← Retour aux sous-catégories Première Confidentialité
Suites

Généralités sur les suites

Suites

Généralités sur les suites

Exercices corrigés de généralités sur les suites disponibles en HTML statique, avec le JavaScript conservé pour l'interactivité.

Exercice 1

Suite explicite et variation

Énoncé

On considère u_n = 4n - 1.

1. Calculer u_0, u_3 et u_10.

2. Étudier le sens de variation.

3. Dire si la suite converge.

Corrigé détaillé

Question 1
Calcul de termes

On remplace n par la valeur demandee.

u_0 = 4 x 0 - 1 = -1
u_3 = 4 x 3 - 1 = 11
u_10 = 4 x 10 - 1 = 39

On a u_0 = -1, u_3 = 11 et u_10 = 39.

Question 2
Variation

On calcule u_{n+1} - u_n.

u_{n+1} = 4(n + 1) - 1 = 4n + 3
u_{n+1} - u_n = (4n + 3) - (4n - 1) = 4

Comme 4 > 0, la suite est croissante

La suite est croissante.

Question 3
Limite

Une suite affine de coefficient directeur positif diverge vers +∞.

Quand n -> +∞, 4n - 1 -> +∞

La suite diverge vers +∞.

Exercice 2

Suite recurrente affine

Énoncé

On considère u_0 = 2 et u_{n+1} = (u_n + 6) / 2.

1. Montrer que u_n <= 6 pour tout n.

2. Montrer que la suite est croissante.

3. Calculer sa limite.

Corrigé détaillé

Question 1
Majoration

On procede par recurrence.

u_0 = 2 <= 6
Si u_n <= 6, alors u_{n+1} = (u_n + 6) / 2 <= 6

Par recurrence, u_n <= 6 pour tout n.

Question 2
Monotonie

On étudie u_{n+1} - u_n.

u_{n+1} - u_n = (6 - u_n) / 2
Comme u_n <= 6, on a u_{n+1} - u_n >= 0

La suite est croissante.

Question 3
Limite

Une suite croissante et majoree converge.

Si la suite converge vers l, alors l = (l + 6) / 2

Donc l = 6

La suite converge vers 6.

Exercice 3

Suite affine vers un point fixe

Énoncé

On considère u_0 = 2 et u_{n+1} = (u_n + 8) / 2.

1. Montrer que u_n <= 8 pour tout entier n.

2. Montrer que la suite est croissante.

3. Calculer sa limite.

Corrigé détaillé

Question 1
Majoration

On procede par recurrence.

u_0 = 2 <= 8
Si u_n <= 8, alors u_{n+1} = (u_n + 8) / 2 <= (8 + 8) / 2 = 8

Par recurrence, u_n <= 8 pour tout n.

Question 2
Monotonie

On étudie la difference u_{n+1} - u_n.

u_{n+1} - u_n = (u_n + 8) / 2 - u_n
u_{n+1} - u_n = (8 - u_n) / 2
Comme u_n <= 8, on a u_{n+1} - u_n >= 0

La suite est croissante.

Question 3
Limite

Une suite croissante et majoree converge.

Si la suite converge vers l, alors l = (l + 8) / 2

Donc 2l = l + 8

Ainsi l = 8

La suite converge vers 8.

Exercice 4

Suite encadree

Énoncé

On considère u_n = (n + 1) / (n + 3).

1. Montrer que 0 < u_n < 1.

2. Ecrire u_n sous la forme 1 - ...

3. Déterminer la limite.

Corrigé détaillé

Question 1
Encadrement

On compare numerateur et denominateur.

n + 1 > 0

n + 3 > n + 1

Donc 0 < (n + 1) / (n + 3) < 1

On a 0 < u_n < 1.

Question 2
Reecriture

On isole un terme simple.

u_n = (n + 3 - 2) / (n + 3)
u_n = 1 - 2 / (n + 3)

On obtient u_n = 1 - 2 / (n + 3).

Question 3
Limite

Le terme 2 / (n + 3) tend vers 0.

Quand n -> +∞, 2 / (n + 3) -> 0
Donc u_n -> 1

La suite converge vers 1.

Exercice 5

Suite rationnelle et comparaison

Énoncé

On considère u_n = (3n + 2) / (n + 4).

1. Calculer u_0, u_1 et u_5.

2. Étudier le sens de variation.

3. Déterminer la limite de u_n.

Corrigé détaillé

Question 1
Premiers termes

On remplace n par les valeurs demandees.

u_0 = 2 / 4 = 1 / 2
u_1 = 5 / 5 = 1
u_5 = 17 / 9

On obtient u_0 = 1/2, u_1 = 1 et u_5 = 17/9.

Question 2
Variation

On compare u_{n+1} et u_n.

u_{n+1} = (3n + 5) / (n + 5)
u_{n+1} - u_n = [(3n + 5)(n + 4) - (3n + 2)(n + 5)] / [(n + 4)(n + 5)]
u_{n+1} - u_n = 10 / [(n + 4)(n + 5)]

Comme le numerateur et le denominateur sont positifs, la suite est croissante.

Question 3
Limite

On divise le numerateur et le denominateur par n.

u_n = (3 + 2/n) / (1 + 4/n)
Quand n -> +∞, 2/n -> 0 et 4/n -> 0
Donc u_n -> 3

La suite converge vers 3.

Exercice 6

Suite et seuil

Énoncé

On considère u_n = 1 + 0.8^n.

1. Calculer u_0, u_1 et u_5.

2. Montrer que la suite est décroissante.

3. Trouver le plus petit n tel que u_n < 1.2.

Corrigé détaillé

Question 1
Premiers termes

On remplace n par 0, 1 et 5.

u_0 = 2
u_1 = 1.8
u_5 = 1 + 0.8^5

Les termes se rapprochent de 1.

Question 2
Variation

Comme 0 < 0.8 < 1, les puissances diminuent.

0.8^(n+1) < 0.8^n
Donc u_{n+1} < u_n

La suite est décroissante.

Question 3
Seuil

On teste les puissances successives.

0.8^7 \approx 0.2097, donc u_7 \approx 1.2097
0.8^8 \approx 0.1678, donc u_8 \approx 1.1678

Le plus petit rang est n = 8.

Exercice 7

Difference de deux racines carrees

Énoncé

On considère u_n = sqrt(n + 1) - sqrt(n).

1. Calculer u_0, u_1 et u_4.

2. Ecrire u_n sous une forme simplifiee.

3. Étudier sa limite quand n -> +∞.

Corrigé détaillé

Question 1
Premiers termes

On remplace n par 0, 1 et 4.

u_0 = 1
u_1 = sqrt(2) - 1
u_4 = sqrt(5) - 2

Les termes sont positifs mais de plus en plus petits.

Question 2
Reecriture

On rationalise l'expression.

u_n = [sqrt(n + 1) - sqrt(n)] x [sqrt(n + 1) + sqrt(n)] / [sqrt(n + 1) + sqrt(n)]
u_n = 1 / [sqrt(n + 1) + sqrt(n)]

On obtient u_n = 1 / (sqrt(n + 1) + sqrt(n)).

Question 3
Limite

Le denominateur grandit sans borne.

sqrt(n + 1) + sqrt(n) -> +∞

Donc 1 / [sqrt(n + 1) + sqrt(n)] -> 0

La suite converge vers 0.

Exercice 8

Conjecture puis preuve

Énoncé

On considère u_0 = 0 et u_{n+1} = (2u_n + 3) / 3.

1. Calculer u_1, u_2 et u_3.

2. Conjecturer le sens de variation.

3. Prouver que la suite converge.

Corrigé détaillé

Question 1
Premiers termes

On applique la relation de recurrence.

u_1 = 1
u_2 = 5 / 3
u_3 = 19 / 9

Les termes augmentent.

Question 2
Conjecture

On compare les premiers termes.

u_0 < u_1 < u_2 < u_3

La suite semble croissante.

Question 3
Preuve

On montre qu'elle est croissante et majoree.

u_{n+1} - u_n = (3 - u_n) / 3
Si u_n <= 3, alors u_{n+1} >= u_n

La limite l verifie l = (2l + 3) / 3, donc l = 3

La suite converge vers 3.

Exercice 9

Recurrence affine et suite auxiliaire

Énoncé

On considère u_0 = 4 et u_{n+1} = 0.5 u_n + 3.

1. Calculer u_1 et u_2.

2. Poser v_n = u_n - 6 et montrer que (v_n) est géométrique.

3. Exprimer u_n puis calculer sa limite.

Corrigé détaillé

Question 1
Premiers termes

On applique la recurrence.

u_1 = 0.5 x 4 + 3 = 5
u_2 = 0.5 x 5 + 3 = 5.5

Les premiers termes se rapprochent de 6.

Question 2
Suite auxiliaire

On transforme la relation de recurrence.

v_{n+1} = u_{n+1} - 6
v_{n+1} = 0.5u_n + 3 - 6
v_{n+1} = 0.5(u_n - 6) = 0.5v_n

La suite (v_n) est géométrique de raison 1/2.

Question 3
Expression explicite et limite

On calcule v_0 puis on revient a u_n.

v_0 = 4 - 6 = -2
v_n = -2 x (0.5)^n
u_n = 6 - 2 x (0.5)^n

Comme (0.5)^n -> 0, la suite (u_n) converge vers 6.

Exercice 10

Suite définie par une fonction

Énoncé

On considère u_0 = 1 et u_{n+1} = u_n / (u_n + 2).

1. Calculer u_1 et u_2.

2. Montrer que 0 <= u_n < 1.

3. Trouver la limite possible.

Corrigé détaillé

Question 1
Calcul

On remplace u_n par les valeurs obtenues.

u_1 = 1 / 3
u_2 = (1/3) / (7/3) = 1/7

On obtient u_1 = 1/3 et u_2 = 1/7.

Question 2
Encadrement

Si x >= 0 alors x / (x + 2) est entre 0 et 1.

0 <= u_n < 1

Par recurrence, l'encadrement reste vrai

On a 0 <= u_n < 1.

Question 3
Limite

On cherche un point fixe.

Si u_n -> l, alors l = l / (l + 2)

Donc l(l + 2) = l

l(l + 1) = 0

Comme l >= 0, on retient l = 0

La limite possible est 0.

Exercice 11

Suite tendant vers une borne

Énoncé

On considère u_n = 4 - 3 x (2/3)^n.

1. Calculer u_0, u_1 et u_2.

2. Montrer que la suite est croissante et majoree.

3. Déterminer le plus petit rang n tel que u_n > 3.8.

Corrigé détaillé

Question 1
Premiers termes

On remplace n par 0, 1 et 2.

u_0 = 4 - 3 = 1
u_1 = 4 - 2 = 2
u_2 = 4 - 3 x 4/9 = 4 - 4/3 = 8/3

Les termes augmentent vers 4.

Question 2
Variation et borne

Comme 0 < 2/3 < 1, la puissance decroit.

0 < (2/3)^{n+1} < (2/3)^n
Donc -3 x (2/3)^{n+1} > -3 x (2/3)^n
Ainsi u_{n+1} > u_n
De plus, u_n < 4

La suite est croissante et majoree par 4.

Question 3
Seuil

On resout 4 - 3 x (2/3)^n > 3.8.

3 x (2/3)^n < 0.2
(2/3)^n < 1/15
(2/3)^6 = 64/729 > 1/15
(2/3)^7 = 128/2187 < 1/15

Le plus petit rang est n = 7.

Exercice 12

Suite et graphique de termes

Énoncé

On considère la suite définie par u_n = 2^n / 5.

1. Calculer u_0, u_1, u_2 et u_3.

2. Dire si la suite est géométrique.

3. Étudier son sens de variation et sa limite.

Corrigé détaillé

Question 1
Premiers termes

On remplace n par 0, 1, 2 et 3.

u_0 = 1 / 5
u_1 = 2 / 5
u_2 = 4 / 5
u_3 = 8 / 5

Les termes doublent a chaque rang.

Question 2
Nature

Le rapport entre deux termes successifs est constant.

u_{n+1} / u_n = 2

La suite est géométrique de raison 2

La suite est géométrique de raison 2.

Question 3
Variation et limite

Comme la raison est superieure a 1, la suite croît.

u_n > 0 pour tout n

La raison vaut 2 > 1

Quand n -> +∞, 2^n -> +∞

La suite est croissante et diverge vers +∞.

Exercice 13

Suite recurrente et fonction associee

Énoncé

On considère la suite définie par u_0 = 0 et u_{n+1} = sqrt(u_n + 6).

1. Montrer que 0 <= u_n <= 3 pour tout entier n.

2. Montrer que la suite est croissante.

3. Déterminer sa limite.

Corrigé détaillé

Question 1
Encadrement par recurrence

On raisonne par recurrence sur l'intervalle [0 ; 3].

Au rang 0, u_0 = 0 appartient bien a [0 ; 3].
Supposons 0 <= u_n <= 3.
Alors 6 <= u_n + 6 <= 9, donc sqrt(6) <= u_{n+1} <= 3.
En particulier, 0 <= u_{n+1} <= 3.

Par recurrence, on a 0 <= u_n <= 3 pour tout n.

Question 2
Monotonie

On compare u_{n+1} et u_n sur l'intervalle deja obtenu.

Pour 0 <= u_n <= 3, on veut montrer que sqrt(u_n + 6) >= u_n.

Comme les deux membres sont positifs, on peut elever au carre.

Cela revient a u_n + 6 >= u_n^2, soit u_n^2 - u_n - 6 <= 0.
Or u_n^2 - u_n - 6 = (u_n - 3)(u_n + 2), qui est bien <= 0 sur [0 ; 3].

Donc u_{n+1} >= u_n : la suite est croissante.

Question 3
Calcul de la limite

Une suite croissante et majoree converge.

La suite est croissante et majoree par 3, donc elle converge vers un réel l.

En passant a la limite dans u_{n+1} = sqrt(u_n + 6), on obtient l = sqrt(l + 6).
On eleve au carre : l^2 = l + 6, donc l^2 - l - 6 = 0.

Les solutions sont l = 3 ou l = -2.

Comme u_n >= 0 pour tout n, on retient l = 3.

La suite converge vers 3.