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Fonctions

Primitives

Fonctions

Primitives

Exercices corrigés de primitives disponibles en HTML statique, avec le JavaScript conservé pour l'interactivité.

Exercice 1

Primitive d'une forme composée

Énoncé

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$.

Pour tout réel $x$, $f(x)=(2x+1)e^{x^2+x}$.

1. Reconnaître une forme composée.

2. Donner toutes les primitives de $f$ sur $\mathbb{R}$.

3. Déterminer la primitive $F$ telle que $F(0)=3$.

Corrigé détaillé

Question 1
Identifier u et u'

On cherche une fonction u dont la dérivée est le facteur placé devant l'exponentielle.

u(x) = x^2 + x
u'(x) = 2x + 1
f(x) = u'(x)e^{u(x)}

La forme reconnue est $u'e^{u}$.

Question 2
Écrire les primitives

Une primitive de $u'e^{u}$ est $e^{u}$.

F(x) = e^{u(x)} + C
F(x) = e^{x^2 + x} + C

Les primitives de $f$ sont les fonctions $x\mapsto e^{x^2+x}+C$.

Question 3
Utiliser la condition initiale

On remplace x par 0 dans l'expression de F.

F(0) = e^{0^2 + 0} + C
F(0) = 1 + C
1 + C = 3
C = 2
F(x) = e^{x^2 + x} + 2

La primitive demandée est $F(x)=e^{x^2+x}+2$.

Exercice 2

Primitive d'une puissance composée

Énoncé

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$.

Pour tout réel $x$, $f(x)=3(2x-1)^2$.

1. Identifier une forme composée.

2. Donner toutes les primitives de $f$.

3. Déterminer la primitive $F$ telle que $F(1)=0$.

Corrigé détaillé

Question 1
Identifier la fonction intérieure

On repère une puissance de $2x-1$ et la dérivée de cette expression.

u(x) = 2x - 1
u'(x) = 2
f(x) = 3u(x)^2

La primitive attendue doit être proportionnelle à $u^3$.

Question 2
Écrire les primitives

On choisit le coefficient pour que la dérivée redonne $3(2x-1)^2$.

((2x - 1)^3)' = 6(2x - 1)^2
((2x - 1)^3/2)' = 3(2x - 1)^2
F(x) = (2x - 1)^3/2 + C

Toutes les primitives sont $F(x)=\dfrac{(2x-1)^3}{2}+C$.

Question 3
Utiliser la condition

On remplace $x$ par $1$ dans l'expression de $F$.

F(1) = (2*1 - 1)^3/2 + C
F(1) = 1/2 + C
0 = 1/2 + C
C = -1/2

La primitive demandée est $F(x)=\dfrac{(2x-1)^3}{2}-\dfrac{1}{2}$.

Exercice 3

Primitive avec logarithme et puissance

Énoncé

On considère la fonction $g$ définie sur $]-1 ; +\infty[$.

Pour tout $x>-1$, $g(x)=3x^2-\dfrac{4}{(x+1)^2}+\dfrac{2}{x+1}$.

1. Donner une primitive de chaque terme.

2. Écrire toutes les primitives de $g$ sur $]-1 ; +\infty[$.

3. Déterminer celle qui s'annule en 0.

Corrigé détaillé

Question 1
Traiter les termes séparément

On utilise la linéarité des primitives.

3x^2 -> x^3
-4(x + 1)^(-2) -> 4/(x + 1)
2/(x + 1) -> 2ln(x + 1)

Chaque terme possède une primitive simple sur $]-1 ; +\infty[$.

Question 2
Assembler une primitive

On additionne les primitives terme à terme.

G(x) = x^3 + 4/(x + 1) + 2ln(x + 1) + C

Toutes les primitives sont de cette forme, avec $C$ réel.

Question 3
Imposer G(0) = 0

On calcule la valeur en 0.

G(0) = 0^3 + 4/(0 + 1) + 2ln(1) + C
G(0) = 4 + C
G(0) = 0 <=> 4 + C = 0
C = -4
G(x) = x^3 + 4/(x + 1) + 2ln(x + 1) - 4

La primitive cherchée est $G(x)=x^3+\dfrac{4}{x+1}+2\ln(x+1)-4$.

Exercice 4

Primitive avec exponentielle et logarithme

Énoncé

On considère la fonction $g$ définie sur $]0 ; +\infty[$.

Pour tout $x>0$, $g(x)=e^{3x-1}+\dfrac{2}{x}$.

1. Donner une primitive de chaque terme.

2. Écrire toutes les primitives de $g$.

3. Trouver celle qui vérifie $G(1)=0$.

Corrigé détaillé

Question 1
Traiter les deux termes

On utilise une primitive de $e^{ax+b}$ et une primitive de $1/x$.

e^{3x - 1} -> e^{3x - 1}/3
2/x -> 2ln(x)

Les deux primitives élémentaires sont identifiées.

Question 2
Assembler les primitives

On additionne les primitives terme à terme.

G(x) = e^{3x - 1}/3 + 2ln(x) + C

Toutes les primitives sont de cette forme, avec $C\in\mathbb{R}$.

Question 3
Imposer G(1)=0

On calcule $G(1)$ puis on isole $C$.

G(1) = e^{3*1 - 1}/3 + 2ln(1) + C
G(1) = e^{2}/3 + C
0 = e^{2}/3 + C
C = -e^{2}/3

La primitive cherchée est $G(x)=\dfrac{e^{3x-1}}{3}+2\ln(x)-\dfrac{e^{2}}{3}$.

Exercice 5

Primitive d'une puissance affine

Énoncé

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3(3x+2)^4$.

1. Reconnaître une primitive de $f$.

2. Déterminer toutes les primitives de $f$.

3. Trouver la primitive $F$ telle que $F(0)=1$.

Corrigé détaillé

Question 1
Reconnaître la forme

La dérivée de $3x+2$ vaut $3$, ce qui apparaît devant la puissance.

u(x) = 3x + 2
u'(x) = 3
3(3x + 2)^4 -> (3x + 2)^5/5

Une primitive de $f$ est $x\mapsto \dfrac{(3x+2)^5}{5}$.

Question 2
Écrire toutes les primitives

Toutes les primitives diffèrent d'une constante réelle.

F(x) = (3x + 2)^5/5 + C

Toutes les primitives sont $F(x)=\dfrac{(3x+2)^5}{5}+C$ avec $C\in\mathbb{R}$.

Question 3
Utiliser la condition initiale

On impose $F(0)=1$ pour déterminer la constante.

F(0) = 2^5/5 + C
1 = 32/5 + C
C = 1 - 32/5
C = -27/5

La primitive demandée est $F(x)=\dfrac{(3x+2)^5}{5}-\dfrac{27}{5}$.

Exercice 6

Primitive avec logarithme et exponentielle

Énoncé

On considère la fonction $g$ définie sur $\left]-\dfrac{1}{2} ; +\infty\right[$ par $g(x)=\dfrac{2}{2x+1}+e^{-x}$.

1. Identifier une primitive de chaque terme.

2. Écrire toutes les primitives de $g$.

3. Déterminer la primitive $G$ telle que $G(0)=0$.

Corrigé détaillé

Question 1
Identifier les primitives élémentaires

On reconnaît une forme $u'/u$ et une exponentielle composée.

2/(2x + 1) -> ln(2x + 1)
e^{-x} -> -e^{-x}

Les deux termes admettent des primitives simples sur l'intervalle considéré.

Question 2
Assembler par linéarité

La primitive d'une somme est la somme des primitives.

G(x) = ln(2x + 1) - e^{-x} + C

Toutes les primitives sont $G(x)=\ln(2x+1)-e^{-x}+C$.

Question 3
Imposer la valeur en zéro

On remplace $x$ par $0$ puis on résout l'équation obtenue.

G(0) = ln(1) - e^{0} + C
G(0) = -1 + C
0 = -1 + C
C = 1

La primitive cherchée est $G(x)=\ln(2x+1)-e^{-x}+1$.

Exercice 7

Primitive avec puissance affine et logarithme

Énoncé

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]-1 ; +\infty[$.

Pour tout $x>-1$, $f(x)=(2x+1)^4+\dfrac{3}{x+1}$.

1. Donner une primitive de $x\mapsto (2x+1)^4$.

2. Donner toutes les primitives de $f$.

3. Déterminer la primitive $F$ telle que $F(0)=0$.

Corrigé détaillé

Question 1
Primitiver la puissance composée

La dérivée de $2x+1$ vaut $2$, donc on ajuste le coefficient.

(2x + 1)^4 -> (2x + 1)^5/10
((2x + 1)^5/10)' = (2x + 1)^4

Une primitive de $x\mapsto (2x+1)^4$ est $x\mapsto \dfrac{(2x+1)^5}{10}$.

Question 2
Assembler les primitives

On primitive séparément les deux termes de la somme.

(2x + 1)^4 -> (2x + 1)^5/10
3/(x + 1) -> 3ln(x + 1)
F(x) = (2x + 1)^5/10 + 3ln(x + 1) + C

Toutes les primitives sont $F(x)=\dfrac{(2x+1)^5}{10}+3\ln(x+1)+C$ avec $C\in\mathbb{R}$.

Question 3
Utiliser la condition initiale

On remplace $x$ par $0$ dans l'expression générale.

F(0) = 1/10 + 3ln(1) + C
ln(1) = 0
F(0) = 1/10 + C
F(0) = 0
C = -1/10

La primitive cherchée est $F(x)=\dfrac{(2x+1)^5}{10}+3\ln(x+1)-\dfrac{1}{10}$.

Exercice 8

Primitive imposée avec exponentielle composée

Énoncé

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$.

Pour tout $x>0$, $g(x)=4x e^{x^2+1}-\dfrac{2}{x^3}$.

1. Reconnaître les deux formes à primitiver.

2. Donner toutes les primitives de $g$.

3. Déterminer la primitive $G$ telle que $G(1)=0$.

Corrigé détaillé

Question 1
Identifier les formes

On reconnaît une forme $u'e^u$ et une puissance négative.

u(x) = x^2 + 1
u'(x) = 2x
4x e^(x^2 + 1) -> 2e^(x^2 + 1)
-2/x^3 = -2x^(-3)
-2x^(-3) -> x^(-2)

Les deux termes admettent des primitives directes sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$.

Question 2
Écrire la primitive générale

On additionne les primitives obtenues et on ajoute une constante réelle.

G(x) = 2e^(x^2 + 1) + x^(-2) + C
G(x) = 2e^(x^2 + 1) + 1/x^2 + C

Toutes les primitives sont $G(x)=2e^{x^2+1}+\dfrac{1}{x^2}+C$.

Question 3
Déterminer la constante

On utilise la condition $G(1)=0$.

G(1) = 2e^2 + 1 + C
G(1) = 0
2e^2 + 1 + C = 0
C = -2e^2 - 1

La primitive vérifiant $G(1)=0$ est $G(x)=2e^{x^2+1}+\dfrac{1}{x^2}-2e^2-1$.