Première générale

Probabilités conditionnelles et indépendance

Avant les probabilités conditionnelles, on réactive le vocabulaire de base : univers, événement, union, intersection, complémentaire et calcul d'une probabilité dans un univers équiprobable. Le rappel est indispensable pour que les nouveaux outils soient bien compris. On distingue l’union $$A\cup...

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Rappels de Seconde

Avant les probabilités conditionnelles, on réactive le vocabulaire de base : univers, événement, union, intersection, complémentaire et calcul d'une probabilité dans un univers équiprobable. Le rappel est indispensable pour que les nouveaux outils soient bien compris.

Union, intersection et complémentaire
On distingue l’union $$A\cup B$$, l’intersection $$A\cap B$$ et le complémentaire $$\overline A$$.

Univers et événements

L'univers $$\Omega$$ est l'ensemble de toutes les issues possibles. Un événement $$A$$ est une partie de $$\Omega.$$

Union, intersection, complémentaire

$$A\cup B$$ signifie “$$A$$ ou $$B$$”. $$A\cap B$$ signifie “$$A$$ et $$B$$”. $$\overline A$$ désigne l'événement contraire de $$A.$$

Probabilité en équiprobabilité

Dans un univers fini équiprobable, $$P(A)=\frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre d'issues totales}}.$$

Formules utiles

On a $$P(\overline A)=1-P(A)$$ et $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$$ Si $$A$$ et $$B$$ sont incompatibles, alors $$P(A\cap B)=0.$$

Probabilité conditionnelle, tableaux et arbres

Les PDF de probabilités conditionnelles présentent deux grandes portes d'entrée : les tableaux à double entrée et les arbres pondérés. Dans les deux cas, la condition $$B$$ signifie que l'on restreint l'univers aux situations où $$B$$ est réalisé.

Probabilité conditionnelle

Si $$P(B)\neq0,$$ la probabilité de $$A$$ sachant $$B$$ est $$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$ On lit “probabilité de $$A$$ sachant $$B$$”.

Formule du produit

La définition précédente se réécrit $$P(A\cap B)=P(B)\times P(A\mid B).$$ Cette écriture est très pratique dans un arbre pondéré.

Probabilités totales

Si $$B$$ et $$\overline B$$ forment une partition de l'univers, alors $$P(A)=P(B)P(A\mid B)+P(\overline B)P(A\mid \overline B).$$

Forme générale sur une partition

Plus généralement, si $$B_1,\dots,B_n$$ forment une partition de l'univers, alors $$P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(B_i)P(A\mid B_i).$$ On additionne donc les probabilités de $$A$$ obtenues dans chacun des cas possibles.

Formule de Bayes

Si $$P(B)\neq0,$$ alors $$P(A\mid B)=\frac{P(A)P(B\mid A)}{P(B)}.$$ Cette formule permet de renverser un conditionnement.

Tableau ou arbre

Dans un tableau, on lit les intersections puis on divise par le total de la ligne ou de la colonne voulue. Dans un arbre, on multiplie les probabilités le long d'un chemin, puis on additionne les chemins utiles.

Indépendance

L'indépendance traduit l'idée que la réalisation d'un événement ne modifie pas la probabilité d'un autre. Il s'agit d'une propriété du modèle, à vérifier par un calcul, et non d'une intuition vague.

Définition

Deux événements $$A$$ et $$B$$ sont indépendants si $$P(A\cap B)=P(A)\times P(B).$$

Critère avec la conditionnelle

Si $$P(B)\neq0,$$ l'indépendance équivaut à $$P(A\mid B)=P(A).$$ Savoir que $$B$$ est réalisé ne change donc rien à la probabilité de $$A.$$

Indépendance et incompatibilité

Deux événements incompatibles ne peuvent pas se produire ensemble. Deux événements indépendants peuvent au contraire se produire ensemble. Ce sont deux notions différentes.

QCM du chapitre

  1. Question 1. Si $$P(B)=0{,}4$$ et $$P(A\cap B)=0{,}12,$$ alors $$P(A\mid B)$$ vaut :

    • A. 0,3
    • B. 0,48
    • C. 0,52
    • D. 0,72

    Réponse. A. 0,3

    Explication. On calcule $$\frac{0{,}12}{0{,}4}=0{,}3.$$

  2. Question 2. Deux événements indépendants vérifient :

    • A. $$P(A\cap B)=P(A)+P(B)$$
    • B. $$P(A\cap B)=P(A)P(B)$$
    • C. $$P(A\mid B)=0$$
    • D. $$P(A)=P(B)$$

    Réponse. B. $$P(A\cap B)=P(A)P(B)$$

    Explication. C'est la définition de l'indépendance.

  3. Question 3. Sur un arbre pondéré, la probabilité d'un chemin se calcule en :

    • A. additionnant
    • B. multipliant
    • C. soustrayant
    • D. comparant

    Réponse. B. multipliant

    Explication. On multiplie les probabilités tout au long du chemin.

Exercices guidés

Exercice 1. Calculer une probabilité en équiprobabilité

On lance un dé équilibré. Soit $$A$$ l'événement “obtenir un nombre pair”. Calculer $$P(A).$$

  1. Étape 1. Compter les issues favorables.

    Les nombres pairs sont $$2,4,6,$$ soit 3 issues favorables.

  2. Étape 2. Compter les issues totales.

    Un dé possède 6 issues possibles.

  3. Étape 3. Conclure.

    $$P(A)=\frac36=\frac12.$$

Exercice 2. Utiliser l'union et l'intersection

On lance un dé équilibré. Soit $$A$$ l'événement “obtenir un nombre pair” et $$B$$ l'événement “obtenir un multiple de 3”. Calculer $$P(A\cap B)$$ puis $$P(A\cup B).$$

  1. Étape 1. Calculer l'intersection.

    Le seul nombre à la fois pair et multiple de 3 est $$6.$$ Donc $$P(A\cap B)=\frac16.$$

  2. Étape 2. Calculer $$P(A)$$ et $$P(B)$$.

    $$P(A)=\frac36=\frac12$$ et $$P(B)=\frac26=\frac13.$$

  3. Étape 3. Utiliser la formule de l'union.

    $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac12+\frac13-\frac16=\frac23.$$

Exercice 3. Calculer un complémentaire

On sait que $$P(A)=0{,}37.$$ Calculer $$P(\overline A).$$

  1. Étape 1. Rappeler la formule.

    On a toujours $$P(\overline A)=1-P(A).$$

  2. Étape 2. Remplacer.

    $$P(\overline A)=1-0{,}37.$$

  3. Étape 3. Conclure.

    $$P(\overline A)=0{,}63.$$

Exercice 4. Utiliser une probabilité conditionnelle

On sait que $$P(B)=0{,}5$$ et $$P(A\cap B)=0{,}2.$$ Calculer $$P(A\mid B).$$

  1. Étape 1. Écrire la formule.

    $$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$

  2. Étape 2. Remplacer.

    $$P(A\mid B)=\frac{0{,}2}{0{,}5}.$$

  3. Étape 3. Conclure.

    $$P(A\mid B)=0{,}4.$$

Exercice 5. Tester l'indépendance

On sait que $$P(A)=0{,}4,$$ $$P(B)=0{,}5$$ et $$P(A\cap B)=0{,}2.$$ Les événements $$A$$ et $$B$$ sont-ils indépendants ?

  1. Étape 1. Calculer $$P(A)P(B)$$.

    $$P(A)P(B)=0{,}4\times0{,}5=0{,}2.$$

  2. Étape 2. Comparer avec l'intersection.

    On a aussi $$P(A\cap B)=0{,}2.$$

  3. Étape 3. Conclure.

    Comme $$P(A\cap B)=P(A)P(B),$$ les événements $$A$$ et $$B$$ sont indépendants.

À retenir