MathSups - Géométrie - Représentations paramétriques et équations cartésiennes

Exercice 1

Representation parametrique d'une droite

Énoncé

On considère A(1 ; -2 ; 0) et un vecteur directeur u = (2 ; 1 ; -3).

1. Ecrire une representation parametrique de la droite passant par A et de vecteur directeur u.

2. Verifier que le point B(3 ; -1 ; -3) appartient a la droite.

Corrigé détaillé

Question 1

Ecrire la representation parametrique.

On part du point A et on ajoute t fois le vecteur directeur.

x = 1 + 2t y = -2 + t z = -3t

On obtient la representation parametrique.

Question 2

Verifier l'appartenance de B.

On cherche une même valeur de t.

3 = 1 + 2t

2t = 2

t = 1

y = -2 + 1 = -1z = -3\times1 = -3

Le point B appartient a la droite.

Exercice 2

Point sur une droite parametrique

Énoncé

La droite d est définie par x = 2 + t, y = 1 - 2t, z = 3t.

1. Dire si le point B(4 ; -3 ; 6) appartient a d.

2. Dire si le point C(2 ; 1 ; 0) appartient a d.

Corrigé détaillé

Question 1

Tester B.

On resout les trois équations avec le même parametre.

4 = 2 + t

t = 2

y = 1 - 2\times2 = -3z = 3\times2 = 6

Le point B appartient a d.

Question 2

Tester C.

On cherche le parametre correspondant.

2 = 2 + t donc t = 0y = 1 - 2\times0 = 1z = 3\times0 = 0

Le point C appartient a d.

Exercice 3

Équation cartésienne d'un plan

Énoncé

On considère le point A(1 ; 0 ; 2) et le vecteur normal n = (2 ; -1 ; 3).

1. Ecrire une équation du plan passant par A et de vecteur normal n.

2. Verifier que A appartient bien au plan.

Corrigé détaillé

Question 1

Ecrire l'équation du plan.

On utilise la forme point-normal.

2(x - 1) - (y - 0) + 3(z - 2) = 0

2x - 2 - y + 3z - 6 = 0

2x - y + 3z - 8 = 0

L'équation cartésienne est obtenue.

Question 2

Verifier l'appartenance de A.

On remplace les coordonnées de A.

2\times1 - 0 + 3\times2 - 8 = 0

2 + 6 - 8 = 0

Le point A appartient au plan.

Exercice 4

Intersection d'une droite et d'un plan

Énoncé

On considère la droite d : x = 1 + t, y = 2 - t, z = t et le plan P : x + y + z = 4.

1. Déterminer la valeur du parametre t.

2. Donner les coordonnées du point d'intersection.

Corrigé détaillé

Question 1

Déterminer t.

On remplace dans l'équation du plan.

(1 + t) + (2 - t) + t = 4

3 + t = 4

t = 1

Le parametre vaut t = 1.

Question 2

Donner le point d'intersection.

On remplace t par 1 dans la droite.

x = 1 + 1 = 2 y = 2 - 1 = 1 z = 1

Le point d'intersection est I(2 ; 1 ; 1).

Exercice 5

Position relative d'une droite et d'un plan

Énoncé

On considère la droite d : x = 1 + t, y = t, z = 2 - t et le plan P : x - y + z = 3.

1. Tester si d est incluse dans P.

2. Conclure sur la position relative.

Corrigé détaillé

Question 1

Tester l'inclusion.

On remplace dans l'équation du plan.

x - y + z = (1 + t) - t + (2 - t) x - y + z = 3 - t

L'egalite depend de t.

Question 2

Conclure.

On regarde si l'egalite vaut pour tout t.

pour appartenir au plan, il faudrait 3 - t = 3

il faudrait donc t = 0

ce n'est pas vrai pour tout t

donc d n'est pas incluse dans P

La droite n'est pas contenue dans le plan.

Exercice 6

Intersection de deux plans

Énoncé

On considère P : x + y + z = 1 et Q : x - y + z = 3.

1. Resoudre le systeme des deux équations.

2. Ecrire une representation parametrique de la droite d'intersection.

Corrigé détaillé

Question 1

Resoudre le systeme.

On soustrait les équations pour eliminer une variable.

(x + y + z) - (x - y + z) = 1 - 3

2y = -2 y = -1 alors x + z = 2

On obtient une relation entre x et z.

Question 2

Ecrire la droite d'intersection.

On choisit z = t.

z = t

x + t = 2

x = 2 - t y = -1

La droite d'intersection a pour representation parametrique x = 2 - t, y = -1, z = t.

Exercice 7

Conversion parametrique vers cartésien

Énoncé

On considère la droite d : x = 1 + 2t, y = -1 + t, z = 3 - t.

1. Eliminer le parametre t.

2. Obtenir une relation entre x, y et z.

3. Donner une interprétation géométrique.

Corrigé détaillé

Question 1

Eliminer t.

On exprime t a partir d'une coordonnee puis on remplace.

de y = -1 + t, on tire t = y + 1 de z = 3 - t, on tire t = 3 - z

On a deux expressions du parametre.

Question 2

Obtenir une relation cartésienne.

On egalise les expressions de t.

y + 1 = 3 - z

y + z = 2 x = 1 + 2(y + 1) x = 2y + 3

La droite est caracterisee par deux relations lineaires.

Question 3

Interprétation géométrique.

On reconnait une droite de l'espace comme intersection de deux plans.

d est l'intersection des plans y + z = 2 et x - 2y = 3

La droite s'ecrit comme intersection de deux plans.

Exercice 8

Representation parametrique d'une droite

Énoncé

On considère A(1 ; -2 ; 0) et un vecteur directeur u = (2 ; 1 ; -3).

1. Ecrire une representation parametrique de la droite passant par A et de vecteur directeur u.

2. Verifier que B(3 ; -1 ; -3) appartient a la droite.

Corrigé détaillé

Question 1

Ecrire la representation parametrique

On part du point A et on ajoute t fois le vecteur directeur.

x = 1 + 2t y = -2 + t z = -3t

On obtient la representation parametrique.

Question 2

Verifier l'appartenance de B

On cherche une même valeur de t.

3 = 1 + 2t

2t = 2

t = 1

y = -2 + 1 = -1 z = -3*1 = -3

Le point B appartient a la droite.

Exercice 9

Point d'une droite parametrique et plan

Énoncé

On considère la droite d : x = 2 - s, y = 1 + 2s, z = 3 + s et le plan P : x + y + z = 7.

1. Remplacer x, y, z dans l'équation du plan.

2. Déterminer la valeur de s.

3. Donner le point d'intersection.

Corrigé détaillé

Question 1

Remplacer dans le plan

On substitue les expressions parametriques.

(2 - s) + (1 + 2s) + (3 + s) = 7

6 + 2s = 7

On obtient une équation linéaire.

Question 2

Déterminer s

On resout l'équation.

6 + 2s = 7

2s = 1

s = 1/2

Le parametre vaut 1/2.

Question 3

Donner le point d'intersection

On remplace s par 1/2.

x = 2 - 1/2 = 3/2 y = 1 + 2*(1/2) = 2 z = 3 + 1/2 = 7/2

Le point d'intersection est I(3/2 ; 2 ; 7/2).

Exercice 10

Plan en representation parametrique

Énoncé

On considère le point A(1 ; 0 ; 2) et deux vecteurs directeurs u = (1 ; 1 ; 0) et v = (-1 ; 0 ; 1).

1. Ecrire une representation parametrique du plan.

2. Verifier que M(2 ; 1 ; 2) appartient au plan.

3. Conclure.

Corrigé détaillé

Question 1

Ecrire la representation parametrique

On part du point A puis on ajoute deux directions.

(x ; y ; z) = (1 ; 0 ; 2) + s(1 ; 1 ; 0) + t(-1 ; 0 ; 1)

x = 1 + s - t y = s z = 2 + t

On a la representation parametrique du plan.

Question 2

Verifier l'appartenance de M

On cherche des valeurs de s et t.

y = s = 1 t = 0 car z = 2 + t = 2 x = 1 + 1 - 0 = 2

Le point M appartient au plan.

Question 3

Conclure

Un point qui admet des valeurs compatibles appartient au plan.

M(2 ; 1 ; 2) appartient au plan

Le point M est bien dans le plan.

Exercice 11

Passage d'une representation parametrique a une équation cartesienne

Énoncé

On considère le plan defini par x = 1 + s - t, y = 2 + s, z = 3 + t.

1. Exprimer s et t en fonction de y et z.

2. En déduire une équation cartesienne du plan.

3. Verifier que A(2 ; 3 ; 4) appartient au plan.

Corrigé détaillé

Question 1

Exprimer s et t

On isole d'abord s puis t.

y = 2 + s donc s = y - 2 z = 3 + t donc t = z - 3

On a s et t en fonction de y et z.

Question 2

En déduire une équation cartesienne

On remplace dans x.

x = 1 + (y - 2) - (z - 3) x = y - z + 2

x - y + z - 2 = 0

L'équation cartesienne du plan est x - y + z - 2 = 0.

Question 3

Verifier l'appartenance de A

On remplace les coordonnées de A.

2 - 3 + 4 - 2 = 1

ce n'est pas nul

Le point A n'appartient pas au plan.

Exercice 12

Droite incluse dans un plan

Énoncé

On considère la droite d : x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 et le plan P : x + y + z = 6.

1. Remplacer les expressions de la droite dans l'équation du plan.

2. Dire si l'egalite est vraie pour tout t.

3. Conclure sur la position de la droite.

Corrigé détaillé

Question 1

Remplacer dans le plan

On substitue les expressions parametriques.

(1 + t) + (2 - t) + 3 = 6

6 = 6

On obtient une identité.

Question 2

Dire si l'egalite est vraie pour tout t

On constate que t disparait.

6 = 6 pour tout t

l'egalite ne depend pas du parametre

L'egalite est vraie pour tout t.

Question 3

Conclure

Une droite dont tous les points verifient l'équation d'un plan est incluse dans ce plan.

tous les points de d appartiennent a P

donc la droite d est incluse dans le plan P

La droite d est incluse dans le plan P.