MathSups - Première - Probabilités - Probabilité conditionnelle et indépendance

Exercice 1

Arbre simple et probabilité conditionnelle

Énoncé

Dans une classe, 40 % des eleves font de l'anglais en option et, parmi eux, 70 % choisissent l'atelier theatre.

On note A l'evenement 'faire anglais' et T l'evenement 'choisir theatre'.

1. Calculer P(A) et P(T | A).

2. Calculer P(A inter T).

3. Interpretrer le resultat.

Corrigé détaillé

Question 1

Donnees de l'enonce

On traduit les pourcentages en probabilités.

P(A) = 0.4 P(T | A) = 0.7

On lit directement P(A) = 0.4 et P(T | A) = 0.7.

Question 2

Intersection

On applique la formule P(A inter T) = P(A) x P(T | A).

P(A inter T) = 0.4 x 0.7 = 0.28

La probabilité cherchee vaut 0.28.

Question 3

Interprétation

On revient au contexte.

0.28 correspond a 28 % des eleves

Ils font anglais et choisissent theatre

28 % des eleves font anglais et prennent theatre.

Exercice 2

Independance ou non

Énoncé

On considère deux evenements A et B tels que P(A) = 0.5, P(B) = 0.4 et P(A inter B) = 0.2.

1. Calculer P(A) x P(B).

2. Dire si A et B sont independants.

3. Calculer P(B | A).

Corrigé détaillé

Question 1

Produit

On multiplie les probabilités.

P(A) x P(B) = 0.5 x 0.4 = 0.2

Le produit vaut 0.2.

Question 2

Test d'indépendance

Deux evenements sont independants si P(A inter B) = P(A)P(B).

P(A inter B) = 0.2 P(A)P(B) = 0.2

Les deux valeurs sont egales

A et B sont independants.

Question 3

Conditionnelle

On utilise la définition.

P(B | A) = P(A inter B) / P(A) P(B | A) = 0.2 / 0.5 = 0.4

On obtient P(B | A) = 0.4.

Exercice 3

Complémentaire et probabilité totale

Énoncé

Dans une entreprise, 60 % des dossiers sont traites par l'equipe 1 et 40 % par l'equipe 2.

La probabilité qu'un dossier soit valide est 0.9 s'il est traite par l'equipe 1 et 0.8 s'il est traite par l'equipe 2.

1. Calculer la probabilité qu'un dossier soit valide.

2. Calculer la probabilité qu'il ne soit pas valide.

3. Comparer les deux equipes.

Corrigé détaillé

Question 1

Probabilite totale

On additionne les deux cas possibles.

P(V) = 0.6 x 0.9 + 0.4 x 0.8 P(V) = 0.54 + 0.32 = 0.86

La probabilité qu'un dossier soit valide vaut 0.86.

Question 2

Complementaire

On utilise 1 - P(V).

P(non V) = 1 - 0.86 = 0.14

La probabilité qu'il ne soit pas valide vaut 0.14.

Question 3

Lecture

On compare les probabilités de validation.

0.9 est supérieur a 0.8

L'equipe 1 valide davantage de dossiers

L'equipe 1 est plus efficace sur cet indicateur.

Exercice 4

Test medical et probabilité conditionnelle

Énoncé

Dans une population, 3 % des personnes sont malades.

Un test est positif dans 98 % des cas quand la personne est malade, et dans 4 % des cas quand elle ne l'est pas.

1. Construire l'arbre de probabilités.

2. Calculer la probabilité qu'une personne soit malade et ait un test positif.

3. Calculer la probabilité qu'une personne soit malade sachant que le test est positif.

Corrigé détaillé

Question 1

Arbre

On place d'abord la maladie, puis le resultat du test.

P(M) = 0.03 et P(non M) = 0.97 P(T+ | M) = 0.98 et P(T- | M) = 0.02

P(T+ | non M) = 0.04 et P(T- | non M) = 0.96

L'arbre est complet.

Question 2

Intersection

On multiplie le long d'une branche.

P(M \cap T+) = 0.03 x 0.98 = 0.0294

La probabilité cherchée vaut 0.0294.

Question 3

Probabilite conditionnelle

On utilise la formule de Bayes.

P(T+) = 0.03 x 0.98 + 0.97 x 0.04 = 0.0682P(M | T+) = P(M \cap T+) / P(T+) = 0.0294 / 0.0682 \approx 0.431

La probabilité qu'une personne soit malade sachant que le test est positif vaut environ 43.1 %.

Exercice 5

Arbre a deux etages

Énoncé

Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules bleues.

On tire une boule. Si elle est rouge, on gagne avec une probabilité de 0.6. Si elle est bleue, on gagne avec une probabilité de 0.25.

1. Calculer la probabilité de tirer une boule rouge.

2. Calculer la probabilité de gagner.

3. Calculer la probabilité de gagner sachant que la boule est bleue.

Corrigé détaillé

Question 1

Premiere etape

On compte les boules.

P(R) = 5 / 8 P(B) = 3 / 8

La probabilité de tirer une rouge est 5/8.

Question 2

Gagner

On utilise la formule des probabilités totales.

P(G) = P(R) x P(G | R) + P(B) x P(G | B) P(G) = (5/8) x 0.6 + (3/8) x 0.25 P(G) = 0.375 + 0.09375 = 0.46875

La probabilité de gagner vaut 0.46875.

Question 3

Conditionnelle

On lit directement la donnee bleue.

P(G | B) = 0.25

Sachant que la boule est bleue, la probabilité de gagner vaut 0.25.

Exercice 6

Controle de production a deux machines

Énoncé

Une usine produit 60 % de ses pieces avec la machine A et 40 % avec la machine B.

La machine A produit 2 % de pieces defectueuses, et la machine B 5 %.

1. Calculer la probabilité qu'une piece soit defectueuse.

2. Calculer la probabilité qu'une piece defectueuse provienne de B.

3. Dire si les evenements 'piece defectueuse' et 'piece issue de A' sont independants.

Corrigé détaillé

Question 1

Probabilite totale

On additionne les branches qui mènent a une piece defectueuse.

P(D) = 0.6 x 0.02 + 0.4 x 0.05 P(D) = 0.012 + 0.02 = 0.032

La probabilité d'avoir une piece defectueuse vaut 0.032.

Question 2

Probabilite conditionnelle

On utilise P(B | D) = P(B \cap D) / P(D).

P(B \cap D) = 0.4 x 0.05 = 0.02P(B | D) = 0.02 / 0.032 = 0.625

Sachant que la piece est defectueuse, la probabilité qu'elle vienne de B vaut 62.5 %.

Question 3

Independance

On compare P(A \cap D) et P(A) x P(D).

P(A \cap D) = 0.6 x 0.02 = 0.012P(A) x P(D) = 0.6 x 0.032 = 0.0192

Les deux valeurs sont differentes, donc les evenements ne sont pas independants.

Exercice 7

Tableau croise et indépendance

Énoncé

Dans une classe de 120 eleves, 45 font du sport, 36 font de la musique, et 18 font les deux.

On note S l'evenement 'faire du sport' et M l'evenement 'faire de la musique'.

1. Calculer P(S \cup M).

2. Calculer P(S | M).

3. Verifier si S et M sont independants.

Corrigé détaillé

Question 1

Union

On utilise la formule P(S \cup M) = P(S) + P(M) - P(S \cap M).

P(S) = 45 / 120P(M) = 36 / 120P(S \cap M) = 18 / 120P(S \cup M) = (45 + 36 - 18) / 120 = 63 / 120

La probabilité de faire du sport ou de la musique vaut 63/120 = 0.525.

Question 2

Conditionnelle

On divise la probabilité de l'intersection par P(M).

P(S | M) = P(S \cap M) / P(M) = (18 / 120) / (36 / 120)P(S | M) = 18 / 36 = 1/2

Sachant qu'un eleve fait de la musique, la probabilité qu'il fasse du sport est 1/2.

Question 3

Independance

On compare P(S \cap M) et P(S)P(M).

P(S)P(M) = (45 / 120) x (36 / 120) = 0.1125P(S \cap M) = 18 / 120 = 0.15

Les deux valeurs sont differentes, donc S et M ne sont pas independants.

Exercice 8

Independance et formule inverse

Énoncé

On considère A et B avec P(A) = 0.3, P(B) = 0.5 et P(A inter B) = 0.15.

1. Montrer que A et B sont independants.

2. Calculer P(A | B).

3. Calculer P(A union B).

Corrigé détaillé

Question 1

Independance

On compare le produit et l'intersection.

P(A) x P(B) = 0.3 x 0.5 = 0.15 P(A inter B) = 0.15

Les evenements A et B sont independants.

Question 2

Probabilite conditionnelle

On applique la définition.

P(A | B) = P(A inter B) / P(B) P(A | B) = 0.15 / 0.5 = 0.3

On obtient P(A | B) = 0.3.

Question 3

Union

On utilise la formule P(A union B) = P(A) + P(B) - P(A inter B).

P(A union B) = 0.3 + 0.5 - 0.15 = 0.65

La probabilité de A union B vaut 0.65.

Exercice 9

Tirage sans remise et conditionnement

Énoncé

Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules bleues.

On effectue deux tirages successifs sans remise.

On note A l'evenement 'la premiere boule est rouge' et B l'evenement 'la deuxieme boule est rouge'.

1. Calculer P(A \cap B).

2. Calculer P(B | A).

3. Les evenements A et B sont-ils independants ?

Corrigé détaillé

Question 1

Intersection

On multiplie les probabilités successives.

P(A \cap B) = 5/8 x 4/7P(A \cap B) = 5/14

La probabilité de tirer deux boules rouges vaut 5/14.

Question 2

Conditionnelle

On conditionne par le fait que la premiere boule est rouge.

S'il reste une boule rouge parmi 7 boules, alors P(B | A) = 4/7

La probabilité de tirer une rouge au second tirage sachant que la premiere etait rouge vaut 4/7.

Question 3

Independance

On compare P(A \cap B) et P(A)P(B).

P(A) = 5/8 P(B) = 5/8 par symetrie P(A)P(B) = 25/64

Comme 25/64 n'est pas egal a 5/14, les evenements ne sont pas independants.

Exercice 10

Controle de qualite

Énoncé

Dans une production, 2 % des pieces sont defectueuses. Un controle detecte 95 % des pieces defectueuses et 3 % des pieces non defectueuses sont faussement declarees defectueuses.

1. Calculer la probabilité qu'une piece soit declaree defectueuse.

2. Calculer la probabilité qu'une piece soit defectueuse sachant qu'elle a ete declaree defectueuse.

3. Conclure sur la fiabilite du controle.

Corrigé détaillé

Question 1

Probabilite d'alerte

On applique la formule des probabilités totales.

P(D) = 0.02 x 0.95 + 0.98 x 0.03 P(D) = 0.019 + 0.0294 = 0.0484

La piece est declaree defectueuse avec une probabilité de 0.0484.

Question 2

Bayes

On cherche P(F | D).

P(F | D) = P(F inter D) / P(D) P(F | D) = 0.019 / 0.0484

P(F | D) \approx 0.393

La probabilité vaut environ 39.3 %.

Question 3

Lecture

On compare detection et faux positifs.

Le controle detecte bien les pieces defectueuses

Mais une piece declaree defectueuse n'est pas forcement defectueuse

Le controle est utile mais pas parfaitement fiable.

Exercice 11

Trois sources et probabilités totales

Énoncé

Une usine s'approvisionne aupres de trois fournisseurs A, B et C.

A fournit 50 % des pieces, B 30 % et C 20 %.

Les taux de pieces defectueuses sont respectivement 1 %, 3 % et 6 %.

1. Calculer la probabilité qu'une piece soit defectueuse.

2. Calculer la probabilité qu'une piece defectueuse provienne de C.

3. Calculer la probabilité qu'une piece non defectueuse provienne de A.

Corrigé détaillé

Question 1

Probabilite totale

On additionne les branches defectueuses.

P(D) = 0.5 x 0.01 + 0.3 x 0.03 + 0.2 x 0.06 P(D) = 0.005 + 0.009 + 0.012 = 0.026

La probabilité d'avoir une piece defectueuse vaut 0.026.

Question 2

Conditionnelle

On divise la branche C defectueuse par P(D).

P(C \cap D) = 0.2 x 0.06 = 0.012P(C | D) = 0.012 / 0.026 = 6 / 13

Sachant que la piece est defectueuse, elle vient de C avec la probabilité 6/13.

Question 3

Conditionnelle complementaire

On calcule P(A \cap non D) puis on divise par P(non D).

P(A \cap non D) = 0.5 x 0.99 = 0.495P(non D) = 1 - 0.026 = 0.974P(A | non D) = 0.495 / 0.974 \approx 0.508

La probabilité qu'une piece non defectueuse provienne de A vaut environ 50.8 %.

Exercice 12

Choix successifs et independence

Énoncé

On tire deux cartes sans remise dans un jeu de 10 cartes numerotees de 1 a 10.

On note P l'evenement 'tirer une carte paire' et S l'evenement 'tirer une carte superieure ou egale a 6'.

1. Calculer P(P) et P(S).

2. Calculer P(P inter S).

3. Dire si les evenements sont independants.

Corrigé détaillé

Question 1

Premier comptage

On compte les cas favorables.

Il y a 5 cartes paires sur 10

P(P) = 5 / 10 = 0.5

Il y a 5 cartes superieures ou egales a 6

P(S) = 5 / 10 = 0.5

On a P(P) = 0.5 et P(S) = 0.5.

Question 2

Intersection

On repère les cartes paires et superieures ou egales a 6.

Cartes concernes : 6, 8, 10

P(P inter S) = 3 / 10

La probabilité d'intersection vaut 3/10.

Question 3

Independance

On compare P(P)P(S) et P(P inter S).

P(P)P(S) = 0.5 x 0.5 = 0.25 P(P inter S) = 0.3

Les evenements ne sont pas independants.

Exercice 13

Test, probabilités totales et indépendance

Énoncé

Dans une population, 4 % des personnes sont atteintes d'une maladie M.

Un test T est positif dans 95 % des cas si la personne est malade, et dans 3 % des cas si la personne n'est pas malade.

1. Calculer P(T).

2. Calculer P(M sachant T).

3. Dire si les evenements M et T sont independants.

Corrigé détaillé

Question 1

Probabilite totale

On decompose selon que la personne est malade ou non.

P(T) = P(M) x P(T sachant M) + P(non M) x P(T sachant non M). P(T) = 0.04 x 0.95 + 0.96 x 0.03. P(T) = 0.038 + 0.0288 = 0.0668.

La probabilité d'obtenir un test positif est 0.0668.

Question 2

Probabilite conditionnelle inverse

On applique la formule de Bayes.

P(M sachant T) = P(M inter T) / P(T). Or P(M inter T) = P(M) x P(T sachant M) = 0.04 x 0.95 = 0.038. Donc P(M sachant T) = 0.038 / 0.0668, soit environ 0.569.

Sachant que le test est positif, la probabilité d'etre malade est d'environ 56.9 %.

Question 3

Etude de l'indépendance

Deux evenements sont independants si P(T sachant M) = P(T).

Ici, P(T sachant M) = 0.95.

Or P(T) = 0.0668.

Ces deux probabilités sont tres differentes.

Les evenements M et T ne sont pas independants.