Première générale
Suites numériques et suites usuelles
Les suites numériques sont une vraie nouveauté de Première. Les dossiers de cours sur les suites rappellent qu'une suite sert à modéliser une évolution discrète : on passe d'un rang au suivant, on calcule des termes, on représente les points $$\big(n;u_n\big)$$ et on interprète la situation dans un...
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Définir, calculer et représenter une suite
Les suites numériques sont une vraie nouveauté de Première. Les dossiers de cours sur les suites rappellent qu'une suite sert à modéliser une évolution discrète : on passe d'un rang au suivant, on calcule des termes, on représente les points $$\big(n;u_n\big)$$ et on interprète la situation dans un contexte concret.
Définition
Une suite $$\left(u_n\right)$$ est une fonction définie sur les entiers naturels. À chaque entier $$n$$, on associe un réel noté $$u_n.$$ Le nombre $$n$$ est le rang et $$u_n$$ est le terme de rang $$n.$$
Deux modes de définition
Une suite peut être définie de façon explicite, par exemple $$u_n=2n+3,$$ ou terme à terme, par exemple $$u_0=4$$ puis $$u_{n+1}=0{,}8u_n+5.$$ Dans le deuxième cas, chaque terme se calcule à partir du précédent.
Sens de variation d'une suite
La suite $$\left(u_n\right)$$ est croissante si, pour tout entier $$n,$$ on a $$u_{n+1}\ge u_n.$$ Elle est décroissante si, pour tout entier $$n,$$ on a $$u_{n+1}\le u_n.$$ Si l'inégalité est stricte à chaque rang, la suite est strictement croissante ou strictement décroissante.
Suite minorée, majorée, bornée
La suite $$\left(u_n\right)$$ est minorée s'il existe un réel $$m$$ tel que, pour tout entier $$n,$$ $$u_n\ge m.$$ Elle est majorée s'il existe un réel $$M$$ tel que, pour tout entier $$n,$$ $$u_n\le M.$$ Elle est bornée lorsqu'elle est à la fois minorée et majorée.
Calculer les premiers termes
Quand une suite est définie par une formule explicite, on remplace directement $$n$$ par $$0,$$ $$1,$$ $$2$$ puis $$3.$$ Quand elle est donnée terme à terme, on part du premier terme et on applique la relation de récurrence une fois, puis deux fois, puis trois fois.
Étudier une suite générale
Pour étudier le sens de variation d'une suite qui n'est pas manifestement arithmétique ou géométrique, on compare $$u_{n+1}$$ et $$u_n,$$ souvent via la différence $$u_{n+1}-u_n.$$ Pour montrer qu'une suite est bornée, on cherche un encadrement valable pour tout entier $$n.$$ Ces deux réflexes reviennent très souvent dans les exercices.
Représentation graphique
On représente souvent une suite par les points $$\big(n;u_n\big)$$ dans un repère. Une suite n'est pas une courbe continue : on ne relie pas les points, car le rang $$n$$ prend seulement des valeurs entières.
Schéma à retenir
Exemples simples
Si $$u_0=3$$ et si la suite est arithmétique de raison $$2,$$ alors $$u_1=5$$ et $$u_2=7.$$ Si $$v_0=4$$ et si la suite est géométrique de rapport $$\frac12,$$ alors $$v_1=2$$ et $$v_2=1.$$ Ces premiers calculs permettent de vérifier qu'on a bien compris la définition.
Suites arithmétiques et suites géométriques
Les PDF consacrés aux suites usuelles insistent sur deux modèles à connaître parfaitement : la variation additive constante et le coefficient multiplicateur constant. Il faut savoir reconnaître la bonne situation, écrire la formule adaptée et interpréter la raison ou le rapport.
Suite arithmétique
Une suite est arithmétique s'il existe un réel $$r$$ tel que, pour tout entier $$n,$$ $$u_{n+1}=u_n+r.$$ Le réel $$r$$ est la raison de la suite.
Formule explicite d'une suite arithmétique
Si $$\left(u_n\right)$$ est arithmétique de premier terme $$u_0$$ et de raison $$r,$$ alors $$u_n=u_0+nr.$$ Si le premier terme est $$u_1,$$ on écrit plutôt $$u_n=u_1+(n-1)r.$$
Suite géométrique
Une suite est géométrique s'il existe un réel $$q$$ tel que, pour tout entier $$n,$$ $$u_{n+1}=qu_n.$$ Le réel $$q$$ est le rapport de la suite.
Formule explicite d'une suite géométrique
Si $$\left(u_n\right)$$ est géométrique de premier terme $$u_0$$ et de rapport $$q,$$ alors $$u_n=u_0q^n.$$ Si le premier terme est $$u_1,$$ on écrit $$u_n=u_1q^{n-1}.$$
Sens de variation
Une suite arithmétique est croissante si $$r>0,$$ constante si $$r=0$$ et décroissante si $$r<0.$$ Pour une suite géométrique de premier terme positif : si $$q>1,$$ elle est croissante ; si $$0
Sommes à connaître
Pour une suite arithmétique, $$u_0+u_1+\cdots+u_n=\frac{(n+1)(u_0+u_n)}2.$$ Pour une suite géométrique de rapport $$q\neq1,$$ $$u_0+u_1+\cdots+u_n=u_0\times\frac{1-q^{n+1}}{1-q}.$$ Ces formules sont utiles dans les exercices de modélisation.
Modéliser une évolution et chercher un seuil
Dans les dossiers sur les suites générales et sur les suites arithmétiques ou géométriques, la compétence centrale est la lecture du modèle : augmentation ou baisse absolue, pourcentage fixe, ou évolution terme à terme. Ensuite on calcule, on interprète et on peut chercher le premier rang où une condition devient vraie.
Identifier le bon modèle
Si on ajoute toujours la même quantité, le modèle est arithmétique. Si on multiplie toujours par le même coefficient, le modèle est géométrique. Si l'énoncé donne une relation du type $$u_{n+1}=f(u_n),$$ on reste sur une suite définie terme à terme.
Chercher un seuil
On cherche souvent le plus petit entier $$n$$ tel que $$u_n$$ dépasse une valeur. On peut parfois résoudre une inéquation quand on connaît la formule explicite. Sinon, on calcule les termes successifs ou on utilise une boucle while en Python.
Exemple de pourcentage
Une population qui augmente de 3 % par an est modélisée par une suite géométrique de rapport $$1{,}03.$$ Si elle baisse de 8 % par an, le rapport devient $$0{,}92.$$ Le mot-clé à reconnaître est le coefficient multiplicateur.
Ce qu'on ne formalise pas encore
En Première, on sait manipuler des suites définies terme à terme, mais on ne développe pas encore le raisonnement par récurrence sous sa forme formelle de Terminale. On calcule, on conjecture, on interprète et on utilise les formules usuelles.
QCM du chapitre
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Question 1. Si $$u_0=5$$ et $$u_{n+1}=u_n+3,$$ alors $$u_2$$ vaut :
- A. 8
- B. 10
- C. 11
- D. 12
Réponse. C. 11
Explication. La suite est arithmétique de raison 3. On calcule $$u_1=8$$ puis $$u_2=11.$$
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Question 2. Une suite géométrique de rapport $$0{,}8$$ :
- A. est toujours croissante
- B. se rapproche de 0 si le premier terme est positif
- C. est arithmétique
- D. change toujours de signe
Réponse. B. se rapproche de 0 si le premier terme est positif
Explication. Quand $$0<q<1,$$ les termes d'une suite géométrique positive décroissent vers 0.
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Question 3. Une suite définie par $$u_{n+1}=2u_n+1$$ est :
- A. arithmétique
- B. géométrique
- C. définie terme à terme
- D. constante
Réponse. C. définie terme à terme
Explication. Chaque terme est donné à partir du précédent, mais ni par une différence constante, ni par un quotient constant.
Exercices guidés
Exercice 1. Calculer les premiers termes d'une suite arithmétique
On considère la suite arithmétique définie par $$u_0=5$$ et de raison $$3.$$ Calculer $$u_1,$$ $$u_2$$ puis exprimer $$u_n.$$
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Étape 1. Calculer $$u_1$$.
Comme la suite est arithmétique de raison $$3,$$ on a $$u_1=u_0+3=5+3=8.$$
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Étape 2. Calculer $$u_2$$.
On ajoute encore la raison : $$u_2=u_1+3=8+3=11.$$
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Étape 3. Exprimer $$u_n$$.
Pour une suite arithmétique, $$u_n=u_0+nr.$$ Donc ici $$u_n=5+3n.$$
Exercice 2. Calculer les premiers termes d'une suite géométrique
On considère la suite géométrique définie par $$v_0=2$$ et de rapport $$4.$$ Calculer $$v_1,$$ $$v_2$$ puis exprimer $$v_n.$$
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Étape 1. Calculer $$v_1$$.
Comme la suite est géométrique de rapport $$4,$$ on a $$v_1=v_0\times4=2\times4=8.$$
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Étape 2. Calculer $$v_2$$.
On multiplie encore par $$4$$ : $$v_2=v_1\times4=8\times4=32.$$
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Étape 3. Exprimer $$v_n$$.
Pour une suite géométrique, $$v_n=v_0q^n.$$ Donc ici $$v_n=2\times4^n.$$
Exercice 3. Étudier le sens de variation d'une suite arithmétique
On considère $$u_n=7-2n.$$ Déterminer si la suite est croissante ou décroissante puis calculer $$u_0$$ et $$u_1.$$
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Étape 1. Identifier la raison.
On reconnaît une suite arithmétique de raison $$r=-2.$$
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Étape 2. Conclure sur le sens de variation.
Comme $$r<0,$$ la suite est décroissante.
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Étape 3. Calculer les premiers termes.
On a $$u_0=7$$ et $$u_1=7-2=5.$$
Exercice 4. Suite donnée terme à terme
On définit la suite par $$u_0=1$$ et $$u_{n+1}=2u_n+1.$$ Calculer $$u_1,$$ $$u_2$$ et $$u_3.$$
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Étape 1. Calculer $$u_1$$.
$$u_1=2u_0+1=2\times1+1=3.$$
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Étape 2. Calculer $$u_2$$.
$$u_2=2u_1+1=2\times3+1=7.$$
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Étape 3. Calculer $$u_3$$.
$$u_3=2u_2+1=2\times7+1=15.$$
Exercice 5. Chercher un seuil simple
On considère la suite arithmétique $$u_n=12+5n.$$ Déterminer le plus petit entier $$n$$ tel que $$u_n>40.$$
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Étape 1. Traduire la condition.
On cherche $$12+5n>40.$$
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Étape 2. Résoudre l'inéquation.
$$12+5n>40 \iff 5n>28 \iff n>5{,}6.$$
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Étape 3. Conclure sur le rang.
Le plus petit entier qui vérifie cette condition est $$n=6,$$ car $$u_6=12+5\times6=42.$$
À retenir
- Une suite est une fonction définie sur $$\mathbb{N}$$.
- Le terme de rang $$n$$ se note $$u_n$$.
- On représente une suite par les points $$\big(n;u_n\big)$$.
- Suite croissante : pour tout $$n,$$ $$u_{n+1}\ge u_n$$.
- Suite décroissante : pour tout $$n,$$ $$u_{n+1}\le u_n$$.
- Suite minorée : il existe $$m$$ tel que $$u_n\ge m$$ pour tout $$n$$.
- Suite majorée : il existe $$M$$ tel que $$u_n\le M$$ pour tout $$n$$.
- Suite bornée : elle est à la fois minorée et majorée.
- Suite arithmétique : $$u_{n+1}=u_n+r$$.
- Formule explicite : $$u_n=u_0+nr$$.
- Raison : $$r=u_{n+1}-u_n$$.
- Suite géométrique : $$u_{n+1}=qu_n$$.
- Formule explicite : $$u_n=u_0q^n$$.
- Rapport : $$q=\frac{u_{n+1}}{u_n}$$ si $$u_n\neq0$$.
- Suite arithmétique : croissante si $$r>0$$, décroissante si $$r<0$$.
- Suite géométrique positive : croissante si $$q>1$$, décroissante si $$0<q<1$$.
- Somme arithmétique : $$u_0+\cdots+u_n=\frac{(n+1)(u_0+u_n)}2$$.
- Somme géométrique : $$u_0+\cdots+u_n=u_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$$ si $$q\neq1$$.
- Chercher un seuil, c'est trouver le plus petit rang à partir duquel une condition devient vraie.