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Suites

Suites arithmétiques et suites géométriques

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Suites arithmétiques et suites géométriques

Exercices corrigés de suites arithmétiques et suites géométriques disponibles en HTML statique, avec le JavaScript conservé pour l'interactivité.

Exercice 1

Reconnaissance arithmétique et géométrique

Énoncé

On considère u_n = 4 + 3n et v_n = 5 x 2^n.

1. Dire laquelle est arithmétique et laquelle est géométrique.

2. Donner la raison ou le rapport.

3. Calculer u_8 et v_4.

Corrigé détaillé

Question 1
Nature

On lit les formes explicites.

u_n = u_0 + nr : arithmétique
v_n = v_0 q^n : géométrique

u_n est arithmétique et v_n est géométrique.

Question 2
Parametres

On lit directement les coefficients.

r = 3

q = 2

La raison vaut 3 et le rapport vaut 2.

Question 3
Calcul

On remplace n par 8 puis 4.

u_8 = 4 + 3 x 8 = 28
v_4 = 5 x 2^4 = 80

On obtient u_8 = 28 et v_4 = 80.

Exercice 2

Compte mensuel fixe

Énoncé

On depose 120 euros sur un compte et on ajoute 15 euros chaque mois.

On note u_n la somme apres n mois.

1. Donner u_0 et u_1.

2. Exprimer u_n en fonction de n.

3. Calculer u_10.

Corrigé détaillé

Question 1
Premiers termes

On traduit le contexte en suite.

u_0 = 120
u_1 = 135

On a u_0 = 120 et u_1 = 135.

Question 2
Formule

La suite est arithmétique de raison 15.

u_n = 120 + 15n

On a u_n = 120 + 15n.

Question 3
Application

On calcule le terme de rang 10.

u_10 = 120 + 15 x 10 = 270

Apres 10 mois, on a 270 euros.

Exercice 3

Versements reguliers sur un compte

Énoncé

On depose 200 euros sur un compte, puis on ajoute 35 euros chaque mois.

On note u_n la somme en euros au bout de n mois.

1. Identifier la nature de la suite (u_n).

2. Donner une expression de u_n.

3. Calculer u_12 et la somme u_0 + ... + u_12.

Corrigé détaillé

Question 1
Nature

Chaque mois, on ajoute toujours la même somme.

u_{n+1} = u_n + 35

La suite est arithmétique de raison 35

La suite est arithmétique.

Question 2
Expression explicite

On applique la formule d'une suite arithmétique.

u_n = 200 + 35n

On obtient u_n = 200 + 35n.

Question 3
Terme et somme

On calcule le terme de rang 12 puis la somme des 13 premiers termes.

u_12 = 200 + 35 x 12 = 620
S = u_0 + ... + u_12 = 13 x (200 + 620) / 2 = 5330

Au bout de 12 mois, on a 620 euros et la somme vaut 5330 euros.

Exercice 4

Population et pourcentage

Énoncé

La population d'une ville augmente de 4 % par an.

On note v_n la population en milliers au bout de n annees, avec v_0 = 50.

1. Justifier que (v_n) est géométrique.

2. Exprimer v_n en fonction de n.

3. Calculer v_5.

Corrigé détaillé

Question 1
Nature

Une hausse de 4 % revient a multiplier par 1.04.

v_{n+1} = 1.04 v_n

La suite est géométrique

La suite est géométrique de raison 1.04.

Question 2
Formule

On applique la formule d'une suite géométrique.

v_n = 50 x 1.04^n

On a v_n = 50 x 1.04^n.

Question 3
Calcul

On remplace n par 5.

v_5 = 50 x 1.04^5 \approx 60.83

Au bout de 5 ans, la population vaut environ 60.83 milliers.

Exercice 5

Evolution avec pourcentage

Énoncé

Une machine vaut 1500 euros au depart et perd 6 % de sa valeur chaque annee.

On note v_n sa valeur au bout de n annees.

1. Montrer que (v_n) est géométrique.

2. Donner l'expression de v_n.

3. Déterminer le plus petit n tel que v_n < 1000.

Corrigé détaillé

Question 1
Nature

Une baisse de 6 % revient a multiplier par 0.94.

v_{n+1} = 0.94 v_n

La suite est géométrique de raison 0.94

La suite est géométrique.

Question 2
Expression explicite

On utilise la formule d'une suite géométrique.

v_n = 1500 x 0.94^n

On obtient v_n = 1500 x 0.94^n.

Question 3
Seuil

On teste les premiers rangs autour du passage sous 1000.

v_6 = 1500 x 0.94^6 \approx 1030.6
v_7 = 1500 x 0.94^7 \approx 969.7

Le plus petit rang est n = 7.

Exercice 6

Somme d'une suite arithmétique

Énoncé

On considère la suite arithmétique de premier terme u_0 = 7 et de raison r = 4.

1. Calculer u_6.

2. Calculer S_6 = u_0 + u_1 + ... + u_6.

3. Expliquer pourquoi la somme est positive.

Corrigé détaillé

Question 1
Terme de rang 6

On applique la formule explicite.

u_6 = 7 + 6 x 4 = 31

On obtient u_6 = 31.

Question 2
Somme

On utilise la formule de somme arithmétique.

S_6 = 7 x (u_0 + u_6) / 2
S_6 = 7 x (7 + 31) / 2 = 133

On obtient S_6 = 133.

Question 3
Signe

Tous les termes sont positifs.

u_0 = 7 > 0

La raison est positive

Tous les termes restent positifs

La somme est donc positive.

Exercice 7

Somme d'une suite arithmétique avec rang decale

Énoncé

On considère la suite arithmétique de premier terme u_0 = 7 et de raison r = 4.

1. Calculer u_18.

2. Calculer la somme S = u_5 + u_6 + ... + u_18.

3. Déterminer le plus petit n tel que u_n > 60.

Corrigé détaillé

Question 1
Terme de rang 18

On applique la formule explicite.

u_18 = 7 + 18 x 4 = 79

On obtient u_18 = 79.

Question 2
Somme partielle

On utilise la formule de somme sur un intervalle.

u_5 = 7 + 5 x 4 = 27
Il y a 14 termes de u_5 a u_18
S = 14 x (27 + 79) / 2 = 742

La somme vaut 742.

Question 3
Seuil

On resout 7 + 4n > 60.

4n > 53

n > 13.25

Le plus petit entier convient est n = 14

Le plus petit rang est n = 14.

Exercice 8

Somme d'une suite géométrique

Énoncé

On considère la suite géométrique de premier terme w_0 = 3 et de raison q = 1/2.

1. Calculer w_4.

2. Calculer T_4 = w_0 + ... + w_4.

3. Calculer la limite de T_n quand n -> +∞.

Corrigé détaillé

Question 1
Terme de rang 4

On applique la formule explicite.

w_4 = 3 x (1/2)^4 = 3/16

On obtient w_4 = 3/16.

Question 2
Somme partielle

On utilise la formule géométrique.

T_4 = 3 x (1 - (1/2)^5) / (1 - 1/2)
T_4 = 93/16

On obtient T_4 = 93/16.

Question 3
Limite

Comme |q| < 1, la somme partielle converge.

T_n -> 3 / (1 - 1/2) = 6

La somme partielle tend vers 6.

Exercice 9

Somme d'une suite géométrique et capital initial

Énoncé

On considère la suite géométrique de premier terme v_0 = 5 et de raison q = 1.5.

1. Calculer v_6.

2. Calculer T = v_0 + v_1 + ... + v_6.

3. Trouver le plus petit n tel que v_n > 100.

Corrigé détaillé

Question 1
Terme de rang 6

On applique la formule d'une suite géométrique.

v_6 = 5 x 1.5^6
v_6 = 5 x 729/64 = 3645/64

On obtient v_6 = 3645/64 \approx 56.95.

Question 2
Somme

On utilise la formule de somme géométrique.

T = 5 x (1.5^7 - 1) / (1.5 - 1)
T = 10 x (1.5^7 - 1)

T \approx 160.86

La somme vaut environ 160.86.

Question 3
Seuil

On compare les puissances successives de 1.5.

v_7 = 5 x 1.5^7 \approx 85.4
v_8 = 5 x 1.5^8 \approx 128.1

Le plus petit rang est n = 8.

Exercice 10

Retrouver la raison ou le rapport

Énoncé

On donne u_0 = 2, u_1 = 5, u_2 = 8 et v_0 = 81, v_1 = 27, v_2 = 9.

1. Dire si (u_n) et (v_n) sont arithmétique ou géométrique.

2. Donner la raison ou le rapport.

3. Ecrire u_n et v_n en fonction de n.

Corrigé détaillé

Question 1
Nature

On compare ecarts et quotients.

u_1 - u_0 = 3 et u_2 - u_1 = 3
u_n est arithmétique
v_1 / v_0 = 1/3 et v_2 / v_1 = 1/3
v_n est géométrique

u_n est arithmétique et v_n est géométrique.

Question 2
Parametres

On lit les valeurs constantes.

r = 3

q = 1/3

On a r = 3 et q = 1/3.

Question 3
Formules

On applique les formules explicites.

u_n = 2 + 3n
v_n = 81 x (1/3)^n

On obtient u_n = 2 + 3n et v_n = 81 x (1/3)^n.

Exercice 11

Comparer deux evolutions

Énoncé

On considère u_n = 12 + 3n et v_n = 10 x 1.2^n.

1. Dire laquelle des deux suites est arithmétique et laquelle est géométrique.

2. Calculer u_10 et v_10.

3. Expliquer pourquoi la suite géométrique finit par depasser la suite arithmétique.

Corrigé détaillé

Question 1
Nature

On lit directement les formes des suites.

u_n = 12 + 3n est arithmétique de raison 3
v_n = 10 x 1.2^n est géométrique de raison 1.2

u_n est arithmétique et v_n est géométrique.

Question 2
Calculs

On remplace n par 10.

u_10 = 12 + 3 x 10 = 42
v_10 = 10 x 1.2^10 \approx 61.92

On obtient u_10 = 42 et v_10 \approx 61.92.

Question 3
Comparaison

Une suite géométrique de raison superieure a 1 croît plus vite qu'une suite arithmétique.

Les ecarts entre deux termes de u_n sont constants : 3
Dans v_n, les ecarts augmentent de plus en plus
Donc v_n finit par devenir superieure a u_n

La suite géométrique finit par depasser la suite arithmétique.

Exercice 12

Suite arithmetico-géométrique

Énoncé

On considère u_0 = 5 et u_{n+1} = 0.5u_n + 4.

1. Montrer que 8 est un point fixe.

2. Poser v_n = u_n - 8 et montrer que (v_n) est géométrique.

3. Exprimer u_n en fonction de n.

Corrigé détaillé

Question 1
Point fixe

On remplace u_n par la valeur cherchee.

Si u_n = 8 alors u_{n+1} = 0.5 x 8 + 4 = 8

Le point fixe vaut 8.

Question 2
Suite auxiliaire

On étudie v_{n+1} = u_{n+1} - 8.

v_{n+1} = 0.5u_n + 4 - 8
v_{n+1} = 0.5(u_n - 8) = 0.5v_n

La suite (v_n) est géométrique de raison 0.5.

Question 3
Expression explicite

On calcule v_0 puis u_n.

v_0 = 5 - 8 = -3
v_n = -3 x (0.5)^n
u_n = 8 - 3 x (0.5)^n

On obtient u_n = 8 - 3 x (0.5)^n.

Exercice 13

Suite affine ramenee a une suite géométrique

Énoncé

On considère la suite définie par u_0 = 50 et u_{n+1} = 0.8u_n + 12.

1. Poser v_n = u_n - 60 et montrer que (v_n) est géométrique.

2. Exprimer u_n en fonction de n.

3. Déterminer le plus petit entier n tel que u_n > 59.

Corrigé détaillé

Question 1
Suite auxiliaire

On reecrit la relation avec v_n = u_n - 60.

v_{n+1} = u_{n+1} - 60 = 0.8u_n + 12 - 60.
Comme u_n = v_n + 60, on obtient v_{n+1} = 0.8(v_n + 60) - 48.
Donc v_{n+1} = 0.8v_n.

La suite (v_n) est géométrique de raison 0.8.

Question 2
Expression explicite

On calcule le premier terme de la suite auxiliaire.

v_0 = u_0 - 60 = 50 - 60 = -10.
Donc v_n = -10 x 0.8^n.
En revenant a u_n, on trouve u_n = v_n + 60 = 60 - 10 x 0.8^n.

On obtient u_n = 60 - 10 x 0.8^n.

Question 3
Recherche d'un seuil

On resout l'inequation obtenue.

u_n > 59 equivalent a 60 - 10 x 0.8^n > 59.
Donc 10 x 0.8^n < 1, soit 0.8^n < 0.1.

On teste les puissances : 0.8^10 est environ 0.107, et 0.8^11 est environ 0.086.

Le premier rang qui convient est donc n = 11.

Le plus petit entier tel que u_n > 59 est 11.