MathSups - Probabilités - Combinatoire et dénombrement

Exercice 1

Codes à quatre lettres distinctes

Énoncé

On dispose de 7 lettres différentes.

1. Combien de codes de 4 lettres distinctes peut-on former ?

2. Combien commencent par une lettre imposée ?

3. Combien contiennent deux lettres imposées ?

Corrigé détaillé

Question 1

Compter les codes de 4 lettres distinctes

On choisit les lettres successivement, sans répétition.

pour le premier rang, on a 7 choix

pour le deuxième rang, on a 6 choix

pour le troisième rang, on a 5 choix

pour le quatrième rang, on a 4 choix

donc le nombre total est 7 \times 6 \times 5 \times 47 \times 6 \times 5 \times 4 = 840

On peut former 840 codes.

Question 2

Codes commençant par une lettre imposée

La première lettre est fixée, puis on choisit les autres.

la première lettre est imposée

il reste 6 choix pour la deuxième lettre

5 choix pour la troisième

4 choix pour la quatrième

donc 6 \times 5 \times 4 = 120

Il y en a 120.

Question 3

Codes contenant deux lettres imposées

On place d'abord les deux lettres imposées puis on complète.

on choisit les 2 positions des lettres imposées : C(4 ; 2)

C(4 ; 2) = 6

les deux lettres imposées peuvent être disposées de 2! façons

il reste 5 lettres disponibles pour les deux autres rangs : 5 \times 4donc 6 \times 2 \times 5 \times 4 = 240

On obtient 240 codes.

Exercice 2

Codes a 4 chiffres avec contraintes

Énoncé

On forme des codes de 4 chiffres distincts avec les chiffres de 0 a 9.

Le premier chiffre est fixe et vaut 1.

Les chiffres 7 et 8 doivent apparaitre dans le code.

1. Combien de codes peut-on former ?

2. Combien de codes ont 7 et 8 cote a cote ?

3. Combien de codes ont 7 et 8 separes ?

Corrigé détaillé

Question 1

Compter tous les codes

On place d'abord 7 et 8, puis on choisit les autres chiffres.

Le premier chiffre est fixe : 1.

Il reste 3 places a remplir.

On choisit les 2 places de 7 et 8 : C(3 ; 2) = 3.

On ordonne 7 et 8 sur ces 2 places : 2! = 2.

Il reste 1 place, et il y a 7 chiffres possibles parmi ceux qui ne sont pas deja utilises.

Le nombre total est 3 x 2 x 7 = 42.

Question 2

Codes avec 7 et 8 cote a cote

On regroupe 7 et 8 en un seul bloc.

Le premier chiffre est fixe : 1.

On forme un bloc (78) ou (87).

Il reste 2 positions pour le bloc et le dernier chiffre.

Le bloc peut etre range de 2! facons.

Le dernier chiffre peut etre choisi de 7 facons.

On obtient 2 x 2 x 7 = 28 codes.

Question 3

Codes avec 7 et 8 separes

On fait le complement.

Nombre total de codes : 42.

Nombre de codes avec 7 et 8 cote a cote : 28.

Donc nombre de codes avec 7 et 8 separes : 42 - 28 = 14.

Il y a 14 codes avec 7 et 8 separes.

Exercice 3

Comités simples

Énoncé

On choisit un comité de 3 élèves parmi 8.

1. Combien de comités peut-on former ?

2. Combien contiennent un élève donné ?

3. Combien ne contiennent pas cet élève ?

Corrigé détaillé

Question 1

Nombre total de comités

On choisit 3 élèves parmi 8 sans tenir compte de l'ordre.

le nombre de comités est C(8 ; 3)

C(8 ; 3) = 8!/(3! \times 5!)C(8 ; 3) = (8 \times 7 \times 6)/(3 \times 2 \times 1)C(8 ; 3) = 56

On peut former 56 comités.

Question 2

Comités contenant un élève donné

L'élève est fixé, il reste à choisir les deux autres.

l'élève donné est déjà dans le comité

il reste 7 élèves possibles pour les 2 places restantes

le nombre de comités est C(7 ; 2)

C(7 ; 2) = 7!/(2! \times 5!)C(7 ; 2) = (7 \times 6)/2C(7 ; 2) = 21

Il y a 21 comités possibles.

Question 3

Comités ne contenant pas cet élève

On choisit 3 élèves parmi les 7 restants.

il y a 7 élèves disponibles

le nombre de comités est C(7 ; 3)

C(7 ; 3) = 7!/(3! \times 4!)C(7 ; 3) = (7 \times 6 \times 5)/(3 \times 2 \times 1)C(7 ; 3) = 35

Il y a 35 comités qui ne contiennent pas cet élève.

Exercice 4

Comite avec exactement 2 filles

Énoncé

On choisit un comite de 4 personnes parmi 6 filles et 5 garcons.

1. Combien de comites peut-on former ?

2. Combien contiennent exactement 2 filles ?

3. Combien contiennent au moins 1 garcon ?

Corrigé détaillé

Question 1

Nombre total de comites

On choisit 4 personnes parmi 11 sans tenir compte de l'ordre.

Le nombre total de comites est C(11 ; 4).

C(11 ; 4) = 11! / (4! x 7!). C(11 ; 4) = (11 x 10 x 9 x 8) / (4 x 3 x 2 x 1). C(11 ; 4) = 330.

Il y a 330 comites.

Question 2

Comites avec exactement 2 filles

On choisit séparément les filles et les garcons.

Choisir 2 filles parmi 6 : C(6 ; 2) = 15. Choisir 2 garcons parmi 5 : C(5 ; 2) = 10. On multiplie : 15 x 10 = 150.

Il y a 150 comites avec exactement 2 filles.

Question 3

Comites avec au moins 1 garcon

On passe par le complement.

Le complement est le cas '4 filles'.

Choisir 4 filles parmi 6 : C(6 ; 4) = 15.

Donc comites avec au moins 1 garcon : 330 - 15 = 315.

Il y a 315 comites avec au moins 1 garcon.

Exercice 5

Répartition en groupes

Énoncé

On répartit 9 élèves en 3 groupes de 3 non nommés.

1. Combien de répartitions existe-t-il ?

2. Combien de répartitions placent deux élèves donnés dans le même groupe ?

3. En déduire le nombre de répartitions où ces deux élèves sont séparés.

Corrigé détaillé

Question 1

Répartitions totales

On compte d'abord les groupes ordonnés, puis on corrige.

on choisit 3 élèves parmi 9 pour le premier groupe : C(9 ; 3)

on choisit 3 élèves parmi les 6 restants : C(6 ; 3)

on choisit les 3 derniers : C(3 ; 3)

puis on divise par 3! car les groupes ne sont pas nommés

nombre = C(9 ; 3) \times C(6 ; 3) \times C(3 ; 3) / 3!nombre = 84 \times 20 \times 1 / 6

nombre = 280

Il y a 280 répartitions.

Question 2

Deux élèves dans le même groupe

On place d'abord les deux élèves ensemble puis on complète.

on regroupe les deux élèves donnés avec un troisième élève choisi parmi les 7 autres

il y a C(7 ; 1) = 7 choix pour compléter le groupe

une fois ce groupe fixé, il reste 6 élèves à répartir en 2 groupes de 3

nombre = 7 \times [C(6 ; 3) \times C(3 ; 3) / 2!]nombre = 7 \times (20 \times 1 / 2)nombre = 7 \times 10

nombre = 70

Il y a 70 répartitions où les deux élèves sont dans le même groupe.

Question 3

Deux élèves séparés

On fait le complément.

nombre total = 280

nombre avec les deux élèves ensemble = 70

donc nombre avec les deux élèves séparés = 280 - 70

280 - 70 = 210

Il y a 210 répartitions où les deux élèves sont séparés.

Exercice 6

Anagrammes du mot STATISTIQUE

Énoncé

On considère le mot STATISTIQUE.

1. Combien d'anagrammes differentes peut-on former ?

2. Combien commencent par S ?

3. Combien ont les trois T cote a cote ?

Corrigé détaillé

Question 1

Compter les anagrammes

On tient compte des repetitions de lettres.

Le mot contient 11 lettres.

On répète 3 lettres T, 2 lettres S et 2 lettres I.

Le nombre d'anagrammes vaut 11! / (3! x 2! x 2!).

11! / (3! x 2! x 2!) = 39916800 / 24.

On obtient 1663200.

Il y a 1663200 anagrammes.

Question 2

Anagrammes commencant par S

On fixe un S en premiere position.

Il reste 10 lettres a organiser.

Il reste 3 T, 1 S et 2 I parmi ces 10 lettres.

Le nombre d'anagrammes vaut 10! / (3! x 2!).

10! / 12 = 302400.

Il y a 302400 anagrammes commencant par S.

Question 3

Anagrammes avec les trois T cote a cote

On regroupe TTT en un seul bloc.

On remplace TTT par un bloc unique.

On a alors 9 objets a arranger.

Il reste 2 S et 2 I identiques.

Le nombre d'anagrammes vaut 9! / (2! x 2!).

9! / 4 = 90720.

Il y a 90720 anagrammes avec les trois T cote a cote.

Exercice 7

Codes chiffrés sans répétition

Énoncé

On forme des codes à 4 chiffres distincts avec les chiffres de 0 à 9.

1. Combien de codes peut-on former si le premier chiffre n'est pas 0 ?

2. Combien de codes contiennent le chiffre 0 ?

3. Combien contiennent exactement deux chiffres pairs ?

Corrigé détaillé

Question 1

Codes à 4 chiffres distincts avec premier chiffre non nul

On choisit les chiffres successivement.

pour le premier chiffre, on a 9 choix

pour le deuxième, on a 9 choix

pour le troisième, on a 8 choix

pour le quatrième, on a 7 choix

donc 9 \times 9 \times 8 \times 79 \times 9 \times 8 \times 7 = 4536

On peut former 4536 codes.

Question 2

Codes contenant le chiffre 0

On compte d'abord les codes possibles puis on enlève ceux sans 0.

nombre total de codes distincts avec premier chiffre non nul = 4536

nombre de codes sans 0 : 9 \times 8 \times 7 \times 69 \times 8 \times 7 \times 6 = 3024

donc codes contenant 0 = 4536 - 3024

4536 - 3024 = 1512

Il y a 1512 codes contenant le chiffre 0.

Question 3

Exactement deux chiffres pairs

On choisit les positions des chiffres pairs puis on compte séparément.

il y a 5 chiffres pairs : 0, 2, 4, 6, 8

il y a 5 chiffres impairs : 1, 3, 5, 7, 9

on choisit les 2 positions des chiffres pairs : C(4 ; 2)

C(4 ; 2) = 6on place 2 chiffres pairs distincts sur ces positions : 5 \times 4on place 2 chiffres impairs distincts sur les autres positions : 5 \times 4total = 6 \times 5 \times 4 \times 5 \times 4

total = 2400

Il y a 2400 codes avec exactement deux chiffres pairs.

Exercice 8

Repartition dans des boites

Énoncé

On repartit 7 objets distincts dans 3 boites etiquetees A, B et C.

1. Combien y a-t-il de repartitions possibles ?

2. Combien de repartitions laissent exactement une boite vide ?

3. Combien de repartitions utilisent les 3 boites ?

Corrigé détaillé

Question 1

Nombre total de repartitions

Chaque objet a 3 choix independants.

Chaque objet peut aller dans A, B ou C.

Il y a donc 3 choix pour chaque objet.

Le nombre total vaut 3^7.

3^7 = 2187.

Il y a 2187 repartitions.

Question 2

Exactement une boite vide

On choisit la boite vide puis on repartit les 7 objets dans les 2 autres.

Choisir la boite vide : 3 choix.

Repartir 7 objets dans 2 boites : 2^7 choix.

Il faut enlever les cas ou une des 2 boites reste vide.

Donc 3 x (2^7 - 2).

3 x (128 - 2) = 378.

Il y a 378 repartitions avec exactement une boite vide.

Question 3

Utiliser les 3 boites

On fait le complement des cas avec au moins une boite vide.

Repartitions totales : 2187.

Repartitions avec exactement une boite vide : 378.

Repartitions avec 2 boites vides : 3.

Donc avec les 3 boites utilisees : 2187 - 378 - 3 = 1806.

Il y a 1806 repartitions utilisant les 3 boites.

Exercice 9

Comité avec contrainte de composition

Énoncé

Un groupe contient 6 filles et 4 garçons.

1. Combien de comités de 3 personnes peut-on former ?

2. Combien comportent exactement 2 filles et 1 garçon ?

3. Combien comportent au moins 1 garçon ?

Corrigé détaillé

Question 1

Nombre total de comités

On choisit 3 personnes parmi 10.

le nombre total est C(10 ; 3)

C(10 ; 3) = 10!/(3! \times 7!)C(10 ; 3) = (10 \times 9 \times 8)/(3 \times 2 \times 1)C(10 ; 3) = 120

On peut former 120 comités.

Question 2

Comités avec 2 filles et 1 garçon

On choisit séparément les filles et le garçon.

choisir 2 filles parmi 6 : C(6 ; 2)

C(6 ; 2) = 15

choisir 1 garçon parmi 4 : C(4 ; 1)

C(4 ; 1) = 4donc 15 \times 4 = 60

Il y a 60 comités de ce type.

Question 3

Comités avec au moins 1 garçon

On passe par le complément : zéro garçon.

nombre total de comités = 120

comités sans garçon : C(6 ; 3)

C(6 ; 3) = 20

donc comités avec au moins 1 garçon = 120 - 20

120 - 20 = 100

Il y a 100 comités contenant au moins un garçon.

Exercice 10

Comite avec au moins 3 filles

Énoncé

On choisit 5 eleves parmi 8 filles et 4 garcons.

1. Combien de comites peut-on former ?

2. Combien contiennent exactement 3 filles ?

3. Combien contiennent au moins 3 filles ?

Corrigé détaillé

Question 1

Nombre total de comites

On choisit 5 personnes parmi 12.

Le nombre total est C(12 ; 5).

C(12 ; 5) = 12! / (5! x 7!). C(12 ; 5) = (12 x 11 x 10 x 9 x 8) / (5 x 4 x 3 x 2 x 1). C(12 ; 5) = 792.

Il y a 792 comites.

Question 2

Exactement 3 filles

On choisit 3 filles et 2 garcons.

Choisir 3 filles parmi 8 : C(8 ; 3) = 56. Choisir 2 garcons parmi 4 : C(4 ; 2) = 6. On multiplie : 56 x 6 = 336.

Il y a 336 comites avec exactement 3 filles.

Question 3

Au moins 3 filles

On additionne les cas 3, 4 et 5 filles.

Cas 3 filles : C(8 ; 3) x C(4 ; 2) = 336. Cas 4 filles : C(8 ; 4) x C(4 ; 1) = 70 x 4 = 280. Cas 5 filles : C(8 ; 5) x C(4 ; 0) = 56.

Total : 336 + 280 + 56 = 672.

Il y a 672 comites avec au moins 3 filles.

Exercice 11

Anagrammes avec répétition

Énoncé

On considère le mot TERMINALE.

1. Combien d'anagrammes peut-on former ?

2. Combien commencent par T ?

3. Combien ont les deux E côte à côte ?

Corrigé détaillé

Question 1

Nombre total d'anagrammes

On tient compte de la répétition de la lettre E.

le mot TERMINALE contient 9 lettres

la lettre E apparaît 2 fois

le nombre d'anagrammes est 9!/2!

9!/2! = 362880/2 9!/2! = 181440

On obtient 181440 anagrammes.

Question 2

Anagrammes commençant par T

La première lettre est fixée, puis on permute les autres.

T est imposé en première position

il reste 8 lettres à organiser, avec 2 E identiques

le nombre d'anagrammes est 8!/2!

8!/2! = 40320/2 8!/2! = 20160

Il y en a 20160.

Question 3

Deux E côte à côte

On regroupe les deux E en un seul bloc.

on remplace EE par un seul bloc

on organise alors 8 objets : le bloc EE et les 7 autres lettres

le nombre d'anagrammes est 8!

8! = 40320

Il y a 40320 anagrammes où les deux E sont côte à côte.

Exercice 12

Tirage à contraintes croisées

Énoncé

On choisit 4 élèves parmi 10, dont 4 filles et 6 garçons.

1. Combien de choix possibles ?

2. Combien contiennent au moins 2 filles ?

3. Combien contiennent exactement 1 fille et 3 garçons ?

Corrigé détaillé

Question 1

Nombre total de choix

On choisit 4 élèves parmi 10.

nombre total = C(10 ; 4)C(10 ; 4) = 10!/(4! \times 6!)C(10 ; 4) = (10 \times 9 \times 8 \times 7)/(4 \times 3 \times 2 \times 1)C(10 ; 4) = 210

Il y a 210 choix possibles.

Question 2

Au moins 2 filles

On additionne les cas 2 filles, 3 filles et 4 filles.

cas 2 filles et 2 garçons : C(4 ; 2) \times C(6 ; 2)C(4 ; 2) = 6 et C(6 ; 2) = 15, donc 90cas 3 filles et 1 garçon : C(4 ; 3) \times C(6 ; 1)C(4 ; 3) = 4 et C(6 ; 1) = 6, donc 24cas 4 filles : C(4 ; 4) \times C(6 ; 0) = 1

total = 90 + 24 + 1

total = 115

Il y a 115 choix avec au moins 2 filles.

Question 3

Exactement 1 fille et 3 garçons

On choisit séparément les filles et les garçons.

choisir 1 fille parmi 4 : C(4 ; 1) = 4choisir 3 garçons parmi 6 : C(6 ; 3) = 20donc 4 \times 20 = 80

Il y a 80 choix possibles.