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Suites

Exercices type bac

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Exercices type bac

Exercices corrigés de exercices type bac disponibles en HTML statique, avec le JavaScript conservé pour l'interactivité.

Exercice 13

Type bac - modèle linéaire amorti

Énoncé

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=40$ et $u_{n+1}=0{,}75u_n+12$.

On pose $v_n=u_n-48$.

1. Montrer que $(v_n)$ est géométrique.

2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

3. Déterminer le premier rang $n$ pour lequel $u_n\ge 46$.

Corrigé détaillé

Question 1
Transformer la récurrence

On remplace $u_{n+1}$ par son expression.

$v_{n+1}=u_{n+1}-48$
$v_{n+1}=0{,}75u_n+12-48$
$v_{n+1}=0{,}75u_n-36$
$v_{n+1}=0{,}75(u_n-48)$
$v_{n+1}=0{,}75v_n$

La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $0{,}75$.

Question 2
Obtenir la forme explicite

On calcule le premier terme de $(v_n)$.

$v_0=u_0-48$
$v_0=40-48$
$v_0=-8$
$v_n=-8\times 0{,}75^n$
$u_n=48-8\times 0{,}75^n$

Pour tout $n$, on a $u_n=48-8\times 0{,}75^n$.

Question 3
Résoudre l'inégalité de seuil

On isole la puissance puis on utilise le logarithme.

$48-8\times 0{,}75^n\ge 46$
$0{,}75^n\le \dfrac{1}{4}$
$n\ln(0{,}75)\le \ln\left(\dfrac{1}{4}\right)$
$\ln(0{,}75)<0$
$n\ge \dfrac{\ln\left(\dfrac{1}{4}\right)}{\ln(0{,}75)}$
$\dfrac{\ln\left(\dfrac{1}{4}\right)}{\ln(0{,}75)}\approx 4{,}82$

Le premier rang qui convient est $n=5$.

Exercice 14

Type bac - somme géométrique et seuil

Énoncé

On considère la suite définie par $u_n=1200\times 0{,}92^n$.

On pose $S_n=u_0+u_1+\cdots+u_n$.

1. Exprimer $S_n$ en fonction de $n$.

2. Déterminer la limite de $(S_n)$.

3. Déterminer le premier rang $n$ pour lequel $S_n\ge 10000$.

Corrigé détaillé

Question 1
Sommer les termes

On utilise la somme d'une suite géométrique.

$S_n=1200(1+0{,}92+\cdots+0{,}92^n)$
$S_n=1200\times \dfrac{1-0{,}92^{n+1}}{1-0{,}92}$
$S_n=15000(1-0{,}92^{n+1})$

On obtient $S_n=15000(1-0{,}92^{n+1})$.

Question 2
Passer à la limite

La raison est comprise entre 0 et 1.

$0<0{,}92<1$
$0{,}92^{n+1}\to 0$
$S_n\to 15000$

La suite $(S_n)$ converge vers $15000$.

Question 3
Chercher le seuil

On résout l'inégalité avec les logarithmes.

$15000(1-0{,}92^{n+1})\ge 10000$

$0{,}92^{n+1}\le \dfrac{1}{3}$
$(n+1)\ln(0{,}92)\le \ln\left(\dfrac{1}{3}\right)$
$\ln(0{,}92)<0$
$n+1\ge \dfrac{\ln\left(\dfrac{1}{3}\right)}{\ln(0{,}92)}$
$\dfrac{\ln\left(\dfrac{1}{3}\right)}{\ln(0{,}92)}\approx 13{,}17$

Le premier rang est $n=13$.

Exercice 15

Type bac - suite définie par une racine

Énoncé

On considère $u_0=0$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$.

1. Montrer que $0\le u_n\le 2$ pour tout $n$.

2. Montrer que $(u_n)$ est croissante.

3. Déterminer la limite de $(u_n)$.

Corrigé détaillé

Question 1
Stabilité de l'intervalle

On raisonne par récurrence sur $[0\,;\,2]$.

$u_0=0$
$0\le u_0\le 2$
$0\le u_n\le 2\Rightarrow 2\le u_n+2\le 4$
$0\le \sqrt{u_n+2}\le 2$

$0\le u_{n+1}\le 2$

Par récurrence, $0\le u_n\le 2$ pour tout $n$.

Question 2
Comparer deux termes

Les deux membres étant positifs, on compare les carrés.

$u_{n+1}\ge u_n\Longleftrightarrow \sqrt{u_n+2}\ge u_n$
$\sqrt{u_n+2}\ge u_n\Longleftrightarrow u_n+2\ge u_n^2$
$u_n^2-u_n-2\le 0$
$(u_n-2)(u_n+1)\le 0$

Comme $0\le u_n\le 2$, la suite $(u_n)$ est croissante.

Question 3
Déterminer la limite

Une suite croissante et majorée converge.

$\ell=\sqrt{\ell+2}$
$\ell^2=\ell+2$
$\ell^2-\ell-2=0$

$(\ell-2)(\ell+1)=0$

$\ell=2$

La suite $(u_n)$ converge vers $2$.

Exercice 16

Type bac - algorithme de seuil

Énoncé

On considère $u_0=10$ et $u_{n+1}=0{,}9u_n+5$.

Un algorithme augmente $n$ de 1 tant que $u_n<45$.

1. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

2. Justifier que l'algorithme s'arrête.

3. Donner la valeur de $n$ affichée.

Corrigé détaillé

Question 1
Introduire la suite auxiliaire

Le point fixe de la relation est 50.

$v_n=u_n-50$
$v_{n+1}=u_{n+1}-50$
$v_{n+1}=0{,}9u_n+5-50$
$v_{n+1}=0{,}9(u_n-50)$
$v_{n+1}=0{,}9v_n$
$v_0=10-50=-40$
$u_n=50-40\times 0{,}9^n$

Pour tout $n$, $u_n=50-40\times 0{,}9^n$.

Question 2
Justifier l'arrêt

On utilise la limite de la suite.

$0<0{,}9<1$
$0{,}9^n\to 0$
$u_n\to 50$

$50>45$

L'algorithme s'arrête.

Question 3
Calculer le seuil

On résout $u_n\ge 45$.

$50-40\times 0{,}9^n\ge 45$
$0{,}9^n\le \dfrac{1}{8}$
$n\ln(0{,}9)\le \ln\left(\dfrac{1}{8}\right)$
$\ln(0{,}9)<0$
$n\ge \dfrac{\ln\left(\dfrac{1}{8}\right)}{\ln(0{,}9)}$
$\dfrac{\ln\left(\dfrac{1}{8}\right)}{\ln(0{,}9)}\approx 19{,}74$

La valeur affichée est $n=20$.