Première générale
Variables aléatoires réelles et statistiques
Les variables aléatoires prolongent les probabilités : au lieu d'étudier seulement des événements, on associe une valeur réelle à chaque issue de l'expérience. Les PDF du chapitre montrent bien qu'il faut d'abord définir correctement la variable, puis construire sa loi.
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Variable aléatoire et loi de probabilité
Les variables aléatoires prolongent les probabilités : au lieu d'étudier seulement des événements, on associe une valeur réelle à chaque issue de l'expérience. Les PDF du chapitre montrent bien qu'il faut d'abord définir correctement la variable, puis construire sa loi.
Variable aléatoire
Une variable aléatoire réelle $$X$$ associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire.
Loi de probabilité
La loi de $$X$$ est l'ensemble des valeurs prises par $$X$$ et des probabilités correspondantes $$P(X=x_i).$$ La somme de toutes ces probabilités vaut $$1.$$
Construire une loi
On commence par lister toutes les valeurs possibles de $$X.$$ Ensuite on calcule la probabilité de chaque valeur, puis on vérifie que la somme vaut bien $$1.$$
Exemple de gain
Si on gagne $$2$$ euros sur certaines issues et qu'on perd $$1$$ euro sur les autres, la variable aléatoire des gains peut prendre les valeurs $$2$$ et $$-1.$$ Le bon réflexe est d'abord de décrire précisément quelles issues donnent chaque valeur.
Espérance, variance et écart type
Le deuxième objectif du chapitre est de résumer une loi par quelques indicateurs numériques. L'espérance donne une moyenne théorique, la variance et l'écart type mesurent la dispersion des valeurs autour de cette moyenne.
Espérance
Si $$X$$ prend les valeurs $$x_1,\dots,x_n$$ avec probabilités $$p_1,\dots,p_n,$$ alors $$E(X)=x_1p_1+\cdots+x_np_n.$$ L'espérance représente un gain moyen à long terme.
Variance et écart type
La variance est définie par $$V(X)=E\big((X-E(X))^2\big).$$ L'écart type vaut $$\sigma(X)=\sqrt{V(X)}.$$ Plus l'écart type est grand, plus les valeurs sont dispersées.
Formule pratique
On peut aussi utiliser $$V(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2.$$ Cette formule est souvent la plus rapide en exercice.
Linéarité de l'espérance
Pour tous réels $$a$$ et $$b,$$ on a $$E(aX+b)=aE(X)+b.$$ Cette propriété simplifie beaucoup de calculs dans les problèmes de gains et de conversions d'unités.
Variance d'une transformation affine
Pour tous réels $$a$$ et $$b,$$ on a $$V(aX+b)=a^2V(X).$$ Le terme $$b$$ ne change pas la dispersion : il décale seulement les valeurs. En revanche, multiplier par $$a$$ multiplie l'écart à la moyenne par $$a,$$ donc la variance par $$a^2.$$
Interprétation statistique
La dernière étape consiste à interpréter les résultats. En Première, on attend des phrases courtes mais justes : jeu favorable ou non, dispersion forte ou faible, cohérence avec un contexte. Les calculs n'ont de sens que si on les relie au problème posé.
Jeu favorable, défavorable ou équitable
Un jeu est favorable si son espérance est positive, défavorable si elle est négative et équitable si elle est nulle.
Ce que l'espérance ne dit pas
Une espérance positive ne garantit pas qu'on gagne à chaque partie. Elle décrit seulement la moyenne à long terme si on répète l'expérience un grand nombre de fois.
Lien avec la statistique
Pour une série statistique observée, on calcule une moyenne et un écart type. Pour une variable aléatoire, l'espérance et l'écart type jouent le même rôle mais du point de vue théorique du modèle probabiliste.
Toujours commenter
Après un calcul, il faut formuler une conclusion dans le contexte : “le jeu est équitable”, “la dispersion est faible”, “la valeur moyenne attendue est de …”.
QCM du chapitre
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Question 1. Si $$X$$ prend les valeurs 1 et 5 avec probabilités 0,7 et 0,3, alors $$E(X)$$ vaut :
- A. 2,2
- B. 2,8
- C. 3,0
- D. 4,2
Réponse. A. 2,2
Explication. On calcule $$1\times0{,}7+5\times0{,}3=2{,}2.$$
-
Question 2. La somme des probabilités d'une loi vaut toujours :
- A. 0
- B. 1
- C. 10
- D. cela dépend
Réponse. B. 1
Explication. La somme des probabilités d'une loi vaut toujours 1.
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Question 3. L'écart type est :
- A. la variance
- B. la racine carrée de la variance
- C. l'espérance
- D. toujours entier
Réponse. B. la racine carrée de la variance
Explication. On a $$\sigma(X)=\sqrt{V(X)}.$$
Exercices guidés
Exercice 1. Construire une loi simple
On lance une pièce équilibrée. On pose $$X=1$$ si on obtient pile et $$X=0$$ sinon. Déterminer la loi de $$X.$$
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Étape 1. Lister les valeurs possibles.
La variable peut prendre les valeurs $$0$$ et $$1.$$
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Étape 2. Calculer les probabilités.
Comme la pièce est équilibrée, $$P(X=1)=\frac12$$ et $$P(X=0)=\frac12.$$
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Étape 3. Conclure.
La loi de $$X$$ est donnée par les valeurs $$0$$ et $$1,$$ chacune de probabilité $$\frac12.$$
Exercice 2. Calculer une espérance
Une variable aléatoire $$X$$ prend les valeurs $$2$$ et $$5$$ avec probabilités respectives $$0{,}3$$ et $$0{,}7.$$ Calculer $$E(X).$$
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Étape 1. Écrire la formule.
$$E(X)=\sum x_ip_i.$$
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Étape 2. Remplacer.
$$E(X)=2\times0{,}3+5\times0{,}7=0{,}6+3{,}5.$$
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Étape 3. Conclure.
$$E(X)=4{,}1.$$
Exercice 3. Calculer une variance
On sait que $$E(X)=3$$ et $$E(X^2)=11.$$ Calculer $$V(X).$$
-
Étape 1. Utiliser la formule pratique.
$$V(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2.$$
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Étape 2. Remplacer.
$$V(X)=11-3^2=11-9.$$
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Étape 3. Conclure.
$$V(X)=2.$$
Exercice 4. Calculer un écart type
On sait que $$V(X)=9.$$ Calculer $$\sigma(X).$$
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Étape 1. Rappeler la formule.
$$\sigma(X)=\sqrt{V(X)}.$$
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Étape 2. Remplacer.
$$\sigma(X)=\sqrt9.$$
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Étape 3. Conclure.
$$\sigma(X)=3.$$
Exercice 5. Étudier un jeu
Un jeu rapporte $$4$$ euros avec la probabilité $$0{,}2$$ et fait perdre $$1$$ euro sinon. Le jeu est-il favorable ?
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Étape 1. Calculer l'espérance.
$$E(X)=4\times0{,}2+(-1)\times0{,}8=0{,}8-0{,}8=0.$$
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Étape 2. Interpréter.
Une espérance nulle correspond à un jeu équitable.
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Étape 3. Conclure.
Le jeu n'est ni favorable ni défavorable : il est équitable.
À retenir
- Une variable aléatoire associe un réel à chaque issue.
- La loi d'une variable aléatoire liste ses valeurs et leurs probabilités.
- La somme des probabilités d'une loi vaut $$1$$.
- Espérance : $$E(X)=\sum x_ip_i$$.
- Variance : $$V(X)=E\big((X-E(X))^2\big)$$.
- Formule pratique : $$V(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2$$.
- Écart type : $$\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$$.
- Linéarité : $$E(aX+b)=aE(X)+b$$.
- Variance affine : $$V(aX+b)=a^2V(X)$$.
- Une espérance positive correspond à un gain moyen favorable.
- Une espérance nulle correspond à un jeu équitable.
- L'écart type mesure la dispersion autour de l'espérance.
- Après les calculs, il faut toujours interpréter dans le contexte.