MathSups - Première - Probabilités

Exercice 1

Lancer de de et distribution

Énoncé

On lance un de equilibré et on definit X comme le nombre obtenu.

1. Donner les valeurs possibles de X.

2. Donner la loi de X.

3. Calculer E(X).

Corrigé détaillé

Question 1

Valeurs possibles

Un de equilibré prend les entiers de 1 a 6.

X peut valoir 1, 2, 3, 4, 5 ou 6

Les valeurs possibles sont 1 a 6.

Question 2

Loi

Chaque issue a la même probabilité.

P(X = k) = 1 / 6 pour k = 1, ..., 6

La loi est uniforme.

Question 3

Espérance

On calcule la moyenne des valeurs.

E(X) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 E(X) = 21 / 6 = 3.5

L'espérance vaut 3.5.

Exercice 2

Gain ou perte

Énoncé

Un jeu coute 2 euros. On lance une piece. Si on obtient pile, on gagne 5 euros, sinon rien.

On note G le gain net du joueur.

1. Donner les valeurs possibles de G.

2. Donner la loi de G.

3. Calculer E(G).

Corrigé détaillé

Question 1

Gain net

On retire le prix du jeu au gain brut.

Si pile : G = 5 - 2 = 3 Si face : G = 0 - 2 = -2

Le gain net vaut 3 ou -2.

Question 2

Loi

La piece est supposee equilibree.

P(G = 3) = 1 / 2 P(G = -2) = 1 / 2

La loi de G est simple et symetrique.

Question 3

Espérance

On fait la moyenne pondérée.

E(G) = 3 x 1/2 + (-2) x 1/2 E(G) = 1/2

L'espérance du joueur vaut 0.5 euro.

Exercice 3

Variable aléatoire discrète

Énoncé

Une variable aléatoire X prend les valeurs 0, 2 et 5 avec les probabilités 0.2, 0.5 et 0.3.

1. Verifier que c'est une loi de probabilité.

2. Calculer E(X).

3. Calculer P(X >= 2).

Corrigé détaillé

Question 1

Verification

On additionne les probabilités.

0.2 + 0.5 + 0.3 = 1

C'est bien une loi de probabilité.

Question 2

Espérance

On calcule la moyenne pondérée.

E(X) = 0 x 0.2 + 2 x 0.5 + 5 x 0.3 E(X) = 0 + 1 + 1.5 = 2.5

L'espérance vaut 2.5.

Question 3

Evenement

On additionne les cas X = 2 et X = 5.

P(X >= 2) = 0.5 + 0.3 = 0.8

La probabilité vaut 0.8.

Exercice 4

Jeu de gains et espérance

Énoncé

Dans un jeu, la variable aléatoire X represente le gain en euros.

X prend les valeurs -3, 2 et 8 avec les probabilités 1/2, 1/3 et 1/6.

1. Donner la loi de X.

2. Calculer l'espérance E(X).

3. Le jeu est-il favorable au joueur ?

Corrigé détaillé

Question 1

Loi de probabilité

On associe chaque valeur a sa probabilité.

P(X = -3) = 1/2 P(X = 2) = 1/3 P(X = 8) = 1/6

La loi de X est completement définie.

Question 2

Espérance

On calcule la moyenne pondérée.

E(X) = (-3) x 1/2 + 2 x 1/3 + 8 x 1/6 E(X) = -3/2 + 2/3 + 4/3 = 1/2

L'espérance vaut 0.5 euro.

Question 3

Interprétation

Un jeu est favorable si l'espérance est positive.

E(X) = 0.5 > 0

Le jeu est favorable au joueur.

Exercice 5

Bernoulli et espérance

Énoncé

On considère une expérience de Bernoulli de succès de probabilité p = 0.35.

La variable X vaut 1 en cas de succès et 0 sinon.

1. Donner la loi de X.

2. Calculer E(X).

3. Calculer V(X).

Corrigé détaillé

Question 1

Loi

On traduit succès et echec.

P(X = 1) = 0.35 P(X = 0) = 0.65

X suit une loi de Bernoulli de parametre 0.35.

Question 2

Espérance

Pour une Bernoulli, E(X) = p.

E(X) = 0.35

L'espérance vaut 0.35.

Question 3

Variance

On applique V(X) = p(1-p).

V(X) = 0.35 x 0.65 = 0.2275

La variance vaut 0.2275.

Exercice 6

Variable transformee

Énoncé

La variable aléatoire X prend les valeurs 0, 1, 2 et 3 avec les probabilités 0.1, 0.2, 0.4 et 0.3.

On definit Y = 2X - 1.

1. Donner la loi de Y.

2. Calculer E(X).

3. En déduire E(Y).

Corrigé détaillé

Question 1

Loi de Y

On transforme chaque valeur de X.

Si X = 0 alors Y = -1 Si X = 1 alors Y = 1 Si X = 2 alors Y = 3 Si X = 3 alors Y = 5

Y prend les valeurs -1, 1, 3 et 5 avec les memes probabilités.

Question 2

Espérance de X

On fait la moyenne pondérée.

E(X) = 0 x 0.1 + 1 x 0.2 + 2 x 0.4 + 3 x 0.3 E(X) = 0 + 0.2 + 0.8 + 0.9 = 1.9

L'espérance de X vaut 1.9.

Question 3

Espérance de Y

On utilise la linéarité de l'espérance.

E(Y) = E(2X - 1)

E(Y) = 2E(X) - 1

E(Y) = 2 x 1.9 - 1 = 2.8

L'espérance de Y vaut 2.8.

Exercice 7

Loi binomiale simple

Énoncé

On répète 4 fois la même expérience de Bernoulli independante de succès 0.2.

On note X le nombre de succès.

1. Donner la loi de X.

2. Calculer P(X = 2).

3. Calculer E(X).

Corrigé détaillé

Question 1

Loi

Le nombre de succès suit une binomiale.

X ~ B(4, 0.2)

X suit la loi binomiale B(4, 0.2).

Question 2

Probabilite

On applique la formule binomiale.

P(X = 2) = C(4, 2) x 0.2^2 x 0.8^2 P(X = 2) = 6 x 0.04 x 0.64 = 0.1536

On obtient P(X = 2) = 0.1536.

Question 3

Espérance

Pour une binomiale, E(X) = np.

E(X) = 4 x 0.2 = 0.8

L'espérance vaut 0.8.

Exercice 8

Deux lancers et variable discrete

Énoncé

On lance un de deux fois. La variable aléatoire X designe le nombre de 6 obtenus.

1. Donner la loi de X.

2. Calculer E(X).

3. Calculer P(X >= 1).

Corrigé détaillé

Question 1

Loi de X

On compte les cas possibles.

P(X = 0) = (5/6)^2 = 25/36 P(X = 1) = 2 x (1/6) x (5/6) = 10/36 P(X = 2) = (1/6)^2 = 1/36

La loi de X est connue.

Question 2

Espérance

On calcule la moyenne pondérée.

E(X) = 0 x 25/36 + 1 x 10/36 + 2 x 1/36 E(X) = 12/36 = 1/3

L'espérance vaut 1/3.

Question 3

Probabilite d'au moins un 6

On peut utiliser le complementaire.

P(X >= 1) = 1 - P(X = 0) P(X >= 1) = 1 - 25/36 = 11/36

La probabilité d'obtenir au moins un 6 vaut 11/36.

Exercice 9

Choix avec gain variable

Énoncé

Un jeu propose 3 tirages. A chaque tirage, on gagne 2 points avec probabilité 0.4 et 0 point sinon. On note X le score total.

1. Donner la loi de X.

2. Calculer P(X >= 4).

3. Calculer E(X).

Corrigé détaillé

Question 1

Modele

Le score est le nombre de succès multiplie par 2.

Le nombre de succès suit B(3, 0.4)

X prend les valeurs 0, 2, 4, 6

On modele le score a partir d'une binomiale.

Question 2

Seuil

X >= 4 signifie au moins 2 succès.

P(X >= 4) = P(N = 2) + P(N = 3) P(N = 2) = C(3, 2) x 0.4^2 x 0.6 P(N = 3) = 0.4^3 P(X >= 4) = 0.288 + 0.064 = 0.352

La probabilité vaut 0.352.

Question 3

Espérance

On multiplie l'espérance du nombre de succès par 2.

E(N) = 3 x 0.4 = 1.2 E(X) = 2 x 1.2 = 2.4

L'espérance du score vaut 2.4.

Exercice 10

Ecart-type d'une distribution

Énoncé

La variable aléatoire X prend les valeurs 0, 1, 4 et 6 avec les probabilités 0.2, 0.3, 0.1 et 0.4.

1. Calculer E(X).

2. Calculer E(X^2) puis V(X).

3. En déduire l'ecart-type de X.

Corrigé détaillé

Question 1

Espérance

On effectue la moyenne pondérée.

E(X) = 0 x 0.2 + 1 x 0.3 + 4 x 0.1 + 6 x 0.4 E(X) = 0 + 0.3 + 0.4 + 2.4 = 3.1

L'espérance vaut 3.1.

Question 2

Variance

On calcule d'abord E(X^2).

E(X^2) = 0^2 x 0.2 + 1^2 x 0.3 + 4^2 x 0.1 + 6^2 x 0.4 E(X^2) = 0 + 0.3 + 1.6 + 14.4 = 16.3 V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 16.3 - 3.1^2

La variance vaut 16.3 - 9.61 = 6.69.

Question 3

Ecart-type

On prend la racine carre de la variance.

sigma(X) = sqrt(V(X)) = sqrt(6.69) \approx 2.59

L'ecart-type de X vaut environ 2.59.

Exercice 11

Variable aléatoire et décision

Énoncé

Une entreprise lance un test. La variable X represente le nombre de clients satisfaits sur 5. On suppose que X suit une loi binomiale B(5, 0.7).

1. Calculer P(X = 5).

2. Calculer P(X >= 4).

3. Interpretrer le resultat dans le contexte.

Corrigé détaillé

Question 1

Cinq satisfaits

On utilise la formule binomiale.

P(X = 5) = C(5, 5) x 0.7^5 x 0.3^0 P(X = 5) = 0.7^5 = 0.16807

La probabilité vaut 0.16807.

Question 2

Au moins quatre satisfaits

On additionne les cas 4 et 5.

P(X >= 4) = P(X = 4) + P(X = 5) P(X = 4) = C(5, 4) x 0.7^4 x 0.3 P(X >= 4) = 5 x 0.2401 x 0.3 + 0.16807 P(X >= 4) = 0.52822

La probabilité vaut environ 0.528.

Question 3

Interprétation

On relie au niveau de satisfaction.

Plus d'un client sur deux satisfait le test pour au moins 4 clients sur 5

Le test est plutot favorable

Le dispositif produit un resultat globalement satisfaisant.

Exercice 12

Prix d'entree d'un jeu

Énoncé

Dans un jeu, le gain brut X vaut 0 euro avec probabilité 0.7, 5 euros avec probabilité 0.2 et 20 euros avec probabilité 0.1.

Le joueur paie un prix d'entree c euros.

1. Calculer E(X).

2. Déterminer le prix d'entree pour que le jeu soit equitable.

3. Dire si le jeu est favorable pour c = 4.

Corrigé détaillé

Question 1

Espérance du gain brut

On calcule la moyenne ponderée.

E(X) = 0 x 0.7 + 5 x 0.2 + 20 x 0.1 E(X) = 0 + 1 + 2 = 3

Le gain brut moyen vaut 3 euros.

Question 2

Jeu equitable

On cherche c tel que E(X - c) = 0.

E(X - c) = E(X) - c

3 - c = 0

Donc c = 3

Le prix d'entree equitable est 3 euros.

Question 3

Jeu favorable

On compare le prix d'entree a l'espérance.

Si c = 4, alors E(X - 4) = 3 - 4 = -1

Pour c = 4, le jeu est defavorable au joueur.

Exercice 13

Jeu aléatoire avec mise variable

Énoncé

Une urne contient 3 boules vertes et 2 boules rouges.

On tire une boule au hasard. Si elle est verte, le joueur recoit 10 euros. Si elle est rouge, il perd 6 euros. Le joueur paie une mise de a euros pour participer.

On note X le gain algebrique du joueur.

1. Donner la loi de X.

2. Calculer E(X) en fonction de a.

3. Déterminer la valeur de a pour que le jeu soit equitable.

Corrigé détaillé

Question 1

Loi de la variable aléatoire

On distingue les deux issues possibles.

La probabilité de tirer une boule verte est 3/5, donc X = 10 - a avec la probabilité 3/5. La probabilité de tirer une boule rouge est 2/5, donc X = -6 - a avec la probabilité 2/5.

La loi de X est completement determinee par ces deux valeurs.

Question 2

Espérance

On calcule l'espérance comme une moyenne pondérée.

E(X) = (3/5)(10 - a) + (2/5)(-6 - a). E(X) = 30/5 - 3a/5 - 12/5 - 2a/5. E(X) = 18/5 - a.

L'espérance vaut E(X) = 18/5 - a.

Question 3

Jeu equitable

Un jeu est equitable lorsque l'espérance est nulle.

On impose 18/5 - a = 0. On obtient a = 18/5.

Cela donne a = 3.6 euros.

Le jeu est equitable pour une mise de 3.6 euros.