MathSups - Première - Fonctions - Second degré et polynômes

Exercice 1

Parabole et forme canonique

Énoncé

On considère f(x) = x^2 - 6x + 5.

1. Ecrire f sous forme canonique.

2. Resoudre f(x) = 0.

3. Étudier le signe de f(x).

Corrigé détaillé

Question 1

Mise sous forme canonique

On complete le carre.

x^2 - 6x + 5 = (x^2 - 6x + 9) - 4 x^2 - 6x + 5 = (x - 3)^2 - 4

La forme canonique est f(x) = (x - 3)^2 - 4.

Question 2

Recherche des racines

On factorise le trinome.

x^2 - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5)

Donc f(x) = 0 equivalaut a (x - 1)(x - 5) = 0

Les solutions sont x = 1 et x = 5

Les racines sont 1 et 5.

Question 3

Etude du signe

Le coefficient directeur de x^2 est positif.

Comme a = 1 > 0, la parabole est tournee vers le haut

Le trinome est positif a l'exterieur des racines

Il est négatif entre 1 et 5

f(x) est positive sur ]-∞;1] ∪ [5;+∞[ et négative sur [1;5].

Exercice 2

Discriminant et nombre de solutions

Énoncé

On considère g(x) = 2x^2 + 3x - 2.

1. Calculer le discriminant.

2. Resoudre g(x) = 0.

3. Donner le signe de g(x).

Corrigé détaillé

Question 1

Calcul du discriminant

On applique delta = b^2 - 4ac.

a = 2, b = 3, c = -2 delta = 3^2 - 4 x 2 x (-2) delta = 9 + 16 = 25

Le discriminant vaut 25.

Question 2

Resoudre l'équation

On utilise la formule des racines.

x = (-b - sqrt(delta)) / (2a) = (-3 - 5) / 4 = -2 x = (-b + sqrt(delta)) / (2a) = (-3 + 5) / 4 = 1/2

Les solutions sont -2 et 1/2.

Question 3

Signe du trinome

Comme a > 0, le trinome est positif a l'exterieur des racines.

Le trinome est négatif entre les deux solutions

Il est positif pour x <= -2 ou x >= 1/2

g(x) est négatif sur [-2;1/2] et positif ailleurs.

Exercice 3

Aire maximale d'un rectangle

Énoncé

On considère un rectangle dont un cote mesure x et l'autre 10 - x, avec 0 <= x <= 10.

1. Exprimer l'aire A(x).

2. Déterminer la valeur maximale de l'aire.

3. Resoudre A(x) >= 24.

Corrigé détaillé

Question 1

Expression de l'aire

On multiplie les deux cotes.

A(x) = x(10 - x)

A(x) = 10x - x^2

On obtient A(x) = -x^2 + 10x.

Question 2

Valeur maximale

On complete le carre.

A(x) = -(x^2 - 10x) A(x) = -[(x - 5)^2 - 25] A(x) = -(x - 5)^2 + 25

L'aire maximale vaut 25 pour x = 5.

Question 3

Resolution d'une inegalite

On transforme A(x) >= 24 en inegalite du second degré.

-x^2 + 10x >= 24 x^2 - 10x + 24 <= 0 (x - 4)(x - 6) <= 0

On a A(x) >= 24 pour x dans [4;6].

Exercice 4

Équation a parametre

Énoncé

On considère l'équation x^2 - 2(m - 1)x + m^2 - 1 = 0.

1. Calculer le discriminant en fonction de m.

2. Déterminer les valeurs de m pour lesquelles l'équation admet deux solutions reelles.

3. Étudier le cas ou l'équation admet une solution double.

Corrigé détaillé

Question 1

Discriminant

On applique la formule.

a = 1, b = -2(m - 1), c = m^2 - 1 delta = [-2(m - 1)]^2 - 4(m^2 - 1) delta = 4(m - 1)^2 - 4m^2 + 4

delta = 8(1 - m)

Le discriminant vaut 8(1 - m).

Question 2

Deux solutions reelles

On impose delta > 0.

8(1 - m) > 0

1 - m > 0

m < 1

Il y a deux solutions reelles si et seulement si m < 1.

Question 3

Solution double

On impose delta = 0.

8(1 - m) = 0

m = 1

L'équation devient x^2 = 0

Pour m = 1, l'équation admet une solution double x = 0.

Exercice 5

Sommet, racines et signe d'une parabole

Énoncé

On considère f(x) = x^2 - 8x + 7.

1. Ecrire f sous forme canonique.

2. Resoudre f(x) = 0.

3. Étudier le signe de f sur R.

Corrigé détaillé

Question 1

Forme canonique

On complete le carre.

x^2 - 8x + 7 = (x^2 - 8x + 16) - 9 f(x) = (x - 4)^2 - 9

La forme canonique est f(x) = (x - 4)^2 - 9.

Question 2

Resolution de f(x) = 0

On utilise la forme factorisee ou le discriminant.

x^2 - 8x + 7 = (x - 1)(x - 7) Donc f(x) = 0 equivalent a x = 1 ou x = 7

Les racines sont 1 et 7.

Question 3

Signe de f

Comme le coefficient de x^2 est positif, la parabole est tournee vers le haut.

f(x) > 0 pour x < 1 ou x > 7 f(x) < 0 pour 1 < x < 7

f est positive a l'exterieur des racines et négative entre elles.

Exercice 6

Racines et factorisation

Énoncé

On considère p(x) = x^2 - 4x - 5.

1. Resoudre p(x) = 0.

2. Ecrire p sous forme factorisee.

3. Resoudre p(x) >= 0.

Corrigé détaillé

Question 1

Resolution

On cherche deux nombres de produit -5 et de somme -4.

Ces nombres sont -5 et 1

Donc p(x) = (x - 5)(x + 1)

Les solutions sont x = -1 et x = 5.

Question 2

Forme factorisee

On lit directement les racines.

p(x) = (x - 5)(x + 1)

La forme factorisee est obtenue.

Question 3

Inégalité

Comme a > 0, le trinome est positif a l'exterieur des racines.

p(x) >= 0 pour x <= -1 ou x >= 5 p(x) < 0 pour -1 < x < 5

La solution est ]-∞;-1] ∪ [5;+∞[.

Exercice 7

Second degré avec parametre

Énoncé

On considère l'équation x^2 - 2(m + 1)x + m^2 - 4 = 0.

1. Calculer le discriminant en fonction de m.

2. Déterminer les valeurs de m pour lesquelles l'équation admet deux solutions reelles distinctes.

3. Étudier le cas d'une solution double.

Corrigé détaillé

Question 1

Calcul du discriminant

On applique la formule delta = b^2 - 4ac.

a = 1, b = -2(m + 1), c = m^2 - 4 delta = [ -2(m + 1) ]^2 - 4(m^2 - 4) delta = 4(m + 1)^2 - 4m^2 + 16

delta = 8m + 20

On obtient delta = 8m + 20.

Question 2

Deux solutions reelles distinctes

On impose delta > 0.

8m + 20 > 0

m > -5/2

L'équation admet deux solutions reelles distinctes si m > -5/2.

Question 3

Solution double

On impose delta = 0.

8m + 20 = 0

m = -5/2

Dans ce cas, l'équation admet une racine double

Pour m = -5/2, l'équation admet une solution double.

Exercice 8

Sommet d'une parabole

Énoncé

On considère h(x) = -x^2 + 8x - 7.

1. Ecrire h sous forme canonique.

2. Déterminer sa valeur maximale.

3. Resoudre h(x) >= 9.

Corrigé détaillé

Question 1

Forme canonique

On complete le carre.

-x^2 + 8x - 7 = -(x^2 - 8x) - 7 = -[(x - 4)^2 - 16] - 7 = -(x - 4)^2 + 9

h(x) = -(x - 4)^2 + 9.

Question 2

Valeur maximale

Le carre est toujours positif ou nul.

Comme -(x - 4)^2 <= 0 h(x) <= 9 Le maximum est atteint pour x = 4

La valeur maximale est 9.

Question 3

Inégalité

On compare h(x) a 9.

-(x - 4)^2 + 9 >= 9 -(x - 4)^2 >= 0 (x - 4)^2 <= 0 donc x = 4

La solution de h(x) >= 9 est x = 4.

Exercice 9

Intersection de deux courbes du second degré

Énoncé

On considère f(x) = x^2 - 7x + 5 et g(x) = 2x - 1.

1. Resoudre f(x) = g(x).

2. Donner les abscisses des points d'intersection.

3. Déterminer pour quelles valeurs de x on a f(x) <= g(x).

Corrigé détaillé

Question 1

Équation d'intersection

On regroupe tous les termes dans le même membre.

x^2 - 7x + 5 = 2x - 1 x^2 - 9x + 6 = 0

L'équation a resoudre est x^2 - 9x + 6 = 0.

Question 2

Abscisses d'intersection

On calcule le discriminant.

delta = 9^2 - 4 x 1 x 6 = 81 - 24 = 57 x = (9 - sqrt(57)) / 2 x = (9 + sqrt(57)) / 2

Les deux points d'intersection ont pour abscisses (9 - sqrt(57))/2 et (9 + sqrt(57))/2.

Question 3

Comparaison des courbes

On étudie le signe du trinome.

Comme a = 1 > 0, le trinome est négatif entre les racines

Donc f(x) <= g(x) pour x compris entre les deux solutions

On a f(x) <= g(x) pour x dans [ (9 - sqrt(57))/2 ; (9 + sqrt(57))/2 ].

Exercice 10

Benefice maximal sur un intervalle

Énoncé

On considère B(x) = -2x^2 + 12x - 10 pour x dans [0 ; 6].

1. Ecrire B sous forme canonique.

2. Déterminer la valeur maximale de B sur [0 ; 6].

3. Resoudre B(x) >= 6.

Corrigé détaillé

Question 1

Forme canonique

On factorise puis on complete le carre.

B(x) = -2(x^2 - 6x) - 10 B(x) = -2[(x - 3)^2 - 9] - 10 B(x) = -2(x - 3)^2 + 8

On obtient B(x) = -2(x - 3)^2 + 8.

Question 2

Valeur maximale

Le carre est positif ou nul.

-2(x - 3)^2 <= 0

Donc B(x) <= 8

L'egalite a lieu pour x = 3

La valeur maximale de B est 8, atteinte pour x = 3.

Question 3

Inegalite

On resout à partir de la forme canonique.

-2(x - 3)^2 + 8 >= 6 -2(x - 3)^2 >= -2 (x - 3)^2 <= 1 Donc 2 <= x <= 4

L'inegalite est verifiee pour x dans [2 ; 4].

Exercice 11

Aire maximale avec une contrainte

Énoncé

On veut construire un rectangle de perimetre 24 m.

On note x la longueur d'un cote.

1. Exprimer l'aire A(x) en fonction de x.

2. Déterminer la valeur maximale de l'aire.

3. Resoudre A(x) >= 32.

Corrigé détaillé

Question 1

Expression de l'aire

Le perimetre impose 2x + 2y = 24.

On a y = 12 - x Donc A(x) = x(12 - x) = 12x - x^2

L'aire est A(x) = -x^2 + 12x.

Question 2

Valeur maximale

On complete le carre.

A(x) = -(x^2 - 12x) A(x) = -[(x - 6)^2 - 36] A(x) = -(x - 6)^2 + 36

La valeur maximale de l'aire est 36, atteinte pour x = 6.

Question 3

Inegalite

On resout A(x) >= 32.

-x^2 + 12x >= 32 x^2 - 12x + 32 <= 0 (x - 4)(x - 8) <= 0

La solution est x dans [4 ; 8].

Exercice 12

Équation a conditions de validite

Énoncé

On considère p(x) = (x - 2)^2 - 3(x - 2) - 4.

1. Poser u = x - 2 et resoudre p(x) = 0.

2. Ecrire p sous forme factorisee.

3. Resoudre p(x) > 0.

Corrigé détaillé

Question 1

Changement de variable

On pose u = x - 2.

p(x) = u^2 - 3u - 4 u^2 - 3u - 4 = 0

(u - 4)(u + 1) = 0

On obtient u = 4 ou u = -1.

Question 2

Retour a x et factorisation

On remplace u par x - 2.

x - 2 = 4 donc x = 6 x - 2 = -1 donc x = 1 p(x) = (x - 6)(x - 1)

La forme factorisee est p(x) = (x - 6)(x - 1).

Question 3

Signe strictement positif

Le coefficient dominant est positif.

p(x) > 0 pour x < 1 ou x > 6 p(x) < 0 pour 1 < x < 6

La solution de p(x) > 0 est ]-∞ ; 1[ ∪ ]6 ; +∞[.

Exercice 13

Deux racines positives selon un parametre

Énoncé

On considère, pour tout réel m, le trinome f_m(x) = x^2 - 2(m + 1)x + m^2 + m - 2.

1. Calculer le discriminant de f_m.

2. Déterminer les valeurs de m pour lesquelles l'équation f_m(x) = 0 admet deux solutions reelles distinctes.

3. Déterminer les valeurs de m pour lesquelles ces deux solutions sont positives.

Corrigé détaillé

Question 1

Calcul du discriminant

On applique la formule du discriminant.

Ici, a = 1, b = -2(m + 1) et c = m^2 + m - 2. Delta = b^2 - 4ac = 4(m + 1)^2 - 4(m^2 + m - 2). Delta = 4[(m + 1)^2 - m^2 - m + 2] = 4(m + 3).

Le discriminant vaut Delta = 4(m + 3).

Question 2

Deux solutions reelles distinctes

Il faut imposer Delta > 0.

Delta > 0 equivalent a 4(m + 3) > 0.

Comme 4 est positif, cela revient a m + 3 > 0.

On obtient donc m > -3.

L'équation admet deux solutions reelles distinctes si et seulement si m > -3.

Question 3

Racines toutes deux positives

On utilise la somme et le produit des racines.

Si x1 et x2 sont les racines, alors x1 + x2 = 2(m + 1) et x1 x2 = m^2 + m - 2 = (m + 2)(m - 1).

Pour avoir deux racines positives, il faut Delta > 0, x1 + x2 > 0 et x1 x2 > 0.

La condition x1 + x2 > 0 donne m > -1.

La condition x1 x2 > 0 donne m < -2 ou m > 1.

En combinant avec m > -3 et m > -1, il reste seulement m > 1.

Les deux racines sont positives si et seulement si m > 1.