Première générale
Second degré et fonctions polynômes
Les cours PDF sur le second degré distinguent bien trois écritures complémentaires : développée, factorisée et canonique. En Première, il faut surtout savoir passer à la forme canonique, lire le sommet d'une parabole et relier cette lecture aux variations de la fonction. La forme canonique...
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Fonction polynôme du second degré et forme canonique
Les cours PDF sur le second degré distinguent bien trois écritures complémentaires : développée, factorisée et canonique. En Première, il faut surtout savoir passer à la forme canonique, lire le sommet d'une parabole et relier cette lecture aux variations de la fonction.
Fonction polynôme du second degré
Une fonction polynôme du second degré est une fonction de la forme $$f(x)=ax^2+bx+c$$ avec $$a\neq0.$$ On parle aussi de trinôme du second degré.
Forme canonique
Tout trinôme peut s'écrire $$f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta.$$ Cette écriture s'appelle la forme canonique de la fonction.
Sommet et axe de symétrie
Le sommet de la parabole est le point $$S(\alpha;\beta).$$ L'axe de symétrie est la droite d'équation $$x=\alpha.$$ Si $$a>0,$$ la parabole est tournée vers le haut ; si $$a<0,$$ elle est tournée vers le bas.
Formules du sommet
Pour $$f(x)=ax^2+bx+c,$$ on a $$\alpha=-\frac{b}{2a}$$ et $$\beta=f(\alpha)=-\frac{\Delta}{4a}.$$ Ces deux formules sont à connaître.
Compléter le carré
Pour passer de la forme développée à la forme canonique, on complète le carré. Par exemple $$x^2-4x+1=(x-2)^2-3.$$ On lit alors directement le sommet $$S(2;-3).$$
Convexe ou concave
Pour une fonction du second degré, le signe de $$a$$ pilote toute l'allure de la courbe : si $$a>0,$$ la fonction est convexe et admet un minimum ; si $$a<0,$$ elle est concave et admet un maximum.
Équations, discriminant et factorisation
Les deux chapitres PDF sur le second degré insistent sur le rôle du discriminant : il permet de savoir combien l'équation admet de solutions réelles, puis d'écrire ces solutions explicitement. Ensuite on relie ces racines au signe du trinôme et à sa factorisation.
Discriminant
Pour l'équation $$ax^2+bx+c=0,$$ on pose $$\Delta=b^2-4ac.$$ C'est le discriminant du trinôme.
Nombre de solutions
Si $$\Delta>0,$$ l'équation admet deux solutions réelles $$x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}$$ et $$x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}.$$ Si $$\Delta=0,$$ elle admet une racine double $$x_0=\frac{-b}{2a}.$$ Si $$\Delta<0,$$ elle n'a pas de solution réelle.
Factorisation
Si $$\Delta>0,$$ alors $$P(x)=a(x-x_1)(x-x_2).$$ Si $$\Delta=0,$$ alors $$P(x)=a(x-x_0)^2.$$ La forme factorisée est très utile pour résoudre une équation ou une inéquation.
Relations entre les racines
Si le trinôme admet deux racines $$x_1$$ et $$x_2,$$ alors $$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$$ et $$x_1x_2=\frac{c}{a}.$$ Ces formules servent à vérifier un calcul ou à reconstituer un trinôme.
Résoudre une inéquation
Pour résoudre $$ax^2+bx+c\ge0,$$ on repère d'abord les racines du trinôme, puis on établit son signe selon le signe de $$a.$$ Le tableau de signe donne l'ensemble solution.
Variations, signe et optimisation
Le second degré est aussi un chapitre d'optimisation. La forme canonique donne directement un minimum ou un maximum, tandis que la forme factorisée donne le signe. Il faut savoir choisir l'écriture la plus efficace selon la question.
Variations
Si $$a>0,$$ la fonction décroît puis croît : elle admet un minimum en $$x=\alpha.$$ Si $$a<0,$$ elle croît puis décroît : elle admet un maximum en $$x=\alpha.$$
Signe du trinôme
Si le trinôme a deux racines $$x_1
Optimiser une expression
Pour déterminer le maximum ou le minimum d'une expression du second degré, on la met sous forme canonique. Par exemple $$-2x^2+4x+6=-2(x-1)^2+8,$$ donc la valeur maximale est $$8$$ atteinte pour $$x=1.$$
Ne pas confondre racines et sommet
Les racines sont les abscisses où la parabole coupe l'axe des abscisses. Le sommet est le point où la fonction atteint son maximum ou son minimum. Ces informations sont liées, mais elles répondent à des questions différentes.
QCM du chapitre
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Question 1. Le discriminant de $$x^2-2x-3$$ vaut :
- A. 16
- B. 4
- C. 1
- D. -8
Réponse. A. 16
Explication. On calcule $$\Delta=(-2)^2-4\times1\times(-3)=16.$$
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Question 2. La forme canonique de $$x^2-6x+5$$ est :
- A. $$(x-3)^2-4$$
- B. $$(x+3)^2-4$$
- C. $$(x-2)^2+1$$
- D. $$(x-3)^2+4$$
Réponse. A. $$(x-3)^2-4$$
Explication. On complète le carré : $$x^2-6x+5=(x-3)^2-4.$$
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Question 3. Si $$a<0,$$ une fonction du second degré admet :
- A. un minimum
- B. un maximum
- C. toujours deux racines
- D. toujours une racine double
Réponse. B. un maximum
Explication. Quand $$a<0,$$ la parabole est tournée vers le bas, donc le sommet donne un maximum.
Exercices guidés
Exercice 1. Résoudre une équation du second degré
Résoudre $$x^2-5x+6=0.$$
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Étape 1. Calculer le discriminant.
On a $$\Delta=(-5)^2-4\times1\times6=25-24=1.$$
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Étape 2. Calculer les racines.
$$x_1=\frac{5-1}{2}=2$$ et $$x_2=\frac{5+1}{2}=3.$$
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Étape 3. Conclure.
L'ensemble solution est $$\{2;3\}.$$
Exercice 2. Lire le sommet d'une parabole
On considère $$f(x)=3(x-2)^2-5.$$ Donner le sommet, l'axe de symétrie et l'extremum.
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Étape 1. Lire le sommet.
La forme canonique donne directement $$S(2;-5).$$
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Étape 2. Lire l'axe de symétrie.
L'axe de symétrie est la droite d'équation $$x=2.$$
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Étape 3. Déterminer l'extremum.
Comme $$a=3>0,$$ la parabole est ouverte vers le haut. La fonction admet donc un minimum égal à $$-5.$$
Exercice 3. Utiliser les relations entre racines
Un trinôme a pour racines $$1$$ et $$4$$ et pour coefficient dominant $$2.$$ Écrire sa forme factorisée puis développée.
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Étape 1. Écrire la forme factorisée.
Comme les racines sont $$1$$ et $$4,$$ on a $$P(x)=2(x-1)(x-4).$$
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Étape 2. Développer.
$$P(x)=2(x^2-5x+4)=2x^2-10x+8.$$
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Étape 3. Vérifier les relations.
On retrouve bien $$1+4=5=-\frac{-10}{2}$$ et $$1\times4=4=\frac{8}{2}.$$
Exercice 4. Résoudre une inéquation du second degré
Résoudre $$x^2-x-6\le0.$$
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Étape 1. Trouver les racines.
On factorise : $$x^2-x-6=(x-3)(x+2).$$ Les racines sont donc $$-2$$ et $$3.$$
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Étape 2. Étudier le signe.
Le coefficient de $$x^2$$ est positif. Le trinôme est donc négatif entre les racines et positif à l'extérieur.
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Étape 3. Conclure.
L'ensemble solution est $$[-2;3].$$
Exercice 5. Optimiser avec la forme canonique
Déterminer le maximum ou le minimum de $$f(x)=-x^2+6x-2.$$
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Étape 1. Mettre sous forme canonique.
$$f(x)=-(x^2-6x)-2=-(x-3)^2+9-2=-(x-3)^2+7.$$
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Étape 2. Lire le sommet.
Le sommet est $$S(3;7).$$
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Étape 3. Conclure.
Comme le coefficient dominant est négatif, la fonction admet un maximum égal à $$7,$$ atteint pour $$x=3.$$
À retenir
- Trinôme : $$P(x)=ax^2+bx+c$$ avec $$a\neq0$$.
- Discriminant : $$\Delta=b^2-4ac$$.
- Si $$\Delta>0,$$ deux racines réelles.
- Si $$\Delta=0,$$ une racine double.
- Si $$\Delta<0,$$ aucune racine réelle.
- Forme canonique : $$f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$$.
- Sommet : $$S(\alpha;\beta)$$ avec $$\alpha=-\frac{b}{2a}$$ et $$\beta=f(\alpha)$$.
- Si $$a>0,$$ la parabole est convexe et admet un minimum.
- Si $$a<0,$$ la parabole est concave et admet un maximum.
- Relations entre racines : $$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$$ et $$x_1x_2=\frac{c}{a}$$.
- Si $$\Delta>0,$$ factorisation : $$P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$$.
- Si $$\Delta=0,$$ factorisation : $$P(x)=a(x-x_0)^2$$.
- Le signe du trinôme dépend des racines et du signe de $$a$$.
- La forme canonique sert à lire l'extremum et les variations.