Première générale

Produit scalaire et géométrie repérée

La géométrie repérée traduit une figure en calculs. Dans les chapitres de Première, on mobilise constamment les coordonnées de points, de vecteurs, les distances, les milieux et les critères d'alignement ou de parallélisme.

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Repère, vecteurs et calculs de base

La géométrie repérée traduit une figure en calculs. Dans les chapitres de Première, on mobilise constamment les coordonnées de points, de vecteurs, les distances, les milieux et les critères d'alignement ou de parallélisme.

Coordonnées d'un vecteur

Si $$A(x_A;y_A)$$ et $$B(x_B;y_B),$$ alors $$\overrightarrow{AB}(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A).$$

Distance et milieu

On a $$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}.$$ Le milieu de $$[AB]$$ a pour coordonnées $$\left(\frac{x_A+x_B}{2}\,;\,\frac{y_A+y_B}{2}\right).$$

Colinéarité

Deux vecteurs $$\vec u(x;y)$$ et $$\vec v(x';y')$$ sont colinéaires si et seulement si $$xy'-x'y=0.$$ Ce critère sert à montrer que trois points sont alignés ou que deux droites sont parallèles.

Traduire une figure

On commence toujours par choisir les bons points, calculer les vecteurs utiles, puis sélectionner la formule adaptée : distance, milieu, colinéarité, produit scalaire ou équation de droite.

Produit scalaire et orthogonalité

Les PDF sur le produit scalaire insistent à la fois sur sa définition géométrique et sur sa formule en coordonnées. C'est le bon outil pour calculer un angle, reconnaître un angle droit ou développer une identité du type $$\|\vec u+\vec v\|^2.$$

Définition géométrique

Pour deux vecteurs non nuls $$\vec u$$ et $$\vec v,$$ on pose $$\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\times\|\vec v\|\times\cos\theta,$$ où $$\theta$$ est l'angle formé par les deux vecteurs. Si l'un des deux vecteurs est nul, le produit scalaire vaut $$0.$$

Formule en coordonnées

Dans un repère orthonormé, si $$\vec u(x;y)$$ et $$\vec v(x';y'),$$ alors $$\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'.$$ C'est la formule la plus utilisée en exercice.

Formule avec les longueurs

Dans un triangle $$ABC,$$ on a $$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\frac12\big(AB^2+AC^2-BC^2\big).$$ Cette formule est très utile quand on connaît les longueurs mais pas directement l'angle.

Orthogonalité

Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

Identités utiles

On a $$\|\vec u+\vec v\|^2=\|\vec u\|^2+2\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2$$ et $$\|\vec u-\vec v\|^2=\|\vec u\|^2-2\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2.$$ Ces égalités permettent de retrouver rapidement une longueur ou un produit scalaire.

Théorème d'Al Kashi

Dans un triangle $$ABC,$$ si l'on note $$a=BC,$$ $$b=CA$$ et $$c=AB,$$ alors $$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat A.$$ C'est la loi des cosinus. Elle généralise le théorème de Pythagore et permet de calculer une longueur ou un angle dans un triangle quelconque.

Attention au sens

Le produit scalaire est un nombre réel. Il ne faut pas l'écrire comme un vecteur. Par exemple, écrire $$\vec u\cdot\vec v=\vec0$$ est une erreur.

Droites, cercles et équations cartésiennes

La fin du chapitre réunit les lieux géométriques classiques du plan : droites et cercles. Le repère orthonormé permet alors de passer facilement d'une interprétation géométrique à une équation, et inversement.

Équation cartésienne d'une droite

Une droite du plan a une équation de la forme $$ax+by+c=0$$ avec $$a$$ et $$b$$ non simultanément nuls. Le vecteur $$\vec n(a;b)$$ est alors un vecteur normal à la droite.

Vecteur directeur et vecteur normal

Si une droite a pour équation $$ax+by+c=0,$$ alors $$\vec n(a;b)$$ est un vecteur normal et $$\vec u(-b;a)$$ est un vecteur directeur. Ces deux vecteurs sont orthogonaux.

Trouver l'équation d'une droite

Si la droite passe par $$A(x_A;y_A)$$ et admet pour vecteur normal $$\vec n(a;b),$$ alors tout point $$M(x;y)$$ de la droite vérifie $$a(x-x_A)+b(y-y_A)=0.$$ On développe ensuite pour obtenir une équation cartésienne.

Équation d'un cercle

Le cercle de centre $$\Omega(a;b)$$ et de rayon $$R$$ a pour équation $$ (x-a)^2+(y-b)^2=R^2. $$ On lit donc directement le centre et le rayon dans l'écriture réduite.

Cercle de diamètre

Un point $$M$$ appartient au cercle de diamètre $$[AB]$$ si et seulement si $$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0.$$ Cela signifie que l'angle $$\widehat{AMB}$$ est droit. Cette propriété revient très souvent dans les exercices de géométrie.

QCM du chapitre

  1. Question 1. Si $$\vec u=(1;2)$$ et $$\vec v=(3;-1),$$ alors $$\vec u\cdot\vec v$$ vaut :

    • A. 1
    • B. 5
    • C. 0
    • D. 7

    Réponse. A. 1

    Explication. On calcule $$1\times3+2\times(-1)=1.$$

  2. Question 2. Si $$\vec u\cdot\vec v=0,$$ alors les vecteurs sont :

    • A. colinéaires
    • B. orthogonaux
    • C. unitaires
    • D. égaux

    Réponse. B. orthogonaux

    Explication. Le produit scalaire nul caractérise l'orthogonalité.

  3. Question 3. Dans $$2x-y+3=0,$$ un vecteur normal est :

    • A. $$(1;2)$$
    • B. $$(2;-1)$$
    • C. $$(-1;2)$$
    • D. $$(3;0)$$

    Réponse. B. $$(2;-1)$$

    Explication. Dans $$ax+by+c=0,$$ un vecteur normal est $$ (a;b). $$

Exercices guidés

Exercice 1. Calculer un vecteur et une distance

On considère $$A(1;2)$$ et $$B(5;-1).$$ Calculer $$\overrightarrow{AB}$$ et la distance $$AB.$$

  1. Étape 1. Calculer le vecteur.

    $$\overrightarrow{AB}(5-1\,;\,-1-2)=(4;-3).$$

  2. Étape 2. Calculer la distance.

    $$AB=\sqrt{4^2+(-3)^2}=\sqrt{16+9}=5.$$

  3. Étape 3. Conclure.

    On obtient $$\overrightarrow{AB}=(4;-3)$$ et $$AB=5.$$

Exercice 2. Déterminer le milieu d'un segment

Déterminer le milieu du segment $$[AB]$$ avec $$A(2;1)$$ et $$B(8;5).$$

  1. Étape 1. Appliquer la formule.

    Le milieu est $$\left(\frac{2+8}{2}\,;\,\frac{1+5}{2}\right).$$

  2. Étape 2. Calculer.

    On obtient $$\left(\frac{10}{2};\frac{6}{2}\right)=(5;3).$$

  3. Étape 3. Conclure.

    Le milieu de $$[AB]$$ est $$M(5;3).$$

Exercice 3. Vérifier une orthogonalité

Soient $$\vec u=(2;3)$$ et $$\vec v=(3;-2).$$ Montrer qu'ils sont orthogonaux.

  1. Étape 1. Calculer le produit scalaire.

    $$\vec u\cdot\vec v=2\times3+3\times(-2)=6-6=0.$$

  2. Étape 2. Interpréter.

    Le produit scalaire est nul.

  3. Étape 3. Conclure.

    Les vecteurs $$\vec u$$ et $$\vec v$$ sont donc orthogonaux.

Exercice 4. Déterminer une équation de droite

Déterminer une équation de la droite passant par $$A(1;1)$$ et de vecteur normal $$\vec n=(2;-1).$$

  1. Étape 1. Écrire la relation avec le vecteur normal.

    Tout point $$M(x;y)$$ de la droite vérifie $$2(x-1)-1(y-1)=0.$$

  2. Étape 2. Développer.

    $$2x-2-y+1=0.$$

  3. Étape 3. Conclure.

    Une équation de la droite est $$2x-y-1=0.$$

Exercice 5. Reconnaître un cercle

Donner le centre et le rayon du cercle d'équation $$(x-3)^2+(y+2)^2=16.$$

  1. Étape 1. Comparer à la forme standard.

    On compare avec $$(x-a)^2+(y-b)^2=R^2.$$

  2. Étape 2. Lire le centre.

    Ici $$a=3$$ et $$b=-2,$$ donc le centre est $$\Omega(3;-2).$$

  3. Étape 3. Lire le rayon.

    On a $$R^2=16,$$ donc $$R=4.$$

À retenir