MathSups - Première - Fonctions

Exercice 1

Dériver un polynôme et étudier le signe

Énoncé

On considère f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2.

1. Calculer f'(x).

2. Étudier le signe de f'(x).

3. Donner les variations de f.

Corrigé détaillé

Question 1

Calcul de la dérivée

On dérive terme à terme.

f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 f'(x) = 3(x^2 - 4x + 3)

f'(x) = 3(x - 1)(x - 3)

La dérivée est f'(x) = 3(x - 1)(x - 3).

Question 2

Signe de f'

On étudie le produit de deux facteurs.

3 > 0 ne change pas le signe

f'(x) > 0 sur ]-∞;1[ ∪ ]3;+∞[

f'(x) < 0 sur ]1;3[

f' s'annule en 1 et 3, est positive dehors et négative entre les deux.

Question 3

Variations

Le signe de f' commande les variations.

f est croissante sur ]-∞;1]

f est décroissante sur [1;3]

f est de nouveau croissante sur [3;+∞[

f admet un maximum local en 1 et un minimum local en 3.

Exercice 2

Équation de tangente

Énoncé

On considère f(x) = x^2 - 4x + 1.

1. Calculer f'(x).

2. Déterminer l'équation de la tangente en x = 2.

3. Dire si cette tangente est horizontale.

Corrigé détaillé

Question 1

Calcul de la dérivée

On dérive la fonction.

f'(x) = 2x - 4

On a f'(x) = 2x - 4.

Question 2

Équation de la tangente

On calcule le point et la pente.

f(2) = 4 - 8 + 1 = -3

f'(2) = 0

La tangente en 2 a pour équation y = -3

La tangente en x = 2 est y = -3.

Question 3

Interprétation

Une pente nulle donne une tangente horizontale.

Comme f'(2) = 0, la tangente est horizontale

Le point de tangence est (2 ; -3)

La tangente est bien horizontale.

Exercice 3

Variation d'une fonction rationnelle

Énoncé

On considère g(x) = x / (x + 1) sur [0 ; +∞[.

1. Calculer g'(x).

2. Étudier le signe de g'(x).

3. Dire si g est croissante ou décroissante.

Corrigé détaillé

Question 1

Calcul de la dérivée

On applique la formule du quotient.

g'(x) = [(x + 1) x' - x (x + 1)'] / (x + 1)^2 g'(x) = [(x + 1) - x] / (x + 1)^2 g'(x) = 1 / (x + 1)^2

g'(x) = 1 / (x + 1)^2.

Question 2

Signe de g'

Le carre est strictement positif.

Pour x >= 0, (x + 1)^2 > 0

Donc g'(x) > 0 sur [0 ; +∞[

La dérivée est positive.

Question 3

Variations

Une dérivée positive donne une croissance.

g est croissante sur [0 ; +∞[

On peut aussi ecrire g(x) = 1 - 1/(x + 1)

g est croissante sur tout son domaine.

Exercice 4

Fonction exponentielle et dérivée

Énoncé

On considère f(x) = x e^x.

1. Calculer f'(x).

2. Étudier le signe de f'(x).

3. Donner les variations de f.

Corrigé détaillé

Question 1

Calcul de la dérivée

On utilise la dérivée d'un produit.

f'(x) = 1 x e^x + x e^x f'(x) = e^x + x e^x f'(x) = e^x(x + 1)

On obtient f'(x) = e^x(x + 1).

Question 2

Signe de f'

L'exponentielle est toujours positive.

e^x > 0 pour tout x

Le signe de f'(x) est celui de x + 1

f'(x) < 0 si x < -1 et f'(x) > 0 si x > -1

f' s'annule en -1.

Question 3

Variations

On lit directement les changements de signe.

f est décroissante sur ]-∞;-1]

f est croissante sur [-1;+∞[

f admet un minimum en x = -1.

Exercice 5

Etude complete d'un polynôme dérive

Énoncé

On considère f(x) = x^3 - 6x^2 + 3x + 4.

1. Calculer f'(x).

2. Étudier le signe de f'(x).

3. Dresser le tableau de variations de f.

Corrigé détaillé

Question 1

Dérivée

On dérive terme à terme.

f'(x) = 3x^2 - 12x + 3 f'(x) = 3(x^2 - 4x + 1)

On a f'(x) = 3(x^2 - 4x + 1).

Question 2

Signe de f'

On calcule les racines du trinome.

delta = (-4)^2 - 4 x 1 x 1 = 12

Les racines sont 2 - sqrt(3) et 2 + sqrt(3)

Comme a > 0, f'(x) est positive a l'exterieur des racines

f' est négative entre les deux racines et positive ailleurs.

Question 3

Variations

Le signe de la dérivée donne les variations.

f croît sur ]-∞ ; 2 - sqrt(3)]

f decroît sur [2 - sqrt(3) ; 2 + sqrt(3)]

f croît sur [2 + sqrt(3) ; +∞[

f admet un maximum local puis un minimum local.

Exercice 6

Etude de signe d'une dérivée

Énoncé

On admet que f'(x) = (x - 2)(x + 1) sur R.

1. Étudier le signe de f'(x).

2. En déduire les variations de f.

3. Dire ou f admet des extremums.

Corrigé détaillé

Question 1

Signe de f'

On repère les zéros de chaque facteur.

Les zéros sont -1 et 2

Le produit est positif pour x < -1 et x > 2

Il est négatif pour -1 < x < 2

Le signe de f' est connu.

Question 2

Variations

Le signe donne les sens de variation.

f est croissante sur ]-∞;-1]

f est décroissante sur [-1;2]

f est croissante sur [2;+∞[

f decroit entre -1 et 2.

Question 3

Extremums

Un changement de signe indique un extremum.

En -1, f' passe de + a - : maximum local

En 2, f' passe de - a + : minimum local

f admet un maximum local en -1 et un minimum local en 2.

Exercice 7

Tangente et position relative

Énoncé

On considère g(x) = x^2 - 2x + 2.

1. Calculer g'(x).

2. Déterminer l'équation de la tangente en x = 1.

3. Comparer la courbe de g a cette tangente.

Corrigé détaillé

Question 1

Dérivée

On dérive la fonction.

g'(x) = 2x - 2

La dérivée est g'(x) = 2x - 2.

Question 2

Équation de la tangente

On calcule le point et la pente.

g(1) = 1 - 2 + 2 = 1

g'(1) = 0

La tangente en 1 est y = 1

La tangente en x = 1 est horizontale : y = 1.

Question 3

Position relative

On compare g(x) a 1.

g(x) - 1 = x^2 - 2x + 1 g(x) - 1 = (x - 1)^2

Donc g(x) >= 1 pour tout x

La courbe est au-dessus de sa tangente.

Exercice 8

Fonction croissante sur un intervalle

Énoncé

On considère h(x) = x^2 e^x sur [0 ; +∞[.

1. Calculer h'(x).

2. Étudier le signe de h'(x).

3. Comparer h(0) et h(1).

Corrigé détaillé

Question 1

Calcul de la dérivée

On dérive un produit.

h'(x) = 2x e^x + x^2 e^x h'(x) = e^x(2x + x^2) h'(x) = e^x x(x + 2)

On a h'(x) = e^x x(x + 2).

Question 2

Signe de h'

Tous les facteurs sont positifs ou nuls sur [0 ; +∞[.

e^x > 0 x >= 0 et x + 2 > 0

Donc h'(x) >= 0

h est croissante sur [0 ; +∞[.

Question 3

Comparaison de valeurs

Une fonction croissante conserve l'ordre.

h(0) = 0

h(1) = e

Comme h est croissante, h(0) <= h(1)

On a bien h(0) < h(1).

Exercice 9

Quotient et variations

Énoncé

On considère h(x) = (x^2 + 1) / (x + 1) sur [0 ; 4].

1. Calculer h'(x).

2. Étudier le signe de h'(x).

3. En déduire les variations de h sur [0 ; 4].

Corrigé détaillé

Question 1

Dérivée

On applique la formule du quotient.

h'(x) = [(2x)(x + 1) - (x^2 + 1)] / (x + 1)^2 h'(x) = (2x^2 + 2x - x^2 - 1) / (x + 1)^2 h'(x) = (x^2 + 2x - 1) / (x + 1)^2

On a h'(x) = (x^2 + 2x - 1) / (x + 1)^2.

Question 2

Signe de h'

On étudie le trinome du numerateur.

x^2 + 2x - 1 = 0 a pour solutions -1 - sqrt(2) et -1 + sqrt(2)

Sur [0 ; 4], seule la racine -1 + sqrt(2) est utile

Le numerateur est négatif avant cette valeur puis positif apres

h' change de signe une fois sur l'intervalle.

Question 3

Variations

On lit le signe de la dérivée.

h decroit sur [0 ; -1 + sqrt(2)]

h croît sur [-1 + sqrt(2) ; 4]

h admet un minimum sur l'intervalle.

Exercice 10

Minimum d'une fonction sur ]0 ; +∞[

Énoncé

On considère f(x) = x + 1/x sur ]0 ; +∞[.

1. Calculer f'(x).

2. Étudier le signe de f'(x) puis les variations de f.

3. En déduire un minimum de f sur ]0 ; +∞[.

Corrigé détaillé

Question 1

Dérivée

On dérive chaque terme.

f'(x) = 1 - 1/x^2 f'(x) = (x^2 - 1) / x^2 f'(x) = (x - 1)(x + 1) / x^2

On a f'(x) = (x - 1)(x + 1) / x^2.

Question 2

Signe de f' et variations

Sur ]0 ; +∞[, x^2 > 0 et x + 1 > 0.

Le signe de f'(x) est donc celui de x - 1

f'(x) < 0 sur ]0 ; 1[

f'(1) = 0

f'(x) > 0 sur ]1 ; +∞[

f decroit sur ]0 ; 1], puis croit sur [1 ; +∞[.

Question 3

Minimum

Le minimum est atteint au point critique x = 1.

f(1) = 1 + 1 = 2

Le minimum de f sur ]0 ; +∞[ est 2.

Exercice 11

Produit avec exponentielle

Énoncé

On considère f(x) = (x - 1)e^x.

1. Calculer f'(x).

2. Étudier le signe de f'(x).

3. Dresser le tableau de variations de f.

Corrigé détaillé

Question 1

Dérivée

On utilise la regle du produit.

f'(x) = 1 x e^x + (x - 1)e^x f'(x) = e^x + x e^x - e^x f'(x) = x e^x

La dérivée est f'(x) = x e^x.

Question 2

Signe de f'

Comme e^x > 0, le signe est celui de x.

f'(x) < 0 si x < 0

f'(0) = 0

f'(x) > 0 si x > 0

f' change de signe en 0.

Question 3

Variations

On en déduit les variations.

f decroit sur ]-∞ ; 0]

f croît sur [0 ; +∞[

f(0) = -1

f admet un minimum egal a -1 en x = 0.

Exercice 12

Optimisation d'une aire par la dérivée

Énoncé

On considère A(x) = x^2(6 - x) pour x dans [0 ; 6].

1. Calculer A'(x).

2. Étudier le signe de A'(x).

3. Déterminer la valeur maximale de A sur [0 ; 6].

Corrigé détaillé

Question 1

Dérivée

On developpe puis on dérive.

A(x) = 6x^2 - x^3 A'(x) = 12x - 3x^2

A'(x) = 3x(4 - x)

On a A'(x) = 3x(4 - x).

Question 2

Signe de A'

On étudie les facteurs.

A'(x) = 0 pour x = 0 et x = 4

A'(x) > 0 sur ]0 ; 4[

A'(x) < 0 sur ]4 ; 6]

A croît puis decroît.

Question 3

Maximum

Le maximum est atteint au point de changement de signe.

A(4) = 4^2(6 - 4) = 16 x 2 = 32 A(0) = 0 et A(6) = 0

La valeur maximale de A est 32, atteinte pour x = 4.

Exercice 13

Tangentes paralleles a une droite donnee

Énoncé

On considère f(x) = x^3 - 3x^2 + 2.

1. Calculer f'(x).

2. Déterminer les abscisses des points de la courbe ou la tangente est parallele a la droite d'équation y = 3x - 1.

3. Donner les équations de ces tangentes.

Corrigé détaillé

Question 1

Calcul de la dérivée

On dérive terme à terme.

f'(x) = 3x^2 - 6x.

On peut factoriser : f'(x) = 3x(x - 2).

On obtient f'(x) = 3x(x - 2).

Question 2

Condition de parallelisme

Deux droites paralleles ont le même coefficient directeur.

La droite y = 3x - 1 a pour coefficient directeur 3.

On cherche donc les réels a tels que f'(a) = 3.

Cela donne 3a(a - 2) = 3, soit a^2 - 2a - 1 = 0.

Les solutions sont a = 1 - sqrt(2) et a = 1 + sqrt(2).

Les deux tangentes cherchees sont prises aux abscisses 1 - sqrt(2) et 1 + sqrt(2).

Question 3

Équation des tangentes

On utilise y = f(a) + f'(a)(x - a) avec f'(a) = 3.

On calcule d'abord f(1 + sqrt(2)) = -sqrt(2) et f(1 - sqrt(2)) = sqrt(2).

Pour a = 1 + sqrt(2), la tangente est y = -sqrt(2) + 3[x - (1 + sqrt(2))]. On simplifie : y = 3x - 3 - 4sqrt(2). Pour a = 1 - sqrt(2), la tangente est y = sqrt(2) + 3[x - (1 - sqrt(2))]. On simplifie : y = 3x - 3 + 4sqrt(2).

Les tangentes sont y = 3x - 3 - 4sqrt(2) et y = 3x - 3 + 4sqrt(2).

Dérivation

Énoncé

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Énoncé

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Énoncé

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Énoncé

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Énoncé

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Énoncé

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Énoncé

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Énoncé

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Énoncé

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Énoncé

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Énoncé

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Énoncé

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Énoncé

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