité classique du logarithme

Énoncé

On considère la fonction $g$ définie sur $]0 ; +\infty[$.

Pour tout $x>0$, $g(x)=x-1-\ln(x)$.

1. Étudier les variations de $g$.

2. Déterminer le minimum de $g$.

3. En déduire une inégalité vérifiée par $\ln(x)$.

Corrigé détaillé

Question 1

Calculer la dérivée

On dérive chaque terme de g.

g(x) = x - 1 - ln(x) g'(x) = 1 - 1/x g'(x) = (x - 1)/x

Le signe de g'(x) dépend de x - 1 car x est positif.

Question 2

Étudier les variations

Sur $]0 ; +\infty[$, le dénominateur $x$ est strictement positif.

g'(x) < 0 <=> x < 1 g'(x) = 0 <=> x = 1 g'(x) > 0 <=> x > 1 g est décroissante sur ]0 ; 1] g est croissante sur [1 ; +\infty[

La fonction $g$ admet un minimum en $x=1$.

Question 3

Conclure avec le minimum

On calcule la valeur minimale puis on réorganise l'inégalité.

g(1) = 1 - 1 - ln(1) g(1) = 0 pour tout x > 0, g(x) >= 0 x - 1 - ln(x) >= 0 ln(x) <= x - 1

Pour tout $x>0$, on a $\ln(x)\le x-1$.

Exercice 4

Variations de x ln(x)

Énoncé

On considère la fonction $f$ définie sur $]0 ; +\infty[$.

Pour tout $x>0$, $f(x)=x\ln(x)$.

1. Calculer $f'(x)$.

2. Étudier les variations de $f$.

3. Déterminer le minimum de $f$.

Corrigé détaillé

Question 1

Dériver un produit

On utilise la formule de dérivation d'un produit.

f(x) = x ln(x) f'(x) = 1*ln(x) + x*(1/x) f'(x) = ln(x) + 1

La dérivée est $f'(x)=\ln(x)+1$.

Question 2

Étudier le signe

On résout l'inéquation portant sur le logarithme.

ln(x) + 1 = 0 <=> ln(x) = -1ln(x) = -1 <=> x = e^{-1}f'(x) < 0 <=> x < e^{-1}f'(x) > 0 <=> x > e^{-1}

La fonction décroît sur $]0 ; e^{-1}]$ puis croît sur $[e^{-1} ; +\infty[$.

Question 3

Calculer le minimum

Le changement de signe de $f'$ donne le minimum.

f(e^{-1}) = e^{-1} ln(e^{-1})f(e^{-1}) = e^{-1}*(-1)f(e^{-1}) = -e^{-1}

Le minimum de $f$ vaut $-e^{-1}$.

Exercice 5

Inéquation logarithmique

Énoncé

On cherche à résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\ln(x)+\ln(x-1)\ge \ln(2)$.

1. Déterminer l'ensemble de définition.

2. Transformer l'inéquation.

3. Donner l'ensemble des solutions.

Corrigé détaillé

Question 1

Trouver le domaine

Chaque logarithme doit porter sur une quantité strictement positive.

x > 0 x - 1 > 0 x > 1

L'inéquation est définie sur $]1 ; +\infty[$.

Question 2

Regrouper les logarithmes

Sur le domaine, on peut utiliser $\ln(a)+\ln(b)=\ln(ab)$.

ln(x) + ln(x - 1) >= ln(2) ln(x(x - 1)) >= ln(2) x(x - 1) >= 2

La croissance de $\ln$ permet de supprimer les logarithmes.

Question 3

Résoudre l'inéquation polynomiale

On ramène tout dans le même membre.

x(x - 1) >= 2 x^2 - x - 2 >= 0 (x - 2)(x + 1) >= 0

Sur le domaine $]1 ; +\infty[$, le facteur $x+1$ est positif.

L'ensemble des solutions est $[2 ; +\infty[$.

Exercice 6

Variations de $\ln(x)/x$

Énoncé

On considère la fonction $f$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}$.

1. Calculer $f'(x)$.

2. Dresser le sens de variation de $f$.

3. Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.

Corrigé détaillé

Question 1

Dériver le quotient

On utilise la formule de dérivation d'un quotient.

f'(x) = ((1/x)x - ln(x))/(x^2) f'(x) = (1 - ln(x))/(x^2)

Comme $x^2>0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $1-\ln(x)$.

Question 2

Étudier le signe

On résout $1-\ln(x)=0$.

1 - ln(x) = 0 ln(x) = 1 x = e

La fonction est croissante sur $]0 ; e]$ puis décroissante sur $[e ; +\infty[$.

Le maximum est atteint en $x=e$ et vaut $f(e)=\dfrac{1}{e}$.

Question 3

Utiliser la croissance comparée

Le logarithme croît beaucoup moins vite que la fonction affine $x$.

\lim_{x\to+\infty} ln(x)/x = 0

On obtient $\lim_{x\to+\infty} f(x)=0$.

Exercice 7

Équation avec somme de logarithmes

Énoncé

On cherche à résoudre l'équation $\ln(x)+\ln(x-2)=\ln(3)$.

1. Déterminer le domaine de résolution.

2. Transformer l'équation en une équation polynomiale.

3. Donner l'ensemble des solutions.

Corrigé détaillé

Question 1

Déterminer les conditions d'existence

Chaque logarithme impose que son argument soit strictement positif.

x > 0 x - 2 > 0 x > 2

On résout l'équation sur l'intervalle $]2 ; +\infty[$.

Question 2

Utiliser la propriété du logarithme

Sur le domaine, on peut regrouper la somme de logarithmes.

ln(x) + ln(x - 2) = ln(x(x - 2)) ln(x(x - 2)) = ln(3) x(x - 2) = 3 x^2 - 2x - 3 = 0

L'équation logarithmique est ramenée à une équation du second degré.

Question 3

Résoudre puis filtrer

Les solutions du polynôme doivent encore respecter le domaine $x>2$.

x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) (x - 3)(x + 1) = 0 x = 3 ou x = -1 x > 2 x = 3

L'équation admet une unique solution : $x=3$.

Exercice 8

Maximum de $\ln(x)/x$

Énoncé

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par $f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}$.

1. Calculer la dérivée de $f$.

2. Étudier le signe de $f'(x)$.

3. En déduire les variations de $f$ et son maximum.

Corrigé détaillé

Question 1

Dériver un quotient

On peut écrire $f(x)=\ln(x)\times \dfrac{1}{x}$, ou utiliser la formule du quotient.

u(x) = ln(x) u'(x) = 1/x v(x) = x v'(x) = 1 f'(x) = ((1/x)*x - ln(x))/(x^2) f'(x) = (1 - ln(x))/(x^2)

La dérivée est $f'(x)=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}$.

Question 2

Étudier le signe

Le dénominateur $x^2$ est strictement positif sur l'intervalle d'étude.

x^2 > 0 f'(x) a le signe de 1 - ln(x) 1 - ln(x) >= 0 <=> ln(x) <= 1 ln(x) <= 1 <=> x <= e

La dérivée est positive sur $]0 ; e]$ et négative sur $[e ; +\infty[$.

Question 3

Conclure sur les variations

Le signe de la dérivée donne les intervalles de croissance et de décroissance.

f est croissante sur ]0 ; e] f est décroissante sur [e ; +\infty[f(e) = ln(e)/e f(e) = 1/e

La fonction $f$ admet un maximum égal à $\dfrac{1}{e}$, atteint pour $x=e$.