MathSups - Suites - Fonction de suite

Exercice 1

Suite associée à une fonction rationnelle

Énoncé

Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n=\dfrac{n+1}{n+3}$.

On considère la fonction $f$ définie sur $[0 ; +\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x+1}{x+3}$.

1. Étudier les variations de $f$ sur $[0 ; +\infty[$.

2. En déduire le sens de variation de la suite $u$.

3. Déterminer la limite de la suite $u$.

Corrigé détaillé

Question 1

Étudier la fonction

On dérive la fonction rationnelle.

f'(x) = ((x + 3) - (x + 1))/(x + 3)^2 f'(x) = 2/(x + 3)^2 f'(x) > 0

La fonction $f$ est strictement croissante sur $[0 ; +\infty[$.

Question 2

Passer de la fonction à la suite

Comme $u_n=f(n)$, la monotonie de $f$ donne celle de la suite.

u_n = f(n)n + 1 > nf(n + 1) > f(n)u_{n+1} > u_n

La suite $u$ est strictement croissante.

Question 3

Calculer la limite

On divise le numérateur et le dénominateur par $n$.

u_n = (n + 1)/(n + 3)u_n = (1 + 1/n)/(1 + 3/n)\lim_{n\to+\infty} 1/n = 0\lim_{n\to+\infty} u_n = 1

La suite $u$ converge vers $1$.

Exercice 2

Suite logarithmique et fonction associée

Énoncé

Pour tout entier $n\ge 1$, on pose $w_n=\dfrac{\ln(n+1)}{n+1}$.

On considère la fonction $g$ définie sur $[1 ; +\infty[$ par $g(x)=\dfrac{\ln(x+1)}{x+1}$.

1. Étudier le signe de $g'(x)$.

2. En déduire le sens de variation de la suite à partir d'un certain rang.

3. Déterminer la limite de la suite $w$.

Corrigé détaillé

Question 1

Dériver la fonction

On dérive un quotient avec $u(x)=\ln(x+1)$ et $v(x)=x+1$.

g'(x) = ((1/(x+1))(x+1) - ln(x+1))/(x+1)^2 g'(x) = (1 - ln(x+1))/(x+1)^2

Le signe de $g'(x)$ est celui de $1-\ln(x+1)$.

Question 2

Lire les variations utiles

On cherche quand $1-\ln(x+1)$ devient négatif.

1 - ln(x+1) <= 0 ln(x+1) >= 1 x + 1 >= e x >= e - 1

Comme $e-1<2$, la fonction $g$ est décroissante sur $[2 ; +\infty[$.

La suite $w_n=g(n)$ est donc décroissante pour tout entier $n\ge 2$.

À partir du rang $2$, la suite $w$ est décroissante.

Question 3

Déterminer la limite

Le logarithme croît beaucoup moins vite que la fonction affine $x+1$.

\lim_{x\to+\infty} ln(x+1)/(x+1) = 0w_n = g(n)\lim_{n\to+\infty} w_n = 0

La suite $w$ converge vers $0$.

Exercice 3

Suite rationnelle et fonction croissante

Énoncé

Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n=\dfrac{2n+1}{n+2}$.

On considère $f(x)=\dfrac{2x+1}{x+2}$ sur $\left[0\,;\,+\infty\right[$.

1. Étudier les variations de $f$.

2. En déduire le sens de variation de $(u_n)$.

3. Déterminer la limite de $(u_n)$.

Corrigé détaillé

Question 1

Dériver la fonction

On dérive le quotient.

f'(x)=\dfrac{2(x+2)-(2x+1)}{(x+2)^2}$$f'(x)=\dfrac{3}{(x+2)^2}

$f'(x)>0$

La fonction $f$ est strictement croissante sur $\left[0\,;\,+\infty\right[$.

Question 2

Passer à la suite

Comme $u_n=f(n)$, la monotonie se transmet.

$n+1>n$

$f(n+1)>f(n)$

u_{n+1}>u_n

La suite $(u_n)$ est strictement croissante.

Question 3

Limite

On divise le numérateur et le dénominateur par n.

u_n=\dfrac{2+\dfrac{1}{n}}{1+\dfrac{2}{n}}$$\dfrac{1}{n}\to 0$$u_n\to 2

La suite $(u_n)$ converge vers $2$.

Exercice 4

Suite logarithmique par fonction associée

Énoncé

Pour tout entier $n\ge 1$, on pose $u_n=\dfrac{\ln(n)}{n}$.

On considère $f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}$ sur $\left[1\,;\,+\infty\right[$.

1. Calculer $f'(x)$.

2. Étudier le sens de variation de $(u_n)$ à partir d'un certain rang.

3. Déterminer la limite de $(u_n)$.

Corrigé détaillé

Question 1

Dériver

On dérive un quotient.

f'(x)=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}

Le signe de $f'(x)$ est celui de $1-\ln(x)$.

Question 2

Lire les variations utiles

On cherche quand $1-\ln(x)$ est négatif.

1-\ln(x)\le 0\Longleftrightarrow \ln(x)\ge 1$$\ln(x)\ge 1\Longleftrightarrow x\ge e

$e<3$

n\ge 3\Rightarrow u_{n+1}\le u_n

La suite $(u_n)$ est décroissante à partir du rang $3$.

Question 3

Limite

Le logarithme croît moins vite que $n$.

\dfrac{\ln(n)}{n}\to 0$$u_n\to 0

La suite $(u_n)$ converge vers $0$.

Exercice 5

Suite des différences de racines

Énoncé

Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$.

On considère $f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$ sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$.

1. Montrer que $f$ est décroissante.

2. En déduire le sens de variation de $(u_n)$ pour $n\ge 1$.

3. Déterminer la limite de $(u_n)$.

Corrigé détaillé

Question 1

Dériver f

On dérive les deux racines.

f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$$\sqrt{x+1}>\sqrt{x}$$\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}<\dfrac{1}{\sqrt{x}}

$f'(x)<0$

La fonction $f$ est décroissante sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$.

Question 2

Passer à la suite

On utilise $u_n=f(n)$.

$n+1>n$

$f(n+1)<f(n)$

u_{n+1}<u_n

La suite $(u_n)$ est décroissante à partir du rang $1$.

Question 3

Limite

On rationalise.

u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$$u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$$\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\to +\infty$$u_n\to 0

La suite $(u_n)$ converge vers $0$.

Exercice 6

Suite issue d'une fonction rationnelle décroissante

Énoncé

Pour tout entier $n\ge 1$, on pose $u_n=\dfrac{n}{n^2+1}$.

On considère $f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$ sur $\left[1\,;\,+\infty\right[$.

1. Étudier le signe de $f'(x)$.

2. En déduire le sens de variation de $(u_n)$.

3. Déterminer la limite de $(u_n)$.

Corrigé détaillé

Question 1

Dériver f

On dérive le quotient.

f'(x)=\dfrac{(x^2+1)-2x^2}{(x^2+1)^2}$$f'(x)=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$$x\ge 1\Rightarrow 1-x^2\le 0

$f'(x)\le 0$

La fonction $f$ est décroissante sur $\left[1\,;\,+\infty\right[$.

Question 2

Variation de la suite

On écrit $u_n=f(n)$.

$n+1>n$

$f(n+1)\le f(n)$

u_{n+1}\le u_n

La suite $(u_n)$ est décroissante.

Question 3

Limite

On divise le numérateur et le dénominateur par $n^2$.

u_n=\dfrac{\dfrac{1}{n}}{1+\dfrac{1}{n^2}}$$\dfrac{1}{n}\to 0$$\dfrac{1}{n^2}\to 0$$u_n\to 0

La suite $(u_n)$ converge vers $0$.

Exercice 7

Suite associée à une fonction logarithmique

Énoncé

Pour tout entier $n\ge 1$, on pose $u_n=\dfrac{\ln(n)}{n}$.

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par $f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}$.

1. Calculer $f'(x)$.

2. En déduire le sens de variation de $(u_n)$ à partir d'un certain rang.

3. Déterminer la limite de $(u_n)$.

Corrigé détaillé

Question 1

Dériver la fonction

On utilise la formule de dérivation d'un quotient.

f'(x) = ((1/x)*x - ln(x))/(x^2) f'(x) = (1 - ln(x))/(x^2)

Le signe de $f'(x)$ est celui de $1-\ln(x)$, car $x^2>0$.

Question 2

Lire la variation de la suite

On cherche quand la dérivée devient négative.

1 - ln(x) <= 0 <=> ln(x) >= 1 ln(x) >= 1 <=> x >= e

3 > e

n >= 3 u_(n+1) <= u_n

La suite $(u_n)$ est décroissante à partir du rang $3$.

Question 3

Utiliser la croissance comparée

Le logarithme croît moins vite que la fonction affine $x\mapsto x$.

ln(n)/n -> 0 u_n -> 0

La suite $(u_n)$ converge vers $0$.

Exercice 8

Suite rationnelle issue d'une fonction

Énoncé

Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n=\dfrac{3n+2}{n+4}$.

On considère la fonction $f$ définie sur $[0 ; +\infty[$ par $f(x)=\dfrac{3x+2}{x+4}$.

1. Calculer $f'(x)$.

2. En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.

3. Déterminer la limite de $(u_n)$.

Corrigé détaillé

Question 1

Dériver le quotient

On dérive une fonction rationnelle.

f'(x) = (3(x + 4) - (3x + 2))/(x + 4)^2 f'(x) = (3x + 12 - 3x - 2)/(x + 4)^2 f'(x) = 10/(x + 4)^2

La dérivée est strictement positive sur $[0 ; +\infty[$.

Question 2

Passer de la fonction à la suite

Comme $u_n=f(n)$, le sens de variation de $f$ donne celui de la suite.

n + 1 > n

f(n + 1) > f(n)

u_(n+1) > u_n

La suite $(u_n)$ est strictement croissante.

Question 3

Calculer la limite

On divise le numérateur et le dénominateur par $n$.

u_n = (3 + 2/n)/(1 + 4/n) 2/n -> 0 4/n -> 0 u_n -> 3

La suite $(u_n)$ converge vers $3$.

Exercice 9

Suite et fonction exponentielle décroissante

Énoncé

Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n=(n+1)e^{-n}$.

On considère la fonction $f$ définie sur $[0 ; +\infty[$ par $f(x)=(x+1)e^{-x}$.

1. Calculer $f'(x)$.

2. En déduire le sens de variation de $(u_n)$ à partir du rang $0$.

3. Déterminer la limite de $(u_n)$.

Corrigé détaillé

Question 1

Dériver un produit

On utilise la dérivée d'un produit et celle de $e^{-x}$.

f(x) = (x + 1)e^(-x) f'(x) = e^(-x) - (x + 1)e^(-x) f'(x) = -x e^(-x)

La dérivée est négative ou nulle sur $[0 ; +\infty[$.

Question 2

Déduire la monotonie

Une fonction décroissante donne une suite décroissante quand on la lit aux entiers.

x >= 0 e^(-x) > 0 -x e^(-x) <= 0

f est décroissante sur [0 ; +∞[

u_(n+1) <= u_n

La suite $(u_n)$ est décroissante.

Question 3

Étudier la limite

L'exponentielle au dénominateur domine le facteur affine.

u_n = (n + 1)/e^n n/e^n -> 0 1/e^n -> 0 u_n -> 0

La suite $(u_n)$ converge vers $0$.