Première générale
Fonctions, nombre dérivé et dérivation
Les chapitres de dérivation rappellent d'abord le taux de variation, puis le passage à la limite qui définit le nombre dérivé. L'idée à retenir est simple : le nombre dérivé donne la pente de la tangente, donc une information locale très fine sur la courbe. Le nombre dérivé $$f'(a)$$ est le...
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Nombre dérivé et tangente
Les chapitres de dérivation rappellent d'abord le taux de variation, puis le passage à la limite qui définit le nombre dérivé. L'idée à retenir est simple : le nombre dérivé donne la pente de la tangente, donc une information locale très fine sur la courbe.
Taux de variation
Entre deux réels $$a$$ et $$b,$$ le taux de variation de $$f$$ est $$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$ Il mesure la pente de la droite sécante reliant les deux points de la courbe.
Nombre dérivé
Le nombre dérivé de $$f$$ en $$a,$$ noté $$f'(a),$$ est la limite du taux de variation quand $$b$$ se rapproche de $$a.$$ Si cette limite existe, la fonction est dérivable en $$a.$$
Interprétation géométrique
Le nombre dérivé $$f'(a)$$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $$a.$$ Un nombre dérivé positif correspond à une tangente montante, un nombre dérivé négatif à une tangente descendante.
Équation de la tangente
Si $$f$$ est dérivable en $$a,$$ alors l'équation de la tangente en $$a$$ est $$y=f'(a)(x-a)+f(a).$$ Il faut donc connaître à la fois $$f(a)$$ et $$f'(a).$$
Exemple de non-dérivabilité
La fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0 : la courbe présente un point anguleux et il n'y a pas de tangente unique en ce point.
Dérivées usuelles et règles de calcul
Une partie importante du chapitre consiste à automatiser les calculs de dérivées. Les PDF de dérivation insistent sur le tableau des dérivées usuelles, puis sur les règles de somme, produit et quotient, qui suffisent à traiter l'essentiel des fonctions de Première.
Dérivées usuelles
Il faut connaître : $$\big(k\big)'=0,$$ $$\big(ax+b\big)'=a,$$ $$\big(x^n\big)'=nx^{n-1}$$ pour $$n\ge1,$$ $$\left(\frac1x\right)'=-\frac1{x^2},$$ et $$\big(e^x\big)'=e^x.$$ En particulier, $$\big(x^2\big)'=2x$$ et $$\big(x^3\big)'=3x^2.$$
Tableau à connaître
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| $$k$$ | $$0$$ |
| $$ax+b$$ | $$a$$ |
| $$x^2$$ | $$2x$$ |
| $$x^3$$ | $$3x^2$$ |
| $$x^n$$ | $$nx^{n-1}$$ |
| $$\frac1x$$ | $$-\frac1{x^2}$$ |
| $$e^x$$ | $$e^x$$ |
Règles de dérivation
Si $$u$$ et $$v$$ sont dérivables, alors $$\big(u+v\big)'=u'+v',$$ $$\big(u-v\big)'=u'-v',$$ $$\big(ku\big)'=ku',$$ $$\big(uv\big)'=u'v+uv'.$$ Si $$v$$ ne s'annule pas, $$\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}.$$
Dérivée d'une composée affine
Si $$f$$ est dérivable et si $$u(x)=ax+b,$$ alors $$\big(f(ax+b)\big)'=a\,f'(ax+b).$$ C'est la règle à utiliser dès qu'une fonction connue est composée avec une expression affine.
Exemples : $$\big(e^{2x}\big)'=2e^{2x}$$ et $$\big((3x+1)^2\big)'=2\times3\times(3x+1)=6(3x+1).$$
Exemples rapides
$$\big(x^4\big)'=4x^3$$
$$\big((x^2+1)(3x-2)\big)'=2x(3x-2)+3(x^2+1)$$
$$\left(\frac{x+1}{x}\right)'=\frac{x-(x+1)}{x^2}=-\frac1{x^2}$$
Signe de la dérivée, tableaux de signe et variations
Une fois la dérivée calculée, on transforme un problème de variations en un problème de signe. C'est l'idée-clé du chapitre : le signe de $$f'$$ commande directement la montée ou la descente de la fonction.
Lien entre $$f'$$ et les variations
Si $$f'(x)>0$$ sur un intervalle, alors $$f$$ y est croissante. Si $$f'(x)<0$$ sur un intervalle, alors $$f$$ y est décroissante. Si $$f'(x)=0$$ en changeant de signe, on repère un extremum.
Méthode complète
1. On calcule $$f'(x).$$
2. On résout $$f'(x)=0$$ ou on repère les points où $$f'$$ n'existe pas.
3. On dresse le tableau de signe de $$f'.$$
4. On en déduit le tableau de variation de $$f.$$
Maximum et minimum
Si le signe de $$f'$$ passe de $$+$$ à $$-,$$ la fonction admet un maximum. Si le signe de $$f'$$ passe de $$-$$ à $$+,$$ elle admet un minimum.
Lecture type bac
Si $$f'(x)=3x(x-2),$$ alors les zéros de la dérivée sont $$0$$ et $$2.$$ Le signe de $$f'$$ est positif sur $$]-\infty;0[\cup]2;+\infty[$$ et négatif sur $$]0;2[.$$ La fonction croît, puis décroît, puis croît à nouveau.
QCM du chapitre
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Question 1. La dérivée de $$x^3$$ est :
- A. $$3x^2$$
- B. $$x^2$$
- C. $$3x$$
- D. $$x^4$$
Réponse. A. $$3x^2$$
Explication. On applique la formule $$\big(x^n\big)'=nx^{n-1}.$$
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Question 2. Si $$f'(x)>0$$ sur un intervalle, alors $$f$$ y est :
- A. croissante
- B. décroissante
- C. constante
- D. négative
Réponse. A. croissante
Explication. Une dérivée positive donne une fonction croissante.
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Question 3. L'équation de la tangente en $$a$$ est :
- A. $$y=f(a)x+f'(a)$$
- B. $$y=f'(a)(x-a)+f(a)$$
- C. $$y=f'(a)x-a$$
- D. $$y=f(a)-f'(a)$$
Réponse. B. $$y=f'(a)(x-a)+f(a)$$
Explication. C'est la formule standard de la tangente.
Exercices guidés
Exercice 1. Étudier les variations d'un polynôme
Étudier les variations de $$f(x)=x^3-3x.$$
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Étape 1. Calculer la dérivée.
$$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1).$$
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Étape 2. Étudier le signe de $$f'$$.
Les zéros sont $$-1$$ et $$1.$$ Le signe de $$f'$$ est positif sur $$]-\infty;-1[\cup]1;+\infty[$$ et négatif sur $$]-1;1[.$$
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Étape 3. Conclure.
La fonction est croissante sur $$]-\infty;-1]$$, décroissante sur $$[-1;1]$$, puis croissante sur $$[1;+\infty[.$$
Exercice 2. Écrire une tangente
On considère $$f(x)=x^2+1.$$ Déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse $$2.$$
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Étape 1. Calculer $$f(2)$$.
$$f(2)=2^2+1=5.$$
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Étape 2. Calculer $$f'(2)$$.
$$f'(x)=2x,$$ donc $$f'(2)=4.$$
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Étape 3. Écrire la tangente.
$$y=f'(2)(x-2)+f(2)=4(x-2)+5=4x-3.$$
Exercice 3. Dériver une somme et un produit
Soit $$f(x)=(x^2+1)(3x-2).$$ Calculer $$f'(x).$$
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Étape 1. Nommer les deux facteurs.
On pose $$u(x)=x^2+1$$ et $$v(x)=3x-2.$$ Alors $$u'(x)=2x$$ et $$v'(x)=3.$$
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Étape 2. Appliquer la formule du produit.
$$f'(x)=u'v+uv'=2x(3x-2)+(x^2+1)\times3.$$
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Étape 3. Simplifier.
$$f'(x)=6x^2-4x+3x^2+3=9x^2-4x+3.$$
Exercice 4. Passer du signe de $$f'$$ aux variations
On sait que $$f'(x)=-(x-4)^2.$$ Étudier les variations de $$f.$$
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Étape 1. Étudier le signe.
Comme $$(x-4)^2\ge0,$$ on a $$-(x-4)^2\le0.$$ Donc $$f'(x)\le0$$ pour tout $$x,$$ avec égalité seulement en $$x=4.$$
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Étape 2. Interpréter ce signe.
Une dérivée toujours négative ou nulle signifie que la fonction est décroissante.
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Étape 3. Conclure.
La fonction $$f$$ est décroissante sur tout son intervalle de définition.
Exercice 5. Trouver un extremum avec la dérivée
On considère $$f(x)=x^2-4x+1.$$ Déterminer ses variations et son minimum.
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Étape 1. Calculer la dérivée.
$$f'(x)=2x-4.$$ Le zéro de la dérivée est $$x=2.$$
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Étape 2. Étudier le signe.
Si $$x<2,$$ alors $$2x-4<0.$$ Si $$x>2,$$ alors $$2x-4>0.$$ La fonction décroît puis croît.
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Étape 3. Conclure.
La fonction admet donc un minimum en $$x=2.$$ On calcule $$f(2)=4-8+1=-3.$$ Le minimum vaut $$-3.$$
À retenir
- Taux de variation entre $$a$$ et $$b$$ : $$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$.
- Nombre dérivé en $$a$$ : pente de la tangente en $$a$$.
- Tangente en $$a$$ : $$y=f'(a)(x-a)+f(a)$$.
- $$\big(k\big)'=0$$ et $$\big(ax+b\big)'=a$$.
- $$\big(x^n\big)'=nx^{n-1}$$ pour $$n\ge1$$.
- $$\left(\frac1x\right)'=-\frac1{x^2}$$.
- $$\big(e^x\big)'=e^x$$.
- $$\big(f(ax+b)\big)'=a\,f'(ax+b)$$.
- Somme : $$\big(u+v\big)'=u'+v'$$.
- Produit : $$\big(uv\big)'=u'v+uv'$$.
- Quotient : $$\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$$ si $$v\neq0$$.
- Si $$f'(x)>0,$$ alors $$f$$ est croissante.
- Si $$f'(x)<0,$$ alors $$f$$ est décroissante.
- Un changement de signe de $$f'$$ permet de repérer un extremum.
- On passe toujours du tableau de signe de $$f'$$ au tableau de variation de $$f$$.