Première générale
Exponentielle, trigonométrie et fonctions trigonométriques
Les dossiers sur l'exponentielle rappellent qu'il s'agit d'une fonction de référence pour modéliser une évolution continue. En Première, on retient surtout ses propriétés algébriques, sa dérivée et sa croissance stricte.
Version HTML statique du cours. Si JavaScript est actif, MathSups affiche l’expérience interactive avec QCM, exercices guidés et assistant IA.
Fonction exponentielle
Les dossiers sur l'exponentielle rappellent qu'il s'agit d'une fonction de référence pour modéliser une évolution continue. En Première, on retient surtout ses propriétés algébriques, sa dérivée et sa croissance stricte.
Caractérisation
La fonction exponentielle est l'unique fonction dérivable sur $$\mathbb{R}$$ qui vérifie $$f'=f$$ et $$f(0)=1.$$ On la note $$x\mapsto e^x.$$
Le nombre $$e$$
Le nombre $$e$$ est la valeur de l'exponentielle en $$1$$ : $$e=\exp(1)=e^1.$$ C'est un nombre irrationnel dont une valeur approchée est $$e\approx2{,}718.$$ On le rencontre dans toutes les écritures du type $$e^x.$$
Propriétés fondamentales
Pour tous réels $$x$$ et $$y,$$ on a $$e^{x+y}=e^xe^y,$$ $$e^{-x}=\frac1{e^x}$$ et $$e^x>0.$$ Comme sa dérivée vaut elle-même, la fonction exponentielle est strictement croissante sur $$\mathbb{R}.$$
Limites de l'exponentielle
Quand $$x\to+\infty,$$ on a $$e^x\to+\infty.$$ Quand $$x\to-\infty,$$ on a $$e^x\to0.$$ La fonction exponentielle tend donc vers $$0$$ à gauche tout en restant toujours strictement positive.
Équations et inéquations
Pour résoudre $$e^x=k,$$ on remarque d'abord que $$e^x$$ est toujours strictement positif. Si $$k\le0,$$ il n'y a pas de solution. Si $$k>0,$$ il existe une unique solution. Pour une inéquation, on garde le sens de l'ordre car l'exponentielle est croissante.
Coefficient multiplicateur continu
L'écriture $$e^{0{,}03t}$$ traduit une croissance continue de 3 % par unité de temps. L'exponentielle apparaît donc naturellement dans les modèles de croissance ou de décroissance continue.
Cercle trigonométrique et radians
Les PDF de trigonométrie insistent sur le cercle trigonométrique, l'enroulement d'une droite sur le cercle et la mesure des angles en radians. C'est la base indispensable pour comprendre les fonctions sinus et cosinus.
Cercle trigonométrique
Dans un repère orthonormé, le cercle trigonométrique est le cercle de centre $$O$$ et de rayon $$1,$$ orienté dans le sens direct. Un tour complet correspond à $$2\pi$$ radians.
Correspondances degrés - radians
Il faut connaître : $$30^\circ=\frac\pi6,$$ $$45^\circ=\frac\pi4,$$ $$60^\circ=\frac\pi3,$$ $$90^\circ=\frac\pi2,$$ $$180^\circ=\pi.$$ Ces repères sont utilisés dans presque tous les calculs.
Valeurs remarquables
| Angle | $$\cos x$$ | $$\sin x$$ |
|---|---|---|
| $$0$$ | $$1$$ | $$0$$ |
| $$\frac\pi6$$ | $$\frac{\sqrt3}{2}$$ | $$\frac12$$ |
| $$\frac\pi4$$ | $$\frac{\sqrt2}{2}$$ | $$\frac{\sqrt2}{2}$$ |
| $$\frac\pi3$$ | $$\frac12$$ | $$\frac{\sqrt3}{2}$$ |
| $$\frac\pi2$$ | $$0$$ | $$1$$ |
Périodicité et parité
On a $$\cos(-x)=\cos x,$$ $$\sin(-x)=-\sin x,$$ $$\cos(x+2\pi)=\cos x$$ et $$\sin(x+2\pi)=\sin x.$$ Le cosinus est pair, le sinus est impair, et les deux fonctions sont $$2\pi$$-périodiques.
Relation fondamentale
Pour tout réel $$x,$$ on a $$\cos^2x+\sin^2x=1.$$ Cette identité provient du théorème de Pythagore appliqué au cercle trigonométrique : le point $$M(\cos x;\sin x)$$ appartient au cercle de rayon $$1,$$ donc $$\cos^2x+\sin^2x=1^2.$$ C'est l'une des formules les plus importantes du chapitre.
Fonctions sinus et cosinus
Une fois le cercle trigonométrique maîtrisé, on l'utilise pour lire des valeurs, étudier des variations et résoudre des équations simples. Les angles remarquables et la périodicité restent les deux outils fondamentaux.
Coordonnées sur le cercle
Si $$M$$ est le point du cercle trigonométrique associé à $$x,$$ alors $$M(\cos x;\sin x).$$ Le cosinus correspond à l'abscisse, le sinus à l'ordonnée.
Variations usuelles
Sur $$[0;\pi],$$ le cosinus décroît de $$1$$ à $$-1.$$ Sur $$\left[-\frac\pi2;\frac\pi2\right],$$ le sinus croît de $$-1$$ à $$1.$$ Ces variations sont utiles pour résoudre des équations et des inéquations sur un intervalle donné.
Résoudre une équation trigonométrique
Pour résoudre $$\cos x=a$$ ou $$\sin x=a,$$ on commence par lire les angles sur le cercle trigonométrique, puis on adapte les solutions à l'intervalle demandé. Sur $$\mathbb{R},$$ on ajoute la période $$2\pi.$$
Exemple type
$$\sin x=\frac12$$ admet sur $$[0;2\pi]$$ les solutions $$x=\frac\pi6$$ et $$x=\frac{5\pi}6.$$ Pour $$\cos x=-1,$$ on obtient $$x=\pi$$ modulo $$2\pi.$$
QCM du chapitre
-
Question 1. Parmi ces égalités, laquelle est correcte ?
- A. $$e^{x+y}=e^x+e^y$$
- B. $$e^{x+y}=e^xe^y$$
- C. $$e^{-x}=-e^x$$
- D. $$e^x=0$$
Réponse. B. $$e^{x+y}=e^xe^y$$
Explication. La bonne propriété est $$e^{x+y}=e^xe^y.$$
-
Question 2. Le cosinus est une fonction :
- A. impaire
- B. paire
- C. toujours positive
- D. non périodique
Réponse. B. paire
Explication. On a $$\cos(-x)=\cos x,$$ donc le cosinus est pair.
-
Question 3. Une solution de $$\sin x=1$$ est :
- A. $$0$$
- B. $$\frac\pi2$$
- C. $$\pi$$
- D. $$\frac{3\pi}2$$
Réponse. B. $$\frac\pi2$$
Explication. Sur le cercle trigonométrique, le sinus vaut 1 au sommet du cercle, donc pour $$x=\frac\pi2$$ modulo $$2\pi.$$
Exercices guidés
Exercice 1. Résoudre une équation exponentielle
Résoudre $$e^x=7.$$
-
Étape 1. Identifier la forme.
On cherche le réel dont l'exponentielle vaut $$7.$$
-
Étape 2. Utiliser le logarithme.
On obtient $$x=\ln 7.$$
-
Étape 3. Conclure.
L'unique solution est $$x=\ln 7.$$
Exercice 2. Résoudre une inéquation exponentielle
Résoudre $$e^x<3.$$
-
Étape 1. Utiliser la croissance de l'exponentielle.
La fonction exponentielle est strictement croissante sur $$\mathbb{R}.$$
-
Étape 2. Passer au logarithme.
On obtient $$x<\ln 3.$$
-
Étape 3. Conclure.
L'ensemble solution est $$]-\infty;\ln 3[.$$
Exercice 3. Lire des coordonnées sur le cercle trigonométrique
Donner les coordonnées du point associé à $$\frac\pi3.$$
-
Étape 1. Lire le cosinus.
On a $$\cos\left(\frac\pi3\right)=\frac12.$$
-
Étape 2. Lire le sinus.
On a $$\sin\left(\frac\pi3\right)=\frac{\sqrt3}{2}.$$
-
Étape 3. Conclure.
Le point associé est $$\left(\frac12;\frac{\sqrt3}{2}\right).$$
Exercice 4. Résoudre une équation trigonométrique
Résoudre $$\sin x=0$$ sur $$[0;2\pi].$$
-
Étape 1. Chercher les points où le sinus vaut $$0$$.
Sur le cercle trigonométrique, le sinus est l'ordonnée.
-
Étape 2. Lire les angles.
L'ordonnée vaut $$0$$ pour $$x=0,$$ $$x=\pi$$ et $$x=2\pi.$$
-
Étape 3. Conclure.
L'ensemble solution sur $$[0;2\pi]$$ est $$\{0;\pi;2\pi\}. $$
Exercice 5. Utiliser la périodicité
Simplifier $$\cos\left(x+2\pi\right)$$ et $$\sin\left(x+2\pi\right).$$
-
Étape 1. Rappeler la propriété.
Sinus et cosinus sont $$2\pi$$-périodiques.
-
Étape 2. Appliquer au cosinus.
$$\cos(x+2\pi)=\cos x.$$
-
Étape 3. Appliquer au sinus.
$$\sin(x+2\pi)=\sin x.$$
À retenir
- Exponentielle : $$\big(e^x\big)'=e^x$$ et $$e^x>0$$.
- Le nombre $$e$$ vérifie $$e=e^1=\exp(1)$$ et $$e\approx2{,}718$$.
- $$e^{x+y}=e^xe^y$$.
- $$e^{-x}=\frac1{e^x}$$.
- L'exponentielle est strictement croissante sur $$\mathbb{R}$$.
- $$\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$$ et $$\lim_{x\to-\infty}e^x=0$$.
- Un tour complet sur le cercle trigonométrique vaut $$2\pi$$ radians.
- Le point associé à $$x$$ a pour coordonnées $$\big(\cos x;\sin x\big)$$.
- Il faut connaître $$0,\frac\pi6,\frac\pi4,\frac\pi3,\frac\pi2$$.
- $$\cos^2x+\sin^2x=1$$.
- $$\cos(-x)=\cos x$$ et $$\sin(-x)=-\sin x$$.
- $$\cos(x+2\pi)=\cos x$$ et $$\sin(x+2\pi)=\sin x$$.
- Le cosinus est pair et le sinus est impair.
- Sur $$[0;\pi],$$ le cosinus décroît.
- Sur $$\left[-\frac\pi2;\frac\pi2\right],$$ le sinus croît.
- Les équations trigonométriques se lisent d'abord sur le cercle.
- Sur $$\mathbb{R},$$ on ajoute la période $$2\pi$$.