MathSups - Première - Géométrie

Exercice 1

Triangle rectangle et produit scalaire nul

Énoncé

On considère A(0 ; 0), B(4 ; 0) et C(0 ; 3).

1. Calculer les vecteurs AB et AC.

2. Calculer le produit scalaire AB . AC.

3. En déduire la nature du triangle ABC.

Corrigé détaillé

Question 1

Vecteurs

On lit directement les coordonnées des deplacements.

AB = (4 ; 0)

AC = (0 ; 3)

Les deux vecteurs sont faciles a calculer.

On a bien AB = (4 ; 0) et AC = (0 ; 3).

Question 2

Produit scalaire

On multiplie les coordonnées correspondantes.

AB . AC = 4 x 0 + 0 x 3

AB . AC = 0

Le produit scalaire est nul.

Question 3

Conclusion

Deux vecteurs non nuls orthogonaux ont un produit scalaire nul.

Comme AB . AC = 0, les vecteurs AB et AC sont orthogonaux.

Le triangle ABC est donc rectangle en A.

Le triangle ABC est rectangle en A.

Exercice 2

Angle de 45 degres avec le produit scalaire

Énoncé

On considère A(0 ; 0), B(4 ; 0) et C(3 ; 3).

1. Calculer AB et AC puis leurs normes.

2. Calculer AB . AC.

3. Déterminer l'angle BAC.

Corrigé détaillé

Question 1

Normes

On calcule les longueurs des vecteurs.

AB = (4 ; 0), donc ||AB|| = 4 AC = (3 ; 3), donc ||AC|| = sqrt(3^2 + 3^2) = 3sqrt(2)

On a ||AB|| = 4 et ||AC|| = 3sqrt(2).

Question 2

Produit scalaire

On applique la formule coordonnee.

AB . AC = 4 x 3 + 0 x 3

AB . AC = 12

Le produit scalaire vaut 12.

Question 3

Angle

On utilise AB . AC = ||AB|| ||AC|| cos(BAC).

12 = 4 x 3sqrt(2) x cos(BAC) cos(BAC) = 1 / sqrt(2)

On reconnait cos(BAC) = cos(45 degres).

L'angle BAC mesure 45 degres.

Exercice 3

Point cherche sur une droite

Énoncé

On considère A(1 ; 1) et B(5 ; 3).

On cherche un point M(x ; 4).

1. Calculer AB.

2. Trouver x pour que AM soit orthogonal a AB.

3. Donner les coordonnées de M.

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Question 1

Vecteur directeur

On calcule AB.

AB = (5 - 1 ; 3 - 1)

AB = (4 ; 2)

Le vecteur AB est (4 ; 2).

Question 2

Condition d'orthogonalite

On calcule AM puis le produit scalaire.

AM = (x - 1 ; 4 - 1) = (x - 1 ; 3) AM . AB = 4(x - 1) + 2 x 3

AM . AB = 4x + 2

On impose 4x + 2 = 0, donc x = -1/2.

Question 3

Conclusion

On remplace la valeur trouvee.

Le point cherche est M(-1/2 ; 4).

On verifie bien que AM est orthogonal a AB.

Le point M est donc M(-1/2 ; 4).

Exercice 4

Hauteur d'un triangle par produit scalaire

Énoncé

On considère A(0 ; 0), B(6 ; 0) et C(2 ; 4).

On note H le pied de la hauteur issue de C sur la droite (AB).

1. Expliquer pourquoi H est de la forme H(x ; 0).

2. Trouver x en utilisant un produit scalaire.

3. Donner la distance CH.

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Question 1

Position de H

Le point H appartient a la droite (AB).

La droite (AB) est l'axe des abscisses.

Tout point de (AB) a une ordonnee nulle.

On ecrit donc H(x ; 0).

On pose bien H(x ; 0).

Question 2

Orthogonalite

On impose CH . AB = 0.

CH = (x - 2 ; -4)

AB = (6 ; 0)

CH . AB = 6(x - 2) + 0 x (-4)

CH . AB = 6x - 12

On obtient 6x - 12 = 0, donc x = 2.

Question 3

Distance

La hauteur est alors verticale.

H = (2 ; 0)

CH = (0 ; 4)

Donc CH = 4

La distance CH vaut 4.

Exercice 5

Parallelogramme et angle droit

Énoncé

On considère A(0 ; 0), B(4 ; 1) et D(-1 ; 4).

On place C pour que ABCD soit un parallelogramme.

1. Calculer AB . AD.

2. Déterminer les coordonnées de C.

3. Conclure sur la nature du parallelogramme.

Corrigé détaillé

Question 1

Angle en A

On calcule les deux vecteurs issus de A.

AB = (4 ; 1)

AD = (-1 ; 4)

AB . AD = 4 x (-1) + 1 x 4 = 0

Les vecteurs AB et AD sont orthogonaux.

Question 2

Quatrieme sommet

Dans un parallelogramme, C = B + D - A.

C = (4 + (-1) ; 1 + 4)

C = (3 ; 5)

On obtient C(3 ; 5).

Question 3

Conclusion

Un parallelogramme ayant un angle droit est un rectangle.

AB . AD = 0 donc l'angle A est droit.

ABCD est un parallelogramme.

ABCD est donc un rectangle.

Le quadrilatere ABCD est un rectangle.

Exercice 6

Distance et angle dans un triangle

Énoncé

On considère A(1 ; 2), B(5 ; 4) et C(2 ; 6).

1. Calculer AB, AC et BC.

2. Calculer AB . AC.

3. Dire si le triangle ABC est rectangle.

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Question 1

Longueurs

On calcule les vecteurs puis leurs normes.

AB = (4 ; 2), donc AB = sqrt(4^2 + 2^2) = sqrt(20) = 2sqrt(5) AC = (1 ; 4), donc AC = sqrt(1^2 + 4^2) = sqrt(17) BC = (-3 ; 2), donc BC = sqrt(13)

On a AB = 2sqrt(5), AC = sqrt(17) et BC = sqrt(13).

Question 2

Produit scalaire

On applique la formule coordonnee.

AB . AC = 4 x 1 + 2 x 4

AB . AC = 12

Le produit scalaire vaut 12.

Question 3

Conclusion

Un triangle rectangle a un produit scalaire nul sur deux cotes adjacents.

Le produit scalaire n'est pas nul.

Le triangle ABC n'est donc pas rectangle en A.

Le triangle ABC n'est pas rectangle en A.

Exercice 7

Point milieu et orthogonalite

Énoncé

On considère A(0 ; 1), B(6 ; 5) et M le milieu de [AB].

On note P(x ; 3).

1. Calculer les coordonnées de M.

2. Trouver x pour que PM soit orthogonal a AB.

3. Donner les coordonnées de P.

Corrigé détaillé

Question 1

Milieu

On fait la moyenne des coordonnées.

M((0 + 6)/2 ; (1 + 5)/2)

M(3 ; 3)

Le milieu M est M(3 ; 3).

Question 2

Orthogonalite

On calcule PM puis le produit scalaire avec AB.

PM = (x - 3 ; 0)

AB = (6 ; 4)

PM . AB = 6(x - 3)

On impose 6(x - 3) = 0, donc x = 3.

Question 3

Conclusion

On remplace la valeur trouvee.

P(3 ; 3) est le point cherche.

Dans ce cas, P et M sont confondus.

Le point P est donc P(3 ; 3).

Exercice 8

Hauteur et aire d'un triangle

Énoncé

On considère A(0 ; 0), B(4 ; 2) et C(1 ; 3).

On note H le pied de la hauteur issue de C sur la droite (AB).

1. Déterminer les coordonnées de H.

2. Calculer la longueur CH.

3. En déduire l'aire du triangle ABC.

Corrigé détaillé

Question 1

Recherche du pied de la hauteur

On parametre la droite (AB).

Le vecteur AB est (4 ; 2), donc tout point H de (AB) s'ecrit H(2t ; t).

On calcule CH = (2t - 1 ; t - 3).

Comme CH est orthogonal a AB, on a CH . AB = 0.

On trouve t = 1, donc H(2 ; 1).

Question 2

Longueur de la hauteur

On calcule la distance entre C et H.

CH = (2 - 1 ; 1 - 3) = (1 ; -2) CH = sqrt(1^2 + (-2)^2) = sqrt(5)

La hauteur CH mesure sqrt(5).

Question 3

Aire

On utilise base fois hauteur divise par deux.

AB = sqrt(4^2 + 2^2) = sqrt(20) = 2sqrt(5) Aire = AB x CH / 2 Aire = 2sqrt(5) x sqrt(5) / 2 = 5

L'aire du triangle ABC vaut 5.

Exercice 9

Lieu des points et cercle de diamètre

Énoncé

On considère A(-1 ; 1) et B(5 ; 3).

On cherche les points M(x ; y) tels que MA . MB = 0.

1. Ecrire cette condition sous forme d'équation.

2. Reconnaître la nature du lieu.

3. Verifier si P(5 ; 1) appartient a ce lieu.

Corrigé détaillé

Question 1

Mise en équation

On ecrit les vecteurs en fonction de x et y.

MA = (x + 1 ; y - 1)

MB = (x - 5 ; y - 3)

MA . MB = (x + 1)(x - 5) + (y - 1)(y - 3)

La condition MA . MB = 0 devient x^2 + y^2 - 4x - 4y - 2 = 0.

Question 2

Nature du lieu

On complete les carres.

x^2 - 4x + y^2 - 4y - 2 = 0 (x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 10

Le lieu est un cercle de centre (2 ; 2) et de rayon sqrt(10).

Question 3

Verification

On remplace les coordonnées de P.

Pour P(5 ; 1), on a (5 - 2)^2 + (1 - 2)^2 = 9 + 1 = 10

Le point P appartient donc au cercle.

Le point P(5 ; 1) appartient au lieu.

Exercice 10

Deux positions possibles pour un point

Énoncé

On considère A(1 ; 1), B(5 ; 3) et M(t ; 4).

On cherche les valeurs de t telles que AM soit orthogonal a BM.

1. Ecrire l'équation obtenue.

2. Resoudre cette équation.

3. Calculer le milieu des deux positions de M.

Corrigé détaillé

Question 1

Condition d'orthogonalite

On ecrit les deux vecteurs.

AM = (t - 1 ; 3)

BM = (t - 5 ; 1)

AM . BM = (t - 1)(t - 5) + 3

La condition AM . BM = 0 donne t^2 - 6t + 8 = 0.

Question 2

Resolution

On factorise le trinome.

t^2 - 6t + 8 = (t - 2)(t - 4)

Donc t = 2 ou t = 4

Les deux positions possibles sont M1(2 ; 4) et M2(4 ; 4).

Question 3

Milieu

On moyenne les deux abscisses.

Le milieu de [M1M2] est ((2 + 4)/2 ; (4 + 4)/2)

Il vaut (3 ; 4)

Le milieu des deux positions est (3 ; 4).

Exercice 11

Projection orthogonale sur une droite

Énoncé

On considère la droite (AB) avec A(0 ; 0) et B(3 ; 1).

On considère aussi le point P(2 ; 4).

On note H le projeté orthogonal de P sur (AB).

1. Déterminer les coordonnées de H.

2. Calculer la distance PH.

3. En déduire l'aire du triangle PAB.

Corrigé détaillé

Question 1

Coordonnees de H

On parametre la droite (AB).

Le vecteur AB est (3 ; 1), donc H(3t ; t).

On impose PH . AB = 0, soit (2 - 3t ; 4 - t) . (3 ; 1) = 0

6 - 9t + 4 - t = 0, donc 10 - 10t = 0

On obtient t = 1, donc H(3 ; 1).

Question 2

Distance PH

On calcule la longueur du vecteur PH.

PH = (3 - 2 ; 1 - 4) = (1 ; -3) PH = sqrt(1^2 + (-3)^2) = sqrt(10)

La distance PH vaut sqrt(10).

Question 3

Aire du triangle

On utilise la base AB et la hauteur PH.

AB = sqrt(3^2 + 1^2) = sqrt(10) Aire = AB x PH / 2 Aire = sqrt(10) x sqrt(10) / 2 = 5

L'aire du triangle PAB vaut 5.

Exercice 12

Parallélogramme, angle droit et carré

Énoncé

On considère A(0 ; 0), B(4 ; 1) et D(1 ; 4).

On note C le quatrieme sommet du parallelogramme ABCD.

1. Calculer AB . AD et les longueurs AB et AD.

2. Déterminer les coordonnées de C.

3. Conclure sur la nature du quadrilatere ABCD.

Corrigé détaillé

Question 1

Orthogonalite et longueurs

On calcule les vecteurs issus de A.

AB = (4 ; 1) et AD = (1 ; 4) AB . AD = 4 x 1 + 1 x 4 = 8 AB = sqrt(4^2 + 1^2) = sqrt(17) AD = sqrt(1^2 + 4^2) = sqrt(17)

Les deux cotes ont la même longueur, mais ils ne sont pas orthogonaux.

Question 2

Quatrieme sommet

Dans un parallelogramme, C = B + D - A.

C = (4 + 1 ; 1 + 4)

C = (5 ; 5)

On obtient C(5 ; 5).

Question 3

Conclusion

Deux cotes consecutives egales dans un parallelogramme donnent un losange.

AB = AD et ABCD est un parallelogramme

ABCD est donc un losange

Comme AB . AD n'est pas nul, ce n'est pas un carre

Le quadrilatere ABCD est un losange.

Exercice 13

Produit scalaire, projection et aire

Énoncé

On considère les points A(0 ; 0), B(6 ; 0) et C(2 ; 2sqrt(3)).

1. Calculer AB . AC et en déduire la mesure de l'angle BAC.

2. Déterminer les coordonnées du projete orthogonal H de C sur la droite (AB).

3. En déduire l'aire du triangle ABC.

Corrigé détaillé

Question 1

Calcul de l'angle

On calcule les vecteurs puis on utilise la formule du produit scalaire.

AB = (6 ; 0) et AC = (2 ; 2sqrt(3)). AB . AC = 6 x 2 + 0 x 2sqrt(3) = 12. ||AB|| = 6 et ||AC|| = sqrt(2^2 + (2sqrt(3))^2) = sqrt(16) = 4. Donc cos(BAC) = 12 / (6 x 4) = 1/2.

Comme cos(BAC) = 1/2, l'angle BAC mesure 60 degres.

Question 2

Projection orthogonale

Le point H appartient a (AB), donc H est de la forme (x ; 0).

CH = (x - 2 ; -2sqrt(3)) et AB = (6 ; 0).

Comme CH est orthogonal a AB, on impose CH . AB = 0.

Cela donne 6(x - 2) + 0 = 0, donc x = 2.

Le projete orthogonal est H(2 ; 0).

Question 3

Aire du triangle

On utilise la base AB et la hauteur CH.

La hauteur issue de C sur (AB) est CH.

Comme H(2 ; 0), on a CH = 2sqrt(3).

Aire(ABC) = AB x CH / 2 = 6 x 2sqrt(3) / 2.

L'aire du triangle ABC vaut 6sqrt(3).