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Probabilités

Loi binomiale

Probabilités

Loi binomiale

Exercices corrigés de loi binomiale disponibles en HTML statique, avec le JavaScript conservé pour l'interactivité.

Exercice 1

Machine défectueuse

Énoncé

Une machine fabrique des pièces. La probabilité qu'une pièce soit défectueuse est 0,2.

On prélève 5 pièces de façon indépendante.

1. Justifier que la variable X suit une loi binomiale.

2. Calculer P(X = 0).

3. Calculer P(X <= 2).

Corrigé détaillé

Question 1
Justifier la loi binomiale

On vérifie les conditions d'un schéma de Bernoulli.

il y a 5 essais identiques et indépendants

chaque essai admet deux issues : défectueuse ou non défectueuse

la probabilité de succès est p = 0,2

donc X suit la loi binomiale B(5 ; 0,2)

La variable X suit B(5 ; 0,2).

Question 2
Calculer P(X = 0)

On applique directement la formule de la loi binomiale.

P(X = 0) = C(5 ; 0) \times 0,2^0 \times 0,8^5
P(X = 0) = 1 \times 1 \times 0,8^5
P(X = 0) = 0,32768

On obtient P(X = 0) = 0,32768.

Question 3
Calculer P(X <= 2)

On additionne les trois premiers termes de la loi.

P(X <= 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
P(X = 1) = C(5 ; 1) \times 0,2 \times 0,8^4
P(X = 1) = 5 \times 0,2 \times 0,4096 = 0,4096
P(X = 2) = C(5 ; 2) \times 0,2^2 \times 0,8^3
P(X = 2) = 10 \times 0,04 \times 0,512 = 0,2048
P(X <= 2) = 0,32768 + 0,4096 + 0,2048
P(X <= 2) = 0,94208

On obtient P(X <= 2) = 0,94208.

Exercice 2

Pieces defectueuses dans une production

Énoncé

Une machine fabrique des pieces avec une probabilité de 0,1 de defectuosite.

On preleve 8 pieces de facon independante.

On note X le nombre de pieces defectueuses.

1. Justifier que X suit une loi binomiale.

2. Calculer P(X = 0).

3. Calculer P(X <= 1).

Corrigé détaillé

Question 1
Reconnaitre la loi

On repère le nombre d'essais et la probabilité de succès.

Chaque piece correspond a un essai.

On a 8 essais independants.

Le succès est 'piece defectueuse' de probabilité 0,1.

Donc X suit la loi B(8 ; 0,1).

X suit B(8 ; 0,1).

Question 2
Calculer P(X = 0)

On applique la formule binomiale.

P(X = 0) = C(8 ; 0) x 0,1^0 x 0,9^8.
C(8 ; 0) = 1 et 0,1^0 = 1.

Donc P(X = 0) = 0,9^8.

0,9^8 = 0,43046721.

P(X = 0) vaut environ 0,4305.

Question 3
Calculer P(X <= 1)

On additionne les cas 0 et 1.

P(X <= 1) = P(X = 0) + P(X = 1).
P(X = 1) = C(8 ; 1) x 0,1 x 0,9^7.
P(X = 1) = 8 x 0,1 x 0,9^7 = 0,38263752.

Donc P(X <= 1) = 0,43046721 + 0,38263752.

On obtient 0,81310473.

P(X <= 1) vaut environ 0,8131.

Exercice 3

Quiz indépendant

Énoncé

Un quiz comporte 10 questions indépendantes.

La probabilité de bonne réponse à chaque question est 0,9.

1. Donner la loi de Y.

2. Calculer P(Y = 9).

3. Calculer l'espérance de Y.

Corrigé détaillé

Question 1
Loi de Y

On identifie le nombre d'essais et la probabilité de succès.

10 questions indépendantes

succès = bonne réponse

probabilité p = 0,9

donc Y suit la loi binomiale B(10 ; 0,9)

La variable Y suit B(10 ; 0,9).

Question 2
Calculer P(Y = 9)

On applique la formule binomiale.

P(Y = 9) = C(10 ; 9) \times 0,9^9 \times 0,1
C(10 ; 9) = 10
donc P(Y = 9) = 10 \times 0,9^9 \times 0,1
P(Y = 9) \approx 0,38742

On obtient P(Y = 9) \approx 0,38742.

Question 3
Calculer E(Y)

On utilise la formule de l'espérance d'une loi binomiale.

si Y suit B(n ; p), alors E(Y) = np

E(Y) = 10 \times 0,9

E(Y) = 9

L'espérance de Y vaut 9.

Exercice 4

Reussites a un questionnaire

Énoncé

Un eleve repond au hasard a 6 questions independantes.

La probabilité de reussir une question est 0,7.

On note X le nombre de reussites.

1. Justifier la loi de X.

2. Calculer P(X = 4).

3. Calculer P(X >= 5).

Corrigé détaillé

Question 1
Justifier la loi

On compte les reussites sur 6 essais independants.

Chaque question est un essai de Bernoulli.

La probabilité de succès vaut 0,7.

Les essais sont independants et identiques.

Donc X suit la loi B(6 ; 0,7).

X suit B(6 ; 0,7).

Question 2
Calculer P(X = 4)

On utilise la formule binomiale.

P(X = 4) = C(6 ; 4) x 0,7^4 x 0,3^2.
C(6 ; 4) = 15.
Donc P(X = 4) = 15 x 0,7^4 x 0,3^2.
0,7^4 = 0,2401 et 0,3^2 = 0,09.
On obtient 15 x 0,2401 x 0,09 = 0,324135.

P(X = 4) vaut environ 0,3241.

Question 3
Calculer P(X >= 5)

On additionne les cas 5 et 6.

P(X >= 5) = P(X = 5) + P(X = 6).
P(X = 5) = C(6 ; 5) x 0,7^5 x 0,3.
P(X = 6) = C(6 ; 6) x 0,7^6.
P(X = 5) = 6 x 0,7^5 x 0,3 = 0,302526.
P(X = 6) = 0,7^6 = 0,117649.

Total : 0,420175.

P(X >= 5) vaut environ 0,4202.

Exercice 5

Au moins un succès

Énoncé

On répète 8 fois une expérience indépendante, avec probabilité de succès 0,3.

1. Déterminer la loi de X.

2. Calculer P(X >= 1) par l'événement contraire.

3. Calculer P(X = 2).

Corrigé détaillé

Question 1
Loi de X

On repère un schéma de Bernoulli.

8 essais indépendants

deux issues à chaque essai

probabilité de succès p = 0,3

donc X suit B(8 ; 0,3)

La variable X suit B(8 ; 0,3).

Question 2
Calculer P(X >= 1)

On passe par le complémentaire.

P(X >= 1) = 1 - P(X = 0)
P(X = 0) = C(8 ; 0) \times 0,3^0 \times 0,7^8
P(X = 0) = 0,7^8
P(X = 0) \approx 0,05765

donc P(X >= 1) \approx 1 - 0,05765

P(X >= 1) \approx 0,94235

On obtient P(X >= 1) \approx 0,94235.

Question 3
Calculer P(X = 2)

On applique la formule binomiale.

P(X = 2) = C(8 ; 2) \times 0,3^2 \times 0,7^6
C(8 ; 2) = 28
P(X = 2) = 28 \times 0,09 \times 0,117649
P(X = 2) \approx 0,29648

On obtient P(X = 2) \approx 0,29648.

Exercice 6

Controle de qualite sur une serie

Énoncé

Dans une serie de 12 pieces, la probabilité qu'une piece soit defectueuse est 0,05.

Les controles sont independants.

On note X le nombre de pieces defectueuses.

1. Donner la loi de X.

2. Calculer P(X <= 1).

3. Calculer P(X >= 2).

Corrigé détaillé

Question 1
Donner la loi

On compte le nombre de pieces defectueuses sur 12 essais.

Chaque piece a 2 issues : defectueuse ou non defectueuse.

Les essais sont independants.

La probabilité de succès est 0,05.

Donc X suit la loi B(12 ; 0,05).

X suit B(12 ; 0,05).

Question 2
Calculer P(X <= 1)

On calcule P(X = 0) puis P(X = 1).

P(X = 0) = 0,95^12.
P(X = 1) = C(12 ; 1) x 0,05 x 0,95^11.
P(X = 0) = 0,540360087.
P(X = 1) = 12 x 0,05 x 0,95^11 = 0,341280055.

Donc P(X <= 1) = 0,881640142.

P(X <= 1) vaut environ 0,8816.

Question 3
Calculer P(X >= 2)

On fait le complement.

P(X >= 2) = 1 - P(X <= 1).
P(X <= 1) = 0,881640142.
Donc P(X >= 2) = 1 - 0,881640142 = 0,118359858.

P(X >= 2) vaut environ 0,1184.

Exercice 7

Contrôle qualité

Énoncé

La probabilité qu'une pièce soit conforme est 0,85.

On contrôle 6 pièces indépendantes.

1. Calculer P(X = 1).

2. Calculer P(X <= 2).

3. Interpréter le résultat dans le contexte.

Corrigé détaillé

Question 1
Calculer P(X = 1)

On applique la loi binomiale.

X suit B(6 ; 0,15) si on compte les pièces défectueuses

P(X = 1) = C(6 ; 1) \times 0,15 \times 0,85^5
P(X = 1) = 6 \times 0,15 \times 0,85^5
P(X = 1) \approx 0,39931

On obtient P(X = 1) \approx 0,39931.

Question 2
Calculer P(X <= 2)

On additionne les trois premiers termes.

P(X <= 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
P(X = 0) = 0,85^6 \approx 0,37715
P(X = 2) = C(6 ; 2) \times 0,15^2 \times 0,85^4
P(X = 2) \approx 0,17618
P(X <= 2) \approx 0,37715 + 0,39931 + 0,17618
P(X <= 2) \approx 0,95264

On obtient P(X <= 2) \approx 0,95264.

Question 3
Interpréter le résultat

On lit la probabilité dans le contexte.

la probabilité d'avoir au plus 2 pièces défectueuses est très élevée

cela signifie que le lot de 6 pièces a de fortes chances d'être acceptable

La situation est favorable du point de vue du contrôle qualité.

Exercice 8

Questionnaire a choix multiple

Énoncé

Un eleve repond a 10 questions independantes.

La probabilité de donner la bonne réponse a une question est 0,6.

On note X le nombre de bonnes reponses.

1. Justifier la loi de X.

2. Calculer P(X = 6).

3. Calculer P(X >= 1).

Corrigé détaillé

Question 1
Justifier la loi

On repère 10 essais de Bernoulli identiques.

Chaque question est un essai de Bernoulli.

La probabilité de succès est 0,6.

Les essais sont independants.

Donc X suit la loi B(10 ; 0,6).

X suit B(10 ; 0,6).

Question 2
Calculer P(X = 6)

On applique la formule binomiale.

P(X = 6) = C(10 ; 6) x 0,6^6 x 0,4^4.
C(10 ; 6) = 210.
Donc P(X = 6) = 210 x 0,6^6 x 0,4^4.

On obtient environ 0,250822656.

P(X = 6) vaut environ 0,2508.

Question 3
Calculer P(X >= 1)

On utilise le complement.

P(X >= 1) = 1 - P(X = 0).
P(X = 0) = 0,4^10.
0,4^10 = 0,0001048576.

Donc P(X >= 1) = 0,9998951424.

P(X >= 1) vaut environ 0,9999.

Exercice 9

Seuil de réussite

Énoncé

On considère X suivant la loi binomiale B(12 ; 0,6).

1. Calculer P(X >= 6).

2. Dire si ce résultat est supérieur à 0,5.

3. Interpréter.

Corrigé détaillé

Question 1
Calculer P(X >= 6)

On somme les probabilités de 6 à 12, ou on passe par le complément selon le calcul le plus simple.

P(X >= 6) = 1 - P(X <= 5)
P(X <= 5) = \sum P(X = k) pour k de 0 à 5

on calcule les six premiers termes de la loi binomiale

P(X >= 6) \approx 0,841

On obtient P(X >= 6) \approx 0,841.

Question 2
Comparer à 0,5

On compare directement la valeur obtenue à 0,5.

0,841 > 0,5

Le résultat est bien supérieur à 0,5.

Question 3
Interprétation

On traduit le résultat en langage probabiliste.

il est très probable d'obtenir au moins 6 succès sur 12 essais

la situation est donc favorable au critère étudié

La probabilité de réussite est élevée.

Exercice 10

Deuxieme serie de tirs

Énoncé

Un joueur tire 5 fois au panier.

La probabilité de reussir un tir est 0,4 et les tirs sont independants.

On note X le nombre de tirs reussis.

1. Donner la loi de X.

2. Calculer P(X = 2).

3. Calculer P(X >= 3).

Corrigé détaillé

Question 1
Donner la loi

On compte les reussites sur 5 essais independants.

Chaque tir est un essai de Bernoulli.

La probabilité de succès vaut 0,4.

Les essais sont independants.

Donc X suit la loi B(5 ; 0,4).

X suit B(5 ; 0,4).

Question 2
Calculer P(X = 2)

On applique la formule binomiale.

P(X = 2) = C(5 ; 2) x 0,4^2 x 0,6^3.
C(5 ; 2) = 10.
Donc P(X = 2) = 10 x 0,16 x 0,216.

On obtient 0,3456.

P(X = 2) vaut 0,3456.

Question 3
Calculer P(X >= 3)

On additionne les cas 3, 4 et 5.

P(X >= 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5).
P(X = 3) = C(5 ; 3) x 0,4^3 x 0,6^2 = 0,2304.
P(X = 4) = C(5 ; 4) x 0,4^4 x 0,6 = 0,0768.
P(X = 5) = 0,4^5 = 0,01024.

Total : 0,31744.

P(X >= 3) vaut 0,31744.

Exercice 11

Espérance, variance, écart-type

Énoncé

On considère X suivant la loi binomiale B(9 ; 0,4).

1. Déterminer E(X).

2. Déterminer V(X).

3. Calculer l'écart-type.

Corrigé détaillé

Question 1
Espérance

On utilise la formule du cours.

E(X) = np

E(X) = 9 \times 0,4

E(X) = 3,6

L'espérance de X vaut 3,6.

Question 2
Variance

On applique la formule de la variance.

V(X) = np(1 - p)

V(X) = 9 \times 0,4 \times 0,6

V(X) = 2,16

La variance de X vaut 2,16.

Question 3
Écart-type

On prend la racine de la variance.

\sigma(X) = sqrtV(X)

\sigma(X) = sqrt2,16

\sigma(X) \approx 1,4697

L'écart-type vaut environ 1,47.

Exercice 12

Décision à partir d'une loi binomiale

Énoncé

Une entreprise teste 20 pièces. La probabilité qu'une pièce soit conforme est 0,95.

On note X le nombre de pièces conformes.

1. Modéliser X par une loi binomiale.

2. Calculer P(X >= 19).

3. Dire si le seuil de contrôle est franchi si au moins 19 pièces sont conformes.

Corrigé détaillé

Question 1
Modélisation

On identifie le nombre d'essais et la probabilité de succès.

il y a 20 essais indépendants

chaque pièce est conforme ou non conforme

la probabilité de succès est p = 0,95

donc X suit B(20 ; 0,95)

La variable X suit B(20 ; 0,95).

Question 2
Calculer P(X >= 19)

On calcule P(X = 19) et P(X = 20).

P(X >= 19) = P(X = 19) + P(X = 20)
P(X = 19) = C(20 ; 19) \times 0,95^19 \times 0,05
P(X = 20) = C(20 ; 20) \times 0,95^20
C(20 ; 19) = 20
donc P(X >= 19) = 20 \times 0,95^19 \times 0,05 + 0,95^20
P(X >= 19) \approx 0,7358

On obtient P(X >= 19) \approx 0,7358.

Question 3
Conclusion

On compare à la règle de décision.

la probabilité d'avoir au moins 19 pièces conformes est supérieure à 0,5

le seuil de contrôle est donc très plausible

Le seuil de décision est franchi.