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Fonctions

Fonction trigonométrique

Fonctions

Fonction trigonométrique

Exercices corrigés de fonction trigonométrique disponibles en HTML statique, avec le JavaScript conservé pour l'interactivité.

Exercice 1

Valeurs exactes sur le cercle trigonométrique

Énoncé

1. Calculer cos(pi/6) et sin(pi/6).

2. Calculer cos(5pi/6) et sin(5pi/6).

3. En déduire les signes de cos et sin dans le deuxieme quadrant.

Corrigé détaillé

Question 1
Valeurs de base

On utilise les angles remarquables.

cos(pi/6) = sqrt(3)/2
sin(pi/6) = 1/2

Les valeurs exactes sont connues.

Question 2
Angles associes

On utilise le symetrique par rapport a l'axe des ordonnees.

cos(5pi/6) = -cos(pi/6) = -sqrt(3)/2
sin(5pi/6) = sin(pi/6) = 1/2

Au deuxieme quadrant, cos est négatif et sin est positif.

Question 3
Signes

On lit directement sur le cercle.

Dans le deuxieme quadrant, cos < 0

dans le deuxieme quadrant, sin > 0

Les signes sont bien determines.

Exercice 2

Resoudre une équation trigonométrique

Énoncé

Resoudre cos(x) = 1/2 sur [0 ; 2pi].

1. Donner les angles remarquables correspondants.

2. Ecrire toutes les solutions dans l'intervalle.

3. Verifier graphiquement.

Corrigé détaillé

Question 1
Angles correspondants

On sait que cos(pi/3) = 1/2.

Le premier angle est pi/3

Le second est 2pi - pi/3 = 5pi/3

Les angles cherchés sont pi/3 et 5pi/3.

Question 2
Solutions dans l'intervalle

On liste les solutions dans [0;2pi].

x = pi/3
x = 5pi/3

Les solutions sont pi/3 et 5pi/3.

Question 3
Verification

On lit le cosinus sur le cercle.

Les deux points sont bien dans les zones ou cos vaut 1/2

Le résultat est coherent

La resolution est correcte.

Exercice 3

Signe des fonctions sinus et cosinus

Énoncé

1. Déterminer le signe de sin(x) sur [0 ; 2pi].

2. Déterminer le signe de cos(x) sur [0 ; 2pi].

3. Calculer sin(7pi/6) et cos(7pi/6).

Corrigé détaillé

Question 1
Signe de sin

On lit les demi-cercles supérieur et inférieur.

sin(x) > 0 sur ]0;pi[
sin(x) = 0 pour x = 0, pi, 2pi
sin(x) < 0 sur ]pi;2pi[

Le signe de sin est connu.

Question 2
Signe de cos

On lit les demi-cercles droit et gauche.

cos(x) > 0 sur ]0;pi/2[ ∪ ]3pi/2;2pi[
cos(x) = 0 pour x = pi/2 et 3pi/2
cos(x) < 0 sur ]pi/2;3pi/2[

Le signe de cos est connu.

Question 3
Valeurs exactes

On repère l'angle 7pi/6 dans le troisieme quadrant.

sin(7pi/6) = -1/2
cos(7pi/6) = -sqrt(3)/2

Les valeurs exactes sont obtenues.

Exercice 4

Etude d'une fonction cosinus

Énoncé

On considère f(x) = 2cos(x) + 1 sur [0 ; pi].

1. Donner les valeurs de f(0) et f(pi).

2. Déterminer le sens de variation de f.

3. Resoudre f(x) >= 1.

Corrigé détaillé

Question 1
Valeurs aux bornes

On utilise cos(0) = 1 et cos(pi) = -1.

f(0) = 2 x 1 + 1 = 3
f(pi) = 2 x (-1) + 1 = -1

Les valeurs aux bornes sont 3 et -1.

Question 2
Variations

Sur [0;pi], cos est décroissante.

Comme cos est décroissante sur [0;pi]

f est aussi décroissante sur [0;pi]

f est décroissante sur [0;pi].

Question 3
Inegalite

On resout 2cos(x) + 1 >= 1.

2cos(x) >= 0
cos(x) >= 0

donc x appartient a [0;pi/2]

La solution est [0;pi/2].

Exercice 5

Angles remarquables et signes

Énoncé

1. Calculer cos(2pi/3) et sin(2pi/3).

2. Calculer cos(3pi/4) et sin(3pi/4).

3. Donner le signe de cos et de sin dans le deuxieme quadrant.

Corrigé détaillé

Question 1
Premier angle

On utilise le cercle trigonométrique.

cos(2pi/3) = -1/2
sin(2pi/3) = sqrt(3)/2

Les valeurs exactes de 2pi/3 sont connues.

Question 2
Second angle

On utilise l'angle associe a pi/4.

cos(3pi/4) = -sqrt(2)/2
sin(3pi/4) = sqrt(2)/2

Les valeurs exactes de 3pi/4 sont connues.

Question 3
Signes

On lit le cercle.

Dans le deuxieme quadrant, cos est négatif

Dans le deuxieme quadrant, sin est positif

Le signe des fonctions est correctement determine.

Exercice 6

Une expression trigo a simplifier

Énoncé

On considère g(x) = sin(x)^2 + cos(x)^2 + 2sin(x)cos(x).

1. Simplifier g(x).

2. Resoudre g(x) = 1.

3. Resoudre g(x) >= 1.

Corrigé détaillé

Question 1
Simplification

On utilise sin^2(x) + cos^2(x) = 1.

g(x) = 1 + 2sin(x)cos(x)
g(x) = 1 + sin(2x)

g(x) = 1 + sin(2x).

Question 2
Équation

On resout sin(2x) = 0.

sin(2x) = 0
donc 2x = k pi
x = k pi / 2

Les solutions sont les multiples de pi/2.

Question 3
Inégalité

On sait que -1 <= sin(2x) <= 1.

g(x) = 1 + sin(2x)

donc g(x) >= 0

et g(x) >= 1 si sin(2x) >= 0

g(x) est toujours positive.

Exercice 7

Équation trigonométrique a deux solutions

Énoncé

Resoudre sin(x) = 1/2 sur [0 ; 2pi].

1. Donner les valeurs remarquables.

2. Ecrire l'ensemble des solutions.

3. Étudier le signe de sin(x) - 1/2 sur [0 ; 2pi].

Corrigé détaillé

Question 1
Valeurs remarquables

On sait que sin(pi/6) = 1/2.

Les deux angles sont pi/6 et 5pi/6

Les solutions candidates sont pi/6 et 5pi/6.

Question 2
Ensemble des solutions

On se limite a [0 ; 2pi].

x = pi/6 ou x = 5pi/6

Les solutions sont pi/6 et 5pi/6.

Question 3
Signe

On repère ou sin(x) est supérieur a 1/2.

sin(x) >= 1/2 sur [pi/6 ; 5pi/6]
sin(x) < 1/2 ailleurs dans [0 ; 2pi]

Le signe de sin(x) - 1/2 est positif ou nul sur [pi/6 ; 5pi/6].

Exercice 8

Resoudre sin(x) = cos(x)

Énoncé

Resoudre sin(x) = cos(x) sur [0 ; 2pi].

1. Transformer l'équation.

2. Resoudre.

3. Verifier les solutions.

Corrigé détaillé

Question 1
Transformation

On regroupe les termes.

sin(x) - cos(x) = 0

On peut diviser par cos(x) si cos(x) n'est pas nul

tan(x) = 1

L'équation devient tan(x) = 1.

Question 2
Resolution

On cherche les angles de tangente 1.

x = pi/4 + k pi

Dans [0;2pi], cela donne pi/4 et 5pi/4

Les solutions sont pi/4 et 5pi/4.

Question 3
Verification

On remplace par les valeurs obtenues.

sin(pi/4) = cos(pi/4)
sin(5pi/4) = cos(5pi/4)

Les deux solutions sont correctes.

Exercice 9

Identite et resolution

Énoncé

On considère l'équation 2sin^2(x) - 3sin(x) + 1 = 0.

1. Poser u = sin(x) et resoudre l'équation en u.

2. En déduire les solutions sur [0 ; 2pi].

3. Donner les solutions sur R.

Corrigé détaillé

Question 1
Changement de variable

On pose u = sin(x).

2u^2 - 3u + 1 = 0

(2u - 1)(u - 1) = 0

On obtient u = 1/2 ou u = 1.

Question 2
Solutions sur [0 ; 2pi]

On cherche les angles associes.

sin(x) = 1 donne x = pi/2
sin(x) = 1/2 donne x = pi/6 ou x = 5pi/6

Les solutions dans [0 ; 2pi] sont pi/6, pi/2 et 5pi/6.

Question 3
Solutions sur R

On ajoute les periodicites.

sin(x) = 1/2 donne x = pi/6 + 2kpi ou x = 5pi/6 + 2kpi
sin(x) = 1 donne x = pi/2 + 2kpi

On obtient toutes les solutions en ajoutant 2kpi.

Exercice 10

Équation et inegalite trigonometriques

Énoncé

On considère g(x) = 2sin(x) - sqrt(3) sur [0 ; 2pi].

1. Resoudre g(x) = 0 sur [0 ; 2pi].

2. Étudier le signe de g(x) sur [0 ; 2pi].

3. Donner l'ensemble des solutions de g(x) >= 0.

Corrigé détaillé

Question 1
Équation

On resout sin(x) = sqrt(3)/2.

Sur [0 ; 2pi], les solutions sont x = pi/3 et x = 2pi/3

L'équation g(x) = 0 admet deux solutions : pi/3 et 2pi/3.

Question 2
Signe

On repère les zones ou sin(x) est au-dessus de sqrt(3)/2.

Entre pi/3 et 2pi/3, on a sin(x) >= sqrt(3)/2

En dehors de cet intervalle, sin(x) < sqrt(3)/2

g(x) est positif ou nul sur [pi/3 ; 2pi/3], et négatif ailleurs sur [0 ; 2pi].

Question 3
Ensemble solution

On traduit directement le signe obtenu.

g(x) >= 0 pour x dans [pi/3 ; 2pi/3]

L'ensemble des solutions est [pi/3 ; 2pi/3].

Exercice 11

Ecriture d'une fonction trigonométrique

Énoncé

On considère f(x) = cos(x) + sin(x).

1. Montrer que f(x) = sqrt(2) cos(x - pi/4).

2. Déterminer le maximum de f.

3. Resoudre f(x) >= 1 sur [0 ; 2pi].

Corrigé détaillé

Question 1
Transformation

On utilise les formules d'addition.

sqrt(2) cos(x - pi/4) = sqrt(2)[cos x cos(pi/4) + sin x sin(pi/4)]
Comme cos(pi/4) = sin(pi/4) = sqrt(2)/2

On retrouve cos(x) + sin(x)

On a bien f(x) = sqrt(2) cos(x - pi/4).

Question 2
Maximum

Le cosinus est compris entre -1 et 1.

f(x) <= sqrt(2)

Le maximum vaut sqrt(2)

Le maximum de f est sqrt(2).

Question 3
Inegalite

On resout cos(x - pi/4) >= 1/sqrt(2).

cos(theta) >= sqrt(2)/2 pour theta dans [-pi/4 ; pi/4] modulo 2pi

On obtient x dans [0 ; pi/2] ∪ [3pi/2 ; 2pi]

La solution sur [0 ; 2pi] est [0 ; pi/2] ∪ [3pi/2 ; 2pi].

Exercice 12

Équation avec tangente

Énoncé

Resoudre tan(x) = sqrt(3) sur [0 ; 2pi].

1. Donner une solution particuliere.

2. Ecrire l'ensemble des solutions sur R.

3. Resoudre tan(x) >= sqrt(3) sur [0 ; 2pi] en tenant compte des ruptures.

Corrigé détaillé

Question 1
Solution particuliere

On connait tan(pi/3) = sqrt(3).

Une solution particuliere est pi/3

On a bien tan(pi/3) = sqrt(3).

Question 2
Solutions generales

La tangente est periodique de periode pi.

x = pi/3 + kpi, avec k entier relatif

Les solutions sur R sont x = pi/3 + kpi.

Question 3
Inegalite

On travaille sur chaque intervalle de définition.

Sur ]0 ; pi/2[, tan est croissante

Donc tan(x) >= sqrt(3) pour x dans [pi/3 ; pi/2[

Sur ]pi ; 3pi/2[, tan est croissante aussi

Donc x dans [4pi/3 ; 3pi/2[

La solution sur [0 ; 2pi] est [pi/3 ; pi/2[ ∪ [4pi/3 ; 3pi/2[.

Exercice 13

Équation quadratique en cosinus

Énoncé

Sur l'intervalle [0 ; 2pi], on considère f(x) = 2cos^2(x) - 3cos(x) + 1.

1. Factoriser f(x) en posant u = cos(x).

2. Resoudre f(x) = 0 sur [0 ; 2pi].

3. Resoudre f(x) <= 0 sur [0 ; 2pi].

Corrigé détaillé

Question 1
Factorisation

On remplace cos(x) par une inconnue u.

Avec u = cos(x), on doit factoriser 2u^2 - 3u + 1.
On cherche deux facteurs de produit 2u^2 et de somme -3u.
On obtient 2u^2 - 3u + 1 = (2u - 1)(u - 1).

Donc f(x) = (2cos(x) - 1)(cos(x) - 1).

La factorisation est f(x) = (2cos(x) - 1)(cos(x) - 1).

Question 2
Resolution de l'équation

Un produit est nul si l'un des facteurs est nul.

Soit cos(x) = 1, soit cos(x) = 1/2.
Sur [0 ; 2pi], cos(x) = 1 pour x = 0 et x = 2pi.
Sur [0 ; 2pi], cos(x) = 1/2 pour x = pi/3 et x = 5pi/3.

Les solutions sont 0, pi/3, 5pi/3 et 2pi.

Question 3
Resolution de l'inequation

On étudie le signe du produit selon la valeur de cos(x).

L'inequation (2u - 1)(u - 1) <= 0 est verifiee pour u appartient a [1/2 ; 1].

On revient a u = cos(x).

Sur [0 ; 2pi], cos(x) >= 1/2 pour x dans [0 ; pi/3] et dans [5pi/3 ; 2pi].

La solution est [0 ; pi/3] union [5pi/3 ; 2pi].