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Fonctions

Fonction exponentielle

Fonctions

Fonction exponentielle

Exercices corrigés de fonction exponentielle disponibles en HTML statique, avec le JavaScript conservé pour l'interactivité.

Exercice 1

Produits et quotients exponentiels

Énoncé

On considère A(x) = e^(x+2) / e^(x-1).

1. Simplifier A(x).

2. Calculer A(0).

3. Comparer A(x) a e^3.

Corrigé détaillé

Question 1
Simplification

On utilise la regle e^a / e^b = e^(a-b).

A(x) = e^((x+2) - (x-1))
A(x) = e^3

A(x) est constant et vaut e^3.

Question 2
Valeur en 0

On remplace x par 0.

A(0) = e^3

A(0) = e^3.

Question 3
Comparaison

Comme A(x) est constant, on conclut directement.

Pour tout x, A(x) = e^3
Donc A(x) est egal a e^3

A(x) est toujours egal a e^3.

Exercice 2

Équation exponentielle simple

Énoncé

On considère l'équation e^(2x - 1) = e^(x + 4).

1. Resoudre l'équation.

2. Verifier la solution obtenue.

3. Resoudre e^(2x - 1) >= e^(x + 4).

Corrigé détaillé

Question 1
Resolution

Deux exponentielles egales ont les memes exposants.

2x - 1 = x + 4

x = 5

La solution est x = 5.

Question 2
Verification

On remplace x par 5.

e^(2 x 5 - 1) = e^9
e^(5 + 4) = e^9

La solution est correcte.

Question 3
Inégalité

La fonction exponentielle est croissante.

e^(2x - 1) >= e^(x + 4)
equivaut a 2x - 1 >= x + 4
donc x >= 5

La solution est x >= 5.

Exercice 3

Etude de e^x - x

Énoncé

On considère g(x) = e^x - x.

1. Calculer g'(x).

2. Étudier le signe de g'(x).

3. En déduire que g(x) est toujours positive.

Corrigé détaillé

Question 1
Calcul de la dérivée

On dérive terme à terme.

g'(x) = e^x - 1

On obtient g'(x) = e^x - 1.

Question 2
Signe de g'

On compare e^x a 1.

e^x - 1 < 0 si x < 0
e^x - 1 = 0 si x = 0
e^x - 1 > 0 si x > 0

g' change de signe en 0.

Question 3
Positivite de g

On étudie le minimum.

g admet un minimum en 0

g(0) = 1

Donc g(x) >= 1 pour tout x

g(x) est toujours superieure ou egale a 1.

Exercice 4

Fonction exponentielle et seuil

Énoncé

Une population de 200 bacteries augmente de 10% par heure.

On note N(n) la population apres n heures.

1. Ecrire N(n) en fonction de n.

2. Calculer N(3).

3. Déterminer au bout de combien d'heures la population depasse 300.

Corrigé détaillé

Question 1
Expression de N(n)

Une augmentation de 10% correspond a un coefficient multiplicateur de 1,1.

N(n) = 200 x 1,1^n

On a N(n) = 200 x 1,1^n.

Question 2
Calcul d'une valeur

On remplace n par 3.

N(3) = 200 x 1,1^3
N(3) = 200 x 1,331 = 266,2

Au bout de 3 heures, on a environ 266 bacteries.

Question 3
Dépassement d'un seuil

On compare les valeurs successives.

N(4) = 200 x 1,1^4 = 292,82
N(5) = 200 x 1,1^5 = 322,10

La population depasse 300 apres 5 heures

Le seuil de 300 est depasse au bout de 5 heures.

Exercice 5

Simplifier puis resoudre une équation exponentielle

Énoncé

On considère E(x) = e^(2x) - 5e^x + 4.

1. Poser t = e^x et factoriser E(x).

2. Resoudre E(x) = 0.

3. Resoudre E(x) <= 0.

Corrigé détaillé

Question 1
Changement de variable

On pose t = e^x, avec t > 0.

E(x) = t^2 - 5t + 4

E(x) = (t - 1)(t - 4)

La factorisation est E(x) = (e^x - 1)(e^x - 4).

Question 2
Équation

On annule chaque facteur.

e^x = 1 donc x = 0
e^x = 4 donc x = ln(4)

Les solutions sont 0 et ln(4).

Question 3
Inegalite

On lit le signe du produit.

Comme e^x > 0, on a E(x) <= 0 lorsque 1 <= e^x <= 4
Donc 0 <= x <= ln(4)

La solution est [0 ; ln(4)].

Exercice 6

Inégalité exponentielle

Énoncé

On considère h(x) = e^x - x - 1.

1. Calculer h'(x).

2. Étudier le sens de variation de h.

3. Montrer que h(x) >= 0 pour tout x.

Corrigé détaillé

Question 1
Calcul de la dérivée

On dérive chaque terme.

h'(x) = e^x - 1

On a h'(x) = e^x - 1.

Question 2
Variations

Le signe de h' change en 0.

h' < 0 sur ]-∞;0[

h'(0) = 0

h' > 0 sur ]0;+∞[

h admet un minimum en 0.

Question 3
Positivite

On calcule la valeur minimale.

h(0) = 1 - 0 - 1 = 0

Comme 0 est un minimum, h(x) >= 0

On a bien e^x >= x + 1 pour tout x.

Exercice 7

Comparer e^x et 1 + x

Énoncé

On considère f(x) = e^x - x - 1.

1. Calculer f'(x).

2. Étudier le signe de f'(x).

3. En déduire le signe de f(x).

Corrigé détaillé

Question 1
Dérivée

On dérive terme à terme.

f'(x) = e^x - 1

On obtient f'(x) = e^x - 1.

Question 2
Signe de f'

On compare e^x a 1.

f'(x) < 0 si x < 0

f'(0) = 0

f'(x) > 0 si x > 0

f admet un minimum en 0.

Question 3
Signe de f

On calcule la valeur minimale.

f(0) = 1 - 0 - 1 = 0

Comme 0 est un minimum, f(x) >= 0

On a e^x >= x + 1 pour tout x.

Exercice 8

Fonction exponentielle composee

Énoncé

On considère f(x) = e^(2x) - 3e^x + 2.

1. Poser t = e^x et resoudre f(x) = 0.

2. Étudier le signe de f(x).

3. Donner les solutions de l'inequation f(x) <= 0.

Corrigé détaillé

Question 1
Changement de variable

On pose t = e^x, avec t > 0.

f(x) = t^2 - 3t + 2

f(x) = (t - 1)(t - 2)

L'équation se transforme en (t - 1)(t - 2) = 0.

Question 2
Solutions de f(x) = 0

On revient a x.

t = 1 ou t = 2
e^x = 1 donc x = 0
e^x = 2 donc x = ln(2)

Les solutions sont 0 et ln(2).

Question 3
Inégalité

On lit le signe du produit.

f(x) <= 0 lorsque t appartient a [1;2]

donc x appartient a [0; ln(2)]

La solution est [0; ln(2)].

Exercice 9

Evolution d'une population

Énoncé

Une population de 800 cellules augmente de 8% par heure.

On note N(n) la population au bout de n heures.

1. Ecrire N(n) en fonction de n.

2. Calculer N(4).

3. Déterminer le plus petit entier n pour lequel N(n) depasse 1200.

Corrigé détaillé

Question 1
Expression de N(n)

Une hausse de 8% correspond a un coefficient multiplicateur de 1,08.

N(n) = 800 x 1,08^n

On a N(n) = 800 x 1,08^n.

Question 2
Calcul d'une valeur

On remplace n par 4.

N(4) = 800 x 1,08^4

N(4) approx 1088,88

Au bout de 4 heures, la population est d'environ 1089 cellules.

Question 3
Seuil

On teste les valeurs successives.

N(5) = 800 x 1,08^5 approx 1175,99
N(6) = 800 x 1,08^6 approx 1270,07

Le seuil de 1200 est depasse au bout de 6 heures.

Exercice 10

Produit avec exponentielle

Énoncé

On considère f(x) = e^x(2 - x) sur [0 ; 3].

1. Calculer f'(x).

2. Étudier les variations de f sur [0 ; 3].

3. Resoudre f(x) = 0 puis donner le signe de f sur [0 ; 3].

Corrigé détaillé

Question 1
Dérivée

On utilise la dérivée d'un produit.

f'(x) = e^x(2 - x) + e^x(-1)
f'(x) = e^x(1 - x)

On a f'(x) = e^x(1 - x).

Question 2
Variations

On sait que e^x > 0 pour tout x.

Le signe de f'(x) est donc celui de 1 - x

f'(x) > 0 sur [0 ; 1[

f'(1) = 0

f'(x) < 0 sur ]1 ; 3]

f est croissante sur [0 ; 1] puis décroissante sur [1 ; 3].

Question 3
Équation et signe

Le facteur e^x est strictement positif.

f(x) = 0 equivalaut a 2 - x = 0
Donc f(x) = 0 pour x = 2

Sur [0 ; 2[, on a 2 - x > 0 donc f(x) > 0

Sur ]2 ; 3], on a 2 - x < 0 donc f(x) < 0

La fonction s'annule en x = 2, est positive avant 2 et négative apres 2.

Exercice 11

Fonction exponentielle et dérivée

Énoncé

On considère g(x) = e^x / (1 + e^x).

1. Calculer g'(x).

2. Étudier les variations de g.

3. Resoudre g(x) = 1/2 puis g(x) >= 3/4.

Corrigé détaillé

Question 1
Dérivée

On utilise la formule du quotient.

g'(x) = [e^x(1 + e^x) - e^x x e^x] / (1 + e^x)^2
Ici, on dérive plus simplement en posant u = e^x
g'(x) = e^x / (1 + e^x)^2

La dérivée est g'(x) = e^x / (1 + e^x)^2.

Question 2
Variations

Tous les facteurs sont positifs.

e^x > 0
(1 + e^x)^2 > 0

Donc g'(x) > 0 pour tout x

g est strictement croissante sur R.

Question 3
Équation et inegalite

On pose u = e^x > 0.

g(x) = 1/2 equivaut a u / (1 + u) = 1/2

2u = 1 + u

u = 1 donc x = 0
g(x) >= 3/4 equivaut a u >= 3

Donc x >= ln(3)

Les solutions sont x = 0 pour l'équation et x >= ln(3) pour l'inegalite.

Exercice 12

Etude d'une fonction composee

Énoncé

On considère h(x) = (x - 2)e^(-x).

1. Calculer h'(x).

2. Étudier le signe de h'(x).

3. En déduire les variations de h et sa valeur maximale.

Corrigé détaillé

Question 1
Dérivée

On applique la regle du produit.

h'(x) = 1 x e^(-x) + (x - 2)(-e^(-x))
h'(x) = e^(-x) - (x - 2)e^(-x)
h'(x) = (3 - x)e^(-x)

On a h'(x) = (3 - x)e^(-x).

Question 2
Signe de h'

L'exponentielle inverse est toujours positive.

e^(-x) > 0 pour tout x

Le signe de h'(x) est celui de 3 - x

h'(x) > 0 si x < 3 et h'(x) < 0 si x > 3

h' change de signe en 3.

Question 3
Variations et maximum

On lit le changement de signe.

h croît sur ]-∞ ; 3]

h decroît sur [3 ; +∞[

h(3) = e^(-3)

La valeur maximale de h est e^(-3), atteinte pour x = 3.

Exercice 13

Minimum d'une fonction exponentielle

Énoncé

On considère g(x) = e^x + 4e^(-x).

1. Calculer g'(x).

2. Déterminer le minimum de g sur R.

3. Resoudre l'inequation g(x) <= 5.

Corrigé détaillé

Question 1
Dérivée de g

On dérive chaque terme.

La dérivée de e^x est e^x.
La dérivée de 4e^(-x) est -4e^(-x).
Donc g'(x) = e^x - 4e^(-x).

On a g'(x) = e^x - 4e^(-x).

Question 2
Recherche du minimum

On étudie le signe de la dérivée.

g'(x) = 0 equivalent a e^x = 4e^(-x).
En multipliant par e^x > 0, on obtient e^(2x) = 4.
Donc 2x = ln 4 et x = ln 2.
Comme g' passe de négatif a positif en ln 2, la fonction atteint un minimum en x = ln 2.
g(ln 2) = 2 + 4 x 1/2 = 4.

Le minimum de g est 4, atteint pour x = ln 2.

Question 3
Resolution de g(x) <= 5

On pose t = e^x, avec t > 0.

L'inequation devient t + 4/t <= 5.
Comme t > 0, on peut multiplier par t : t^2 - 5t + 4 <= 0.

On factorise : (t - 1)(t - 4) <= 0.

Donc t appartient a [1 ; 4].

En revenant a x, cela donne e^x appartient a [1 ; 4], donc x appartient a [0 ; ln 4].

La solution est x appartient a [0 ; ln 4].