MathSups - Première - Géométrie - Géométrie repérée

Exercice 1

Coefficient directeur et équation reduite

Énoncé

On considère A(1 ; 2) et B(5 ; 4).

1. Calculer le coefficient directeur de (AB).

2. Donner une équation de la droite (AB).

3. Verifier si C(3 ; 3) appartient a (AB).

Corrigé détaillé

Question 1

Pente

On calcule la variation des ordonnees sur la variation des abscisses.

m = (4 - 2) / (5 - 1) m = 2/4 = 1/2

Le coefficient directeur vaut 1/2.

Question 2

Équation

On utilise le point A.

y - 2 = 1/2(x - 1) y = 1/2 x + 3/2

Une équation de (AB) est y = 1/2 x + 3/2.

Question 3

Verification

On remplace x par 3.

Pour x = 3, on obtient y = 1/2 x 3 + 3/2 = 3

Le point C(3 ; 3) appartient donc a la droite.

Le point C appartient a (AB).

Exercice 2

Intersection de deux droites

Énoncé

On considère d1 passant par A(0 ; 1) et B(4 ; 3).

On considère d2 passant par C(0 ; 5) et D(2 ; 1).

1. Ecrire une équation de d1 et de d2.

2. Déterminer leurs points d'intersection.

3. Donner les coordonnées du point commun.

Corrigé détaillé

Question 1

Equations

On calcule les coefficients directeurs.

Pour d1, m1 = (3 - 1)/(4 - 0) = 1/2, donc d1 : y = 1/2 x + 1 Pour d2, m2 = (1 - 5)/(2 - 0) = -2, donc d2 : y = -2x + 5

On a d1 : y = 1/2 x + 1 et d2 : y = -2x + 5.

Question 2

Intersection

On resout le systeme.

1/2 x + 1 = -2x + 5 5/2 x = 4 x = 8/5

On trouve x = 8/5.

Question 3

Ordonnée

On remplace dans une équation.

y = 1/2 x 8/5 + 1 y = 4/5 + 1 = 9/5

Le point d'intersection est (8/5 ; 9/5).

Exercice 3

Milieu d'un segment et parallelogramme

Énoncé

On considère A(1 ; 1), B(7 ; 3) et C(5 ; 7).

1. Calculer le milieu de [AB].

2. Trouver D pour que ABCD soit un parallelogramme.

3. Verifier le resultat par les diagonales.

Corrigé détaillé

Question 1

Milieu

On fait la moyenne.

M((1 + 7)/2 ; (1 + 3)/2)

M(4 ; 2)

Le milieu de [AB] est M(4 ; 2).

Question 2

Quatrieme sommet

Dans un parallelogramme, D = A + C - B.

D = (1 + 5 - 7 ; 1 + 7 - 3)

D = (-1 ; 5)

On trouve D(-1 ; 5).

Question 3

Vérification

Les diagonales ont le même milieu.

Le milieu de [AC] est ((1 + 5)/2 ; (1 + 7)/2) = (3 ; 4)

Le milieu de [BD] est ((7 + (-1))/2 ; (3 + 5)/2) = (3 ; 4)

Les diagonales ont bien le même milieu.

Exercice 4

Point d'un cercle de centre donne

Énoncé

On considère le point O(2 ; 1).

On cherche l'ensemble des points M tels que OM = 5.

1. Ecrire l'équation du cercle.

2. Verifier si A(6 ; 4) appartient au cercle.

3. Verifier si B(5 ; 1) appartient au cercle.

Corrigé détaillé

Question 1

Équation

On ecrit la distance au centre.

(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 25

L'équation du cercle est (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 25.

Question 2

Point A

On remplace les coordonnées.

(6 - 2)^2 + (4 - 1)^2 = 16 + 9 = 25

Le point A appartient au cercle.

Question 3

Point B

On verifie la distance.

(5 - 2)^2 + (1 - 1)^2 = 9

9 n'est pas egal a 25

Le point B n'appartient pas au cercle.

Exercice 5

Droite parallele a une droite donnee

Énoncé

On considère la droite d passant par A(0 ; 0) et B(2 ; 3).

On veut la droite d' passant par P(4 ; 1) et parallele a d.

1. Calculer le coefficient directeur de d.

2. Ecrire une équation de d'.

3. Verifier si Q(6 ; 4) appartient a d'.

Corrigé détaillé

Question 1

Pente

On calcule la pente de d.

m = (3 - 0)/(2 - 0) = 3/2

Le coefficient directeur de d est 3/2.

Question 2

Équation

Une droite parallele a d a le même coefficient directeur.

y - 1 = 3/2(x - 4) y = 3/2 x - 5

Une équation de d' est y = 3/2 x - 5.

Question 3

Verification

On teste le point Q.

Pour x = 6, on obtient y = 3/2 x 6 - 5 = 4

Le point Q appartient a d'.

Exercice 6

Lieu de points et distance

Énoncé

On considère A(1 ; 2).

On cherche les points M tels que AM = 4.

1. Ecrire l'équation du lieu.

2. Verifier si P(5 ; 2) appartient au lieu.

3. Verifier si R(1 ; 6) appartient au lieu.

Corrigé détaillé

Question 1

Lieu géométrique

Les points a distance fixe d'un point forment un cercle.

(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16

Le lieu est le cercle de centre A et de rayon 4.

Question 2

Point P

On calcule la distance.

(5 - 1)^2 + (2 - 2)^2 = 16

Le point P appartient au lieu.

Question 3

Point R

On verifie aussi l'autre point.

(1 - 1)^2 + (6 - 2)^2 = 16

Le point R appartient egalement au lieu.

Exercice 7

Parallelogramme dans le plan

Énoncé

On considère A(0 ; 0), B(4 ; 1), C(5 ; 5) et D(1 ; 4).

1. Calculer les vecteurs AB et DC.

2. Calculer les vecteurs AD et BC.

3. Conclure sur la nature du quadrilatere ABCD.

Corrigé détaillé

Question 1

Premiere paire de vecteurs

On compare les deplacements.

AB = (4 ; 1)

DC = (4 ; 1)

On a AB = DC.

Question 2

Deuxieme paire

On compare l'autre paire.

AD = (1 ; 4)

BC = (1 ; 4)

On a aussi AD = BC.

Question 3

Conclusion

Deux paires de cotes opposees egales definissent un parallelogramme.

AB = DC et AD = BC

ABCD est donc un parallelogramme.

Le quadrilatere ABCD est un parallelogramme.

Exercice 8

Équation d'une droite et droite parallèle

Énoncé

On considère A(-2 ; 1) et B(4 ; 4).

On considère aussi le point D(1 ; 0).

1. Donner une équation de la droite (AB).

2. Donner une équation de la droite passant par D et parallele a (AB).

3. Verifier si les points C(0 ; 2) et E(2 ; 0.5) appartiennent a ces droites.

Corrigé détaillé

Question 1

Équation de (AB)

On calcule le coefficient directeur.

m = (4 - 1) / (4 - (-2)) = 3/6 = 1/2 On ecrit y - 1 = 1/2(x + 2) Donc y = 1/2 x + 2

Une équation de (AB) est y = 1/2 x + 2.

Question 2

Droite parallele

Une droite parallele a le même coefficient directeur.

On cherche y = 1/2 x + b Comme D(1 ; 0) appartient a cette droite : 0 = 1/2 + b Donc b = -1/2

L'équation de la parallele passant par D est y = 1/2 x - 1/2.

Question 3

Verification

On remplace les coordonnées des points.

Pour C(0 ; 2), on a 2 = 1/2 x 0 + 2, donc C appartient a (AB). Pour E(2 ; 0.5), on a 0.5 = 1/2 x 2 - 1/2, donc E appartient a la parallele.

C appartient a (AB) et E appartient a la droite parallele.

Exercice 9

Intersection de deux droites avec parametre

Énoncé

On considère d1 passant par A(0 ; 1) et B(4 ; 3).

On considère d2 passant par C(0 ; 4) et D(4 ; 0).

1. Donner les équations de d1 et d2.

2. Déterminer leurs coordonnées d'intersection S.

3. Calculer SA et SD.

Corrigé détaillé

Question 1

Equations

On calcule les pentes.

Pour d1, m = (3 - 1) / (4 - 0) = 1/2, donc y = 1/2 x + 1 Pour d2, m = (0 - 4) / (4 - 0) = -1, donc y = -x + 4

On a d1 : y = 1/2 x + 1 et d2 : y = -x + 4.

Question 2

Intersection

On resout le systeme.

1/2 x + 1 = -x + 4 3/2 x = 3 x = 2 puis y = 2

Le point d'intersection est S(2 ; 2).

Question 3

Distinctions de longueurs

On utilise la formule de distance.

SA = sqrt((2 - 0)^2 + (2 - 1)^2) = sqrt(5) SD = sqrt((2 - 4)^2 + (2 - 0)^2) = sqrt(8) = 2sqrt(2)

On obtient SA = sqrt(5) et SD = 2sqrt(2).

Exercice 10

Milieu et médiane

Énoncé

On considère A(0 ; 0), B(6 ; 2) et C(2 ; 3).

On note I le milieu de [AB].

1. Calculer les coordonnées de I.

2. Donner une équation de la mediane (CI).

3. Verifier si D(1 ; 5) appartient a cette mediane.

Corrigé détaillé

Question 1

Milieu de [AB]

On fait la moyenne des coordonnées.

I((0 + 6)/2 ; (0 + 2)/2)

I(3 ; 1)

Le milieu I de [AB] est I(3 ; 1).

Question 2

Équation de la mediane

On calcule le coefficient directeur de (CI).

m = (1 - 3) / (3 - 2) = -2

y - 3 = -2(x - 2)

y = -2x + 7

Une équation de la mediane (CI) est y = -2x + 7.

Question 3

Verification

On teste les coordonnées de D.

Pour x = 1, on obtient y = -2 x 1 + 7 = 5

Le point D(1 ; 5) appartient donc a la mediane.

Le point D appartient a la mediane (CI).

Exercice 11

Perpendiculaire et pied de la hauteur

Énoncé

On considère la droite d passant par A(0 ; -2) et B(2 ; 2).

On considère le point P(0 ; 3).

On note H le projeté orthogonal de P sur d.

1. Donner une équation de la droite perpendiculaire a d passant par P.

2. Calculer les coordonnées de H.

3. Calculer l'aire du triangle PAB.

Corrigé détaillé

Question 1

Droite perpendiculaire

On calcule d'abord la pente de d.

Le coefficient directeur de d est (2 - (-2)) / (2 - 0) = 4/2 = 2 La perpendiculaire a pour coefficient directeur -1/2 On ecrit y - 3 = -1/2(x - 0), donc y = -1/2 x + 3

L'équation de la perpendiculaire issue de P est y = -1/2 x + 3.

Question 2

Pied de la hauteur

On resout le systeme avec d : y = 2x - 2.

2x - 2 = -1/2 x + 3 5/2 x = 5 x = 2 puis y = 2

Le projeté orthogonal est H(2 ; 2).

Question 3

Aire

On prend AB comme base et PH comme hauteur.

AB = sqrt((2 - 0)^2 + (2 - (-2))^2) = sqrt(20) = 2sqrt(5) PH = sqrt((2 - 0)^2 + (2 - 3)^2) = sqrt(5) Aire = AB x PH / 2 = 5

L'aire du triangle PAB vaut 5.

Exercice 12

Famille de droites et paramètre

Énoncé

On considère la famille de droites dm : y = (m - 1)x + 2.

On considère le point P(2 ; 4) et les droites Delta : y = 1/2 x - 3 et Gamma : y = -2x + 1.

1. Déterminer m pour que P appartienne a dm.

2. Déterminer m pour que dm soit parallele a Delta.

3. Déterminer m pour que dm soit perpendiculaire a Gamma.

Corrigé détaillé

Question 1

Passage par un point

On remplace les coordonnées de P.

4 = (m - 1) x 2 + 2

2 = 2m - 2

m = 2

Pour que P appartienne a dm, il faut m = 2.

Question 2

Parallellisme

Deux droites paralleles ont le même coefficient directeur.

Le coefficient directeur de Delta est 1/2 On impose m - 1 = 1/2 m = 3/2

Pour que dm soit parallele a Delta, il faut m = 3/2.

Question 3

Orthogonalite

Deux droites perpendiculaires ont des coefficients directeurs dont le produit vaut -1.

Le coefficient directeur de Gamma est -2

On impose (m - 1) x (-2) = -1

m - 1 = 1/2 m = 3/2

Pour que dm soit perpendiculaire a Gamma, il faut m = 3/2.

Exercice 13

Cercle de diametre donne et droite secante

Énoncé

On considère les points A(1 ; 2) et B(5 ; 4).

On note C le cercle de diametre [AB] et D la droite d'équation x - y + 1 = 0.

1. Déterminer le centre et le rayon du cercle C.

2. Donner une équation du cercle C.

3. Étudier l'intersection de C avec la droite D.

Corrigé détaillé

Question 1

Centre et rayon

Le centre d'un cercle de diametre [AB] est le milieu de [AB].

Le milieu I de [AB] a pour coordonnées ((1 + 5)/2 ; (2 + 4)/2) = (3 ; 3).

La longueur AB vaut sqrt((5 - 1)^2 + (4 - 2)^2) = sqrt(20).

Le rayon vaut donc AB / 2 = sqrt(20) / 2 = sqrt(5).

Le centre est I(3 ; 3) et le rayon vaut sqrt(5).

Question 2

Équation du cercle

On utilise la forme canonique d'un cercle.

Comme le centre est I(3 ; 3) et le rayon sqrt(5),

une équation de C est (x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 5.

Le cercle a pour équation (x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 5.

Question 3

Intersection avec D

On remplace y par l'expression donnee par la droite.

Sur D, on a y = x + 1.

En remplacant dans l'équation du cercle : (x - 3)^2 + (x - 2)^2 = 5.

On developpe : 2x^2 - 10x + 13 = 5, donc 2x^2 - 10x + 8 = 0. Cela donne x^2 - 5x + 4 = 0, soit (x - 1)(x - 4) = 0. Les solutions sont x = 1 et x = 4, donc les points d'intersection sont A(1 ; 2) et E(4 ; 5).

La droite D est secante au cercle C en A(1 ; 2) et E(4 ; 5).