MathSups - Suites - Les suites

Exercice 1

Suite arithmétique et somme

Énoncé

On considère la suite $u$ définie par $u_0=7$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+4$.

1. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

2. Calculer $u_0+u_1+\cdots+u_{10}$.

3. Déterminer le sens de variation et la limite de la suite.

Corrigé détaillé

Question 1

Reconnaître la suite

La relation $u_{n+1}=u_n+4$ caractérise une suite arithmétique.

u_0 = 7 r = 4 u_n = u_0 + nr u_n = 7 + 4n

Pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=7+4n$.

Question 2

Calculer la somme

On utilise la moyenne du premier et du dernier terme.

u_10 = 7 + 4\times 10u_10 = 47S = u_0 + u_1 + ... + u_10S = 11\times (u_0 + u_10)/2S = 11\times (7 + 47)/2S = 297

La somme demandée vaut $297$.

Question 3

Conclure sur la suite

On regarde la raison et le terme dominant dans l'expression explicite.

u_{n+1} - u_n = 44 > 0\lim_{n\to+\infty} 4n = +\infty\lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty

La suite est strictement croissante et diverge vers $+\infty$.

Exercice 2

Suite récurrente affine

Énoncé

On considère la suite $u$ définie par $u_0=2$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+3$.

On pose $v_n=u_n-6$.

1. Montrer que $v$ est une suite géométrique.

2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

3. Déterminer la limite de la suite $u$.

Corrigé détaillé

Question 1

Transformer la récurrence

On remplace $v_{n+1}$ par $u_{n+1}-6$ puis on factorise.

v_{n+1} = u_{n+1} - 6v_{n+1} = (1/2)u_n + 3 - 6v_{n+1} = (1/2)u_n - 3v_{n+1} = (1/2)(u_n - 6)v_{n+1} = (1/2)v_n

La suite $v$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.

Question 2

Obtenir une forme explicite

On calcule le premier terme de $v$, puis on revient à $u$.

v_0 = u_0 - 6v_0 = 2 - 6v_0 = -4v_n = -4\times (1/2)^nu_n = v_n + 6u_n = 6 - 4\times (1/2)^n

Pour tout $n$, on a $u_n=6-4\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.

Question 3

Passer à la limite

Une puissance de raison comprise entre $-1$ et $1$ tend vers $0$.

\lim_{n\to+\infty} (1/2)^n = 0\lim_{n\to+\infty} -4\times (1/2)^n = 0\lim_{n\to+\infty} u_n = 6

La suite $u$ converge vers $6$.

Exercice 3

Suite arithmétique décroissante et somme

Énoncé

On considère la suite arithmétique $(u_n)$ définie par $u_0=18$ et de raison $-2$.

1. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

2. Calculer $u_0+u_1+\cdots+u_{11}$.

3. Étudier le sens de variation puis la limite de $(u_n)$.

Corrigé détaillé

Question 1

Expression explicite

On utilise la formule d'une suite arithmétique.

$u_n=u_0+nr$ $u_n=18-2n$

Pour tout $n$, $u_n=18-2n$.

Question 2

Somme des douze premiers termes

Il y a 12 termes de $u_0$ à $u_{11}$.

u_{11}=18-2\times 11$$u_{11}=-4$$S=12\times \dfrac{u_0+u_{11}}{2}$$S=12\times \dfrac{18-4}{2}

$S=84$

La somme demandée vaut $84$.

Question 3

Variation et limite

La raison donne directement le sens de variation.

r=-2<0$$u_n=18-2n$$-2n\to -\infty$$u_n\to -\infty

La suite $(u_n)$ est strictement décroissante et diverge vers $-\infty$.

Exercice 4

Suite géométrique alternée

Énoncé

On considère la suite géométrique $(u_n)$ définie par $u_0=6$ et de raison $-\dfrac{1}{3}$.

1. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

2. Étudier le signe de $u_n$ selon la parité de $n$.

3. Déterminer la limite de $(u_n)$.

Corrigé détaillé

Question 1

Expression explicite

On applique la formule d'une suite géométrique.

u_n=u_0q^n$$u_n=6\times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n

On obtient $u_n=6\times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n$.

Question 2

Signe des termes

Le signe dépend de la puissance de -1.

n\text{ pair}\Rightarrow \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n>0$$n\text{ pair}\Rightarrow u_n>0$$n\text{ impair}\Rightarrow \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n<0$$n\text{ impair}\Rightarrow u_n<0

Le signe de $u_n$ alterne selon la parité de $n$.

Question 3

Limite

La valeur absolue de la raison est inférieure à 1.

\left|-\dfrac{1}{3}\right|<1$$\left(-\dfrac{1}{3}\right)^n\to 0$$u_n\to 0

La suite $(u_n)$ converge vers $0$.

Exercice 5

Suite arithmético-géométrique avec translation

Énoncé

On considère $u_0=10$ et $u_{n+1}=0{,}4u_n+9$.

On pose $v_n=u_n-15$.

1. Montrer que $(v_n)$ est géométrique.

2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

3. Déterminer la limite de $(u_n)$.

Corrigé détaillé

Question 1

Transformer la relation

On fait apparaître $v_n$.

v_{n+1}=u_{n+1}-15$$v_{n+1}=0{,}4u_n+9-15$$v_{n+1}=0{,}4u_n-6$$v_{n+1}=0{,}4(u_n-15)$$v_{n+1}=0{,}4v_n

La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $0{,}4$.

Question 2

Expression explicite

On calcule $v_0$.

v_0=u_0-15$$v_0=-5$$v_n=-5\times 0{,}4^n$$u_n=15-5\times 0{,}4^n

Pour tout $n$, $u_n=15-5\times 0{,}4^n$.

Question 3

Limite

La raison est comprise entre 0 et 1.

0{,}4^n\to 0$$-5\times 0{,}4^n\to 0$$u_n\to 15

La suite $(u_n)$ converge vers $15$.

Exercice 6

Suite récurrente bornée par un intervalle

Énoncé

On considère $u_0=1$ et $u_{n+1}=\sqrt{3u_n+4}$.

1. Montrer que $1\le u_n\le 4$ pour tout $n$.

2. Montrer que $(u_n)$ est croissante.

3. Déterminer la limite de $(u_n)$.

Corrigé détaillé

Question 1

Stabilité de l'intervalle

On raisonne par récurrence.

u_0=1$$1\le u_0\le 4$$1\le u_n\le 4\Rightarrow 7\le 3u_n+4\le 16$$\sqrt{7}\le u_{n+1}\le 4

$1\le u_{n+1}\le 4$

Par récurrence, $1\le u_n\le 4$.

Question 2

Monotonie

On compare $u_{n+1}$ et $u_n$.

u_{n+1}\ge u_n\Longleftrightarrow \sqrt{3u_n+4}\ge u_n$$3u_n+4\ge u_n^2$$u_n^2-3u_n-4\le 0$$(u_n-4)(u_n+1)\le 0

Comme $1\le u_n\le 4$, la suite $(u_n)$ est croissante.

Question 3

Limite

La suite est croissante et majorée.

\ell=\sqrt{3\ell+4}$$\ell^2=3\ell+4$$\ell^2-3\ell-4=0

$(\ell-4)(\ell+1)=0$

$\ell=4$

La suite $(u_n)$ converge vers $4$.

Exercice 7

Suite arithmético-géométrique et forme explicite

Énoncé

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et, pour tout entier naturel $n$, par $u_{n+1}=0{,}6u_n+8$.

1. Déterminer le réel $\ell$ tel que $\ell=0{,}6\ell+8$.

2. On pose $v_n=u_n-\ell$. Montrer que $(v_n)$ est géométrique.

3. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ et déterminer la limite de $(u_n)$.

Corrigé détaillé

Question 1

Trouver la valeur d'équilibre

On cherche la valeur fixe de la relation de récurrence.

ell = 0.6ell + 8

0.4ell = 8

ell = 20

La valeur d'équilibre est $20$.

Question 2

Transformer la récurrence

On soustrait la valeur d'équilibre pour faire disparaître le terme constant.

v_(n+1) = u_(n+1) - 20 v_(n+1) = 0.6u_n + 8 - 20 v_(n+1) = 0.6u_n - 12 v_(n+1) = 0.6(u_n - 20) v_(n+1) = 0.6v_n

La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $0{,}6$.

Question 3

Obtenir la formule explicite

On calcule le premier terme de la suite auxiliaire puis on revient à $u_n$.

v_0 = u_0 - 20 v_0 = 2 - 20 v_0 = -18 v_n = -18*0.6^n u_n = 20 - 18*0.6^n 0.6^n -> 0 u_n -> 20

Pour tout entier naturel $n$, $u_n=20-18\times 0{,}6^n$, donc la suite converge vers $20$.

Exercice 8

Récurrence, bornes et monotonie

Énoncé

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, par $u_{n+1}=\sqrt{2u_n+3}$.

1. Montrer par récurrence que $1\le u_n\le 3$ pour tout entier naturel $n$.

2. Étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$ sur cet encadrement.

3. En déduire que la suite converge et déterminer sa limite.

Corrigé détaillé

Question 1

Initialiser puis hérédité

On utilise l'encadrement supposé au rang $n$ pour encadrer le terme suivant.

u_0 = 1 1 <= u_0 <= 3 1 <= u_n <= 3 5 <= 2u_n + 3 <= 9 sqrt(5) <= u_(n+1) <= 3 1 <= u_(n+1) <= 3

Par récurrence, on obtient $1\le u_n\le 3$ pour tout entier naturel $n$.

Question 2

Comparer deux termes consécutifs

Comme les deux membres sont positifs, on peut comparer les carrés.

u_(n+1) >= u_n <=> sqrt(2u_n + 3) >= u_n u_(n+1) >= u_n <=> 2u_n + 3 >= u_n^2 u_(n+1) >= u_n <=> u_n^2 - 2u_n - 3 <= 0 u_n^2 - 2u_n - 3 = (u_n - 3)(u_n + 1) 1 <= u_n <= 3 (u_n - 3)(u_n + 1) <= 0

La suite $(u_n)$ est croissante.

Question 3

Convergence et limite

Une suite croissante et majorée est convergente.

u_n -> L

L = sqrt(2L + 3)

L^2 = 2L + 3 L^2 - 2L - 3 = 0

(L - 3)(L + 1) = 0

L = 3 ou L = -1 1 <= L <= 3

L = 3

La suite converge vers $3$.

Exercice 9

Somme partielle d'une suite géométrique

Énoncé

On définit la suite $(u_n)$ par $u_n=5\times 0{,}8^n$ pour tout entier naturel $n$.

On pose $S_n=u_0+u_1+\cdots+u_n$.

1. Calculer $u_0$, $u_1$ et $u_2$.

2. Exprimer $S_n$ en fonction de $n$.

3. Déterminer la limite de $(S_n)$.

Corrigé détaillé

Question 1

Calculer les premiers termes

On remplace $n$ par $0$, $1$ puis $2$.

u_0 = 5*0.8^0 u_0 = 5 u_1 = 5*0.8 u_1 = 4 u_2 = 5*0.8^2 u_2 = 3.2

Les premiers termes sont $5$, $4$ et $3{,}2$.

Question 2

Utiliser la somme géométrique

La suite est géométrique de raison $0{,}8$.

S_n = 5(1 + 0.8 + ... + 0.8^n) S_n = 5*(1 - 0.8^(n+1))/(1 - 0.8) S_n = 25(1 - 0.8^(n+1))

Pour tout entier naturel $n$, $S_n=25(1-0{,}8^{n+1})$.

Question 3

Passer à la limite

Une puissance de raison comprise entre $0$ et $1$ tend vers $0$.

0.8^(n+1) -> 0 1 - 0.8^(n+1) -> 1 S_n -> 25

La somme partielle converge vers $25$.