Comprendre les suites en Terminale
Une suite est une liste ordonnée de nombres. En Terminale, on l’étudie pour comprendre comment ses termes évoluent, s’ils augmentent, s’ils restent bornés et vers quelle valeur ils semblent se rapprocher.
Partir de la définition
Une suite peut être définie de plusieurs façons. On peut donner une formule explicite, par exemple un = 2n + 1, ce qui permet de calculer directement le terme de rang n. On peut aussi définir une suite par récurrence, c’est-à -dire à partir d’une valeur initiale et d’une relation entre deux termes consécutifs. C’est souvent le cas quand on modélise une croissance, un pourcentage ou une évolution pas à pas.
La première question à se poser est simple : comment évoluent les termes ? Certains exercices demandent seulement de calculer quelques rangs. D’autres vont plus loin et cherchent à montrer qu’une suite est croissante, décroissante ou constante. Cette étude est importante parce qu’elle aide ensuite à parler de convergence.
On rencontre souvent les suites arithmétiques et géométriques. Une suite arithmétique ajoute toujours la même valeur. Une suite géométrique multiplie toujours par le même nombre. Ces deux modèles servent de base et reviennent très souvent dans les exercices du lycée.
Variation, bornes et convergence
Une suite croissante ne converge pas automatiquement. Si ses termes augmentent sans limite, elle diverge vers +infini. En revanche, lorsqu’une suite est croissante et majorée, on sait qu’elle converge. Cette idée est fondamentale : pour montrer qu’une suite tend vers une valeur, on cherche souvent à encadrer ses termes et à étudier leur sens de variation.
Prenons un exemple simple : un = (n + 1) / (n + 2). Les termes sont toujours inférieurs à 1, et plus n devient grand, plus le numérateur et le dénominateur se ressemblent. La suite se rapproche donc de 1. On peut aussi l’écrire 1 - 1 / (n + 2), ce qui rend encore plus visible le fait que l’écart avec 1 devient de plus en plus petit.
Dans les suites définies par récurrence, il faut souvent combiner plusieurs idées : montrer qu’un intervalle est stable, établir une majoration ou une minoration, puis prouver la monotonie. C’est plus technique, mais la logique reste toujours la même : comprendre comment le terme suivant est fabriqué à partir du précédent.
À retenir
- Une suite se lit comme une évolution terme après terme.
- Le trio important est : formule, variation, convergence.
- Une suite monotone et bornée a de bonnes chances d’être facile à étudier.
Pour aller plus loin
Travaillez plusieurs écritures d’une même suite. Reconnaître une forme utile, comme 1 - 1 / (n + 2), aide souvent plus que des calculs longs.
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