MathSups - Suites - Intégrale de suite

Exercice 1

Suite intégrale de base

Énoncé

Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n=\displaystyle\int_0^1 x^n\,dx$.

1. Calculer $u_n$ en fonction de $n$.

2. Montrer que la suite $u$ est décroissante.

3. Déterminer la limite de la suite $u$.

Corrigé détaillé

Question 1

Calculer l'intégrale

On utilise une primitive de $x^n$ sur $[0 ; 1]$.

x^n -> x^{n+1}/(n+1)u_n = \left[x^{n+1}/(n+1)\right]_0^1u_n = 1/(n+1) - 0u_n = 1/(n+1)

Pour tout entier naturel $n$, $u_n=\dfrac{1}{n+1}$.

Question 2

Étudier les variations

On compare deux termes consécutifs avec la formule explicite.

u_{n+1} = 1/(n+2)u_n = 1/(n+1)n + 2 > n + 11/(n+2) < 1/(n+1)u_{n+1} < u_n

La suite $u$ est strictement décroissante.

Question 3

Lire la limite

Le dénominateur $n+1$ tend vers $+\infty$.

\lim_{n\to+\infty} (n + 1) = +\infty\lim_{n\to+\infty} 1/(n + 1) = 0\lim_{n\to+\infty} u_n = 0

La suite $u$ converge vers $0$.

Exercice 2

Suite intégrale avec facteur affine

Énoncé

Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n=\displaystyle\int_0^1 x^n(1-x)\,dx$.

1. Écrire $v_n$ comme différence de deux intégrales simples.

2. Calculer $v_n$ en fonction de $n$.

3. Déterminer la limite de la suite $v$.

Corrigé détaillé

Question 1

Séparer l'intégrande

On développe $x^n(1-x)$ avant d'intégrer.

x^n(1 - x) = x^n - x^{n+1}v_n = \int_{0}^{1} x^n\,\mathrm{d}x - \int_{0}^{1} x^{n+1}\,\mathrm{d}x

On a ramené le calcul à deux intégrales de puissances.

Question 2

Calculer exactement

On applique le résultat de l'exercice précédent aux deux puissances.

\int_{0}^{1} x^n\,\mathrm{d}x = 1/(n+1)\int_{0}^{1} x^{n+1}\,\mathrm{d}x = 1/(n+2)v_n = 1/(n+1) - 1/(n+2)v_n = ((n+2) - (n+1))/((n+1)(n+2))v_n = 1/((n+1)(n+2))

Pour tout $n$, $v_n=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}$.

Question 3

Conclure sur la limite

Le produit $(n+1)(n+2)$ tend vers $+\infty$.

\lim_{n\to+\infty} (n+1)(n+2) = +\infty\lim_{n\to+\infty} 1/((n+1)(n+2)) = 0\lim_{n\to+\infty} v_n = 0

La suite $v$ converge vers $0$.

Exercice 3

Suite intégrale avec dénominateur 1+x

Énoncé

Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n=\displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^n}{1+x}\,dx$.

1. Montrer que $u_n\ge 0$.

2. Montrer que $u_n\le \dfrac{1}{n+1}$.

3. En déduire la limite de $(u_n)$.

Corrigé détaillé

Question 1

Positivité

On regarde le signe de l'intégrande sur $[0\,;\,1]$.

x\in[0\,;\,1]\Rightarrow x^n\ge 0$$x\in[0\,;\,1]\Rightarrow 1+x>0$$\dfrac{x^n}{1+x}\ge 0$$u_n\ge 0

La suite $(u_n)$ est positive.

Question 2

Majoration

Sur $[0\,;\,1]$, on a $1+x\ge 1$.

0\le \dfrac{1}{1+x}\le 1$$0\le \dfrac{x^n}{1+x}\le x^n$$0\le u_n\le \int_0^1 x^n\,dx$$\int_0^1 x^n\,dx=\dfrac{1}{n+1}$$0\le u_n\le \dfrac{1}{n+1}

On a $0\le u_n\le \dfrac{1}{n+1}$.

Question 3

Limite

On applique le théorème des gendarmes.

0\le u_n\le \dfrac{1}{n+1}$$\dfrac{1}{n+1}\to 0$$u_n\to 0

La suite $(u_n)$ converge vers $0$.

Exercice 4

Suite intégrale normalisée

Énoncé

Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n=(n+1)\displaystyle\int_0^1 x^n(1-x)\,dx$.

1. Calculer $\displaystyle\int_0^1 x^n(1-x)\,dx$.

2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

3. Déterminer la limite de $(u_n)$.

Corrigé détaillé

Question 1

Décomposer l'intégrande

On développe avant d'intégrer.

x^n(1-x)=x^n-x^{n+1}$$\int_0^1 x^n(1-x)\,dx=\int_0^1 x^n\,dx-\int_0^1 x^{n+1}\,dx$$\int_0^1 x^n\,dx=\dfrac{1}{n+1}$$\int_0^1 x^{n+1}\,dx=\dfrac{1}{n+2}

On a ramené le calcul à deux intégrales de puissances.

Question 2

Simplifier

On réduit la différence.

\int_0^1 x^n(1-x)\,dx=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}$$\int_0^1 x^n(1-x)\,dx=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}$$u_n=(n+1)\times \dfrac{1}{(n+1)(n+2)}$$u_n=\dfrac{1}{n+2}

Pour tout $n$, $u_n=\dfrac{1}{n+2}$.

Question 3

Limite

Le dénominateur tend vers $+\infty$.

n+2\to +\infty$$\dfrac{1}{n+2}\to 0$$u_n\to 0

La suite $(u_n)$ converge vers $0$.

Exercice 5

Suite intégrale avec logarithme

Énoncé

Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n=\displaystyle\int_0^1 x^n\ln(1+x)\,dx$.

1. Montrer que $u_n\ge 0$.

2. Encadrer $u_n$ à l'aide de $\ln(2)$.

3. Déterminer la limite de $(u_n)$.

Corrigé détaillé

Question 1

Signe de l'intégrande

Sur $[0\,;\,1]$, les deux facteurs sont positifs.

x\in[0\,;\,1]\Rightarrow x^n\ge 0$$x\in[0\,;\,1]\Rightarrow \ln(1+x)\ge 0$$x^n\ln(1+x)\ge 0$$u_n\ge 0

La suite $(u_n)$ est positive.

Question 2

Majoration

La fonction logarithme est croissante.

x\in[0\,;\,1]\Rightarrow 1\le 1+x\le 2$$0\le \ln(1+x)\le \ln(2)$$0\le x^n\ln(1+x)\le \ln(2)x^n$$0\le u_n\le \ln(2)\int_0^1 x^n\,dx$$0\le u_n\le \dfrac{\ln(2)}{n+1}

On obtient $0\le u_n\le \dfrac{\ln(2)}{n+1}$.

Question 3

Limite

On utilise l'encadrement.

\dfrac{\ln(2)}{n+1}\to 0$$u_n\to 0

La suite $(u_n)$ converge vers $0$.

Exercice 6

Suite intégrale et intégration par parties

Énoncé

Pour tout entier naturel $n$, on pose $I_n=\displaystyle\int_0^1 x^n e^x\,dx$.

1. Montrer que $0\le I_n\le \dfrac{e}{n+1}$.

2. En déduire la limite de $(I_n)$.

3. Montrer que $I_{n+1}=e-(n+1)I_n$.

Corrigé détaillé

Question 1

Encadrer l'intégrale

On majore $e^x$ par $e$ sur $[0\,;\,1]$.

0\le e^x\le e$$0\le x^n e^x\le e x^n$$0\le I_n\le e\int_0^1 x^n\,dx$$0\le I_n\le \dfrac{e}{n+1}

On a $0\le I_n\le \dfrac{e}{n+1}$.

Question 2

Limite

On applique le théorème des gendarmes.

\dfrac{e}{n+1}\to 0$$I_n\to 0

La suite $(I_n)$ converge vers $0$.

Question 3

Relation de récurrence

On intègre par parties avec $u(x)=x^{n+1}$ et $v'(x)=e^x$.

I_{n+1}=\int_0^1 x^{n+1}e^x\,dx$$I_{n+1}=\left[x^{n+1}e^x\right]_0^1-(n+1)\int_0^1 x^n e^x\,dx$$I_{n+1}=e-(n+1)I_n

La relation demandée est démontrée.

Exercice 7

Intégrale de puissance sur $[0 ; 1]$

Énoncé

Pour tout entier naturel $n$, on pose $I_n=\displaystyle\int_0^1 x^n\,dx$.

1. Calculer $I_n$ en fonction de $n$.

2. Étudier le sens de variation de la suite $(I_n)$.

3. Déterminer la limite de $(I_n)$.

Corrigé détaillé

Question 1

Calculer l'intégrale

On utilise une primitive de la fonction $x\mapsto x^n$.

x^n -> x^(n+1)/(n + 1)I_n = \left[x^(n+1)/(n + 1)\right]_0^1I_n = 1/(n + 1) - 0I_n = 1/(n + 1)

On obtient $I_n=\dfrac{1}{n+1}$.

Question 2

Comparer deux termes

On compare les expressions explicites.

I_(n+1) = 1/(n + 2) I_n = 1/(n + 1)

n + 2 > n + 1

1/(n + 2) < 1/(n + 1) I_(n+1) < I_n

La suite $(I_n)$ est strictement décroissante.

Question 3

Lire la limite

La formule explicite donne directement la limite.

n + 1 -> +∞

1/(n + 1) -> 0 I_n -> 0

La suite $(I_n)$ converge vers $0$.

Exercice 8

Suite intégrale avec encadrement exponentiel

Énoncé

Pour tout entier naturel $n$, on pose $J_n=\displaystyle\int_0^1 x^n e^x\,dx$.

1. Encadrer $e^x$ sur l'intervalle $[0 ; 1]$.

2. En déduire un encadrement de $J_n$.

3. Déterminer la limite de $(J_n)$.

Corrigé détaillé

Question 1

Encadrer l'exponentielle

La fonction exponentielle est croissante.

0 <= x <= 1 e^0 <= e^x <= e^1 1 <= e^x <= e

Sur $[0 ; 1]$, on a $1\le e^x\le e$.

Question 2

Multiplier par un terme positif

Sur l'intervalle $[0 ; 1]$, le facteur $x^n$ est positif.

0 <= x^nx^n <= x^n e^x <= e*x^n\int_{0}^{1} x^n dx <= J_n <= \int_{0}^{1} e*x^n dx1/(n + 1) <= J_n <= e/(n + 1)

On dispose d'un encadrement explicite de $J_n$.

Question 3

Conclure par encadrement

Les deux bornes de l'encadrement ont la même limite.

1/(n + 1) -> 0 e/(n + 1) -> 0 J_n -> 0

Par le théorème des gendarmes, la suite $(J_n)$ converge vers $0$.

Exercice 9

Relation entre deux intégrales successives

Énoncé

Pour tout entier naturel $n$, on pose $K_n=\displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^n}{1+x}\,dx$.

1. Montrer que $K_n+K_{n+1}=\dfrac{1}{n+1}$.

2. Encadrer $K_n$ à l'aide de $\dfrac{1}{n+1}$.

3. Déterminer la limite de $(K_n)$.

Corrigé détaillé

Question 1

Additionner les deux intégrales

On met les deux intégrandes sur le même dénominateur.

K_n + K_(n+1) = \int_{0}^{1} x^n/(1 + x) dx + \int_{0}^{1} x^(n+1)/(1 + x) dxK_n + K_(n+1) = \int_{0}^{1} (x^n + x^(n+1))/(1 + x) dxK_n + K_(n+1) = \int_{0}^{1} x^n(1 + x)/(1 + x) dxK_n + K_(n+1) = \int_{0}^{1} x^n dxK_n + K_(n+1) = 1/(n + 1)

La relation demandée est démontrée.

Question 2

Encadrer l'intégrale

Sur $[0 ; 1]$, le dénominateur $1+x$ est compris entre $1$ et $2$.

1 <= 1 + x <= 2 1/2 <= 1/(1 + x) <= 1 x^n/2 <= x^n/(1 + x) <= x^n 1/(2(n + 1)) <= K_n <= 1/(n + 1)

La suite $(K_n)$ est encadrée par deux suites positives explicites.

Question 3

Passer à la limite

Les deux bornes de l'encadrement tendent vers $0$.

1/(2(n + 1)) -> 0 1/(n + 1) -> 0 K_n -> 0

La suite $(K_n)$ converge vers $0$.