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Nombres et calcul

Calcul littéral

Nombres et calcul

Calcul littéral

Exercices corrigés de calcul littéral disponibles en HTML statique, avec le JavaScript conservé pour l'interactivité.

Exercice 1

Développer puis réduire une expression

Énoncé

On considère A = 3(2x - 5) - 4(x + 1).

1. Développer chaque produit.

2. Réduire l'expression A.

3. Calculer A pour x = 2.

Corrigé détaillé

Question 1
Développement

On distribue le nombre devant chaque parenthèse.

3(2x - 5) = 6x - 15

-4(x + 1) = -4x - 4

Chaque parenthèse a été développée correctement.

Question 2
Réduction

On additionne les termes de même nature.

A = 6x - 15 - 4x - 4

A = (6x - 4x) + (-15 - 4)

A = 2x - 19

La forme réduite est A = 2x - 19.

Question 3
Calcul pour x = 2

On remplace x par 2 dans la forme réduite.

A = 2 x 2 - 19

A = 4 - 19

A = -15

Pour x = 2, on obtient A = -15.

Exercice 2

Utiliser une identité remarquable

Énoncé

On considère B = (x + 4)^2 - (x - 1)(x + 1).

1. Développer (x + 4)^2.

2. Simplifier (x - 1)(x + 1).

3. Réduire B.

Corrigé détaillé

Question 1
Premier développement

On utilise (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.

Ici a = x et b = 4

Le terme du milieu vaut 2 x x x 4 = 8x

(x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16

Le premier carré se developpe en x^2 + 8x + 16.

Question 2
Produit de deux conjugues

On utilise (a - b)(a + b) = a^2 - b^2.

Ici a = x et b = 1
(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1

Le produit vaut x^2 - 1.

Question 3
Réduction finale

On remplace les deux resultats dans B.

B = (x^2 + 8x + 16) - (x^2 - 1)
B = x^2 + 8x + 16 - x^2 + 1

B = 8x + 17

On obtient finalement B = 8x + 17.

Exercice 3

Factoriser puis resoudre

Énoncé

On considère E = 5x(2x - 3) - 4(2x - 3).

1. Factoriser E.

2. Resoudre l équation E = 0.

3. Calculer E pour x = 2.

Corrigé détaillé

Question 1
Mise en evidence du facteur commun

On remarque que le facteur (2x - 3) est present dans les deux termes.

E = 5x(2x - 3) - 4(2x - 3)

E = (2x - 3)(5x - 4)

La forme factorisee est E = (2x - 3)(5x - 4).

Question 2
Resolution de E = 0

Un produit est nul quand au moins un de ses facteurs est nul.

(2x - 3)(5x - 4) = 0

2x - 3 = 0 ou 5x - 4 = 0
x = 3/2 ou x = 4/5

Les solutions sont x = 3/2 et x = 4/5.

Question 3
Calcul numerique

On remplace x par 2 dans la forme la plus simple.

E = (2 x 2 - 3)(5 x 2 - 4)

E = (4 - 3)(10 - 4)

E = 1 x 6 = 6

Pour x = 2, on obtient E = 6.

Exercice 4

Développer puis réduire deux écritures

Énoncé

On considère A = (x + 3)(x - 2) + x(x + 1).

1. Développer (x + 3)(x - 2).

2. Développer x(x + 1) puis réduire A.

3. Calculer A pour x = -1.

Corrigé détaillé

Question 1
Premier développement

On distribue chaque terme du premier facteur.

(x + 3)(x - 2) = x(x - 2) + 3(x - 2)

(x + 3)(x - 2) = x^2 - 2x + 3x - 6
(x + 3)(x - 2) = x^2 + x - 6

Le premier produit se développe en x^2 + x - 6.

Question 2
Réduction de A

On développe le second terme puis on regroupe les termes de même nature.

x(x + 1) = x^2 + x
A = (x^2 + x - 6) + (x^2 + x)
A = x^2 + x - 6 + x^2 + x
A = 2x^2 + 2x - 6

La forme réduite est A = 2x^2 + 2x - 6.

Question 3
Calcul pour x = -1

On remplace x par -1 dans la forme réduite.

A = 2(-1)^2 + 2(-1) - 6
A = 2 x 1 - 2 - 6

A = 2 - 2 - 6

A = -6

Pour x = -1, on obtient A = -6.

Exercice 5

Identités remarquables et factorisation

Énoncé

On considère B = (2x - 5)^2 - (x - 3)^2.

1. Développer les deux carrés.

2. Réduire l'expression B.

3. Factoriser B à partir de la forme réduite.

Corrigé détaillé

Question 1
Développement des carrés

On utilise (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.

(2x - 5)^2 = (2x)^2 - 2 x 2x x 5 + 5^2
(2x - 5)^2 = 4x^2 - 20x + 25
(x - 3)^2 = x^2 - 2 x x x 3 + 3^2
(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9

Les deux carrés sont développés correctement.

Question 2
Réduction de B

On remplace puis on enlève la parenthèse précédée du signe moins.

B = (4x^2 - 20x + 25) - (x^2 - 6x + 9)
B = 4x^2 - 20x + 25 - x^2 + 6x - 9
B = 3x^2 - 14x + 16

On obtient B = 3x^2 - 14x + 16.

Question 3
Factorisation

On cherche deux nombres dont le produit vaut 3 x 16 = 48 et la somme -14.

-6 et -8 conviennent car (-6) + (-8) = -14 et (-6) x (-8) = 48
3x^2 - 14x + 16 = 3x^2 - 6x - 8x + 16
3x^2 - 14x + 16 = 3x(x - 2) - 8(x - 2)
3x^2 - 14x + 16 = (3x - 8)(x - 2)

La forme factorisée est B = (3x - 8)(x - 2).

Exercice 6

Développer puis calculer

Énoncé

On considère A = 4(3x - 2) - (x + 5).

1. Développer chaque terme.

2. Réduire A.

3. Calculer A pour x = -2.

Corrigé détaillé

Question 1
Développement

On distribue le coefficient devant la parenthèse.

4(3x - 2) = 12x - 8

- (x + 5) = -x - 5

Les deux termes sont développés.

Question 2
Réduction

On regroupe les termes de même nature.

A = 12x - 8 - x - 5

A = 11x - 13

La forme réduite est A = 11x - 13.

Question 3
Calcul pour x = -2

On remplace x par -2 dans la forme réduite.

A = 11 x (-2) - 13

A = -22 - 13

A = -35

Pour x = -2, on obtient A = -35.

Exercice 7

Double développement avec parenthèses

Énoncé

On considère B = (2x + 3)(x - 4).

1. Développer B.

2. Réduire B.

3. Calculer B pour x = 5.

Corrigé détaillé

Question 1
Développement du produit

On distribue chaque terme de la première parenthèse.

B = 2x(x - 4) + 3(x - 4)

B = 2x^2 - 8x + 3x - 12

Le produit est développé.

Question 2
Réduction

On additionne les termes en x.

B = 2x^2 - 5x - 12

La forme réduite est B = 2x^2 - 5x - 12.

Question 3
Calcul numérique

On remplace x par 5.

B = 2 x 5^2 - 5 x 5 - 12
B = 2 x 25 - 25 - 12

B = 50 - 25 - 12

B = 13

Pour x = 5, on obtient B = 13.

Exercice 8

Factoriser par facteur commun

Énoncé

On considère C = 7x^2 - 21x.

1. Mettre le facteur commun en évidence.

2. Factoriser C.

3. Résoudre C = 0.

Corrigé détaillé

Question 1
Recherche du facteur commun

Les deux termes contiennent 7x.

7x^2 = 7x x x
-21x = 7x x (-3)

Le facteur commun est 7x.

Question 2
Factorisation

On met 7x en facteur.

C = 7x(x - 3)

La forme factorisée est C = 7x(x - 3).

Question 3
Équation produit

Un produit est nul si l'un des facteurs est nul.

7x(x - 3) = 0

7x = 0 ou x - 3 = 0
x = 0 ou x = 3

Les solutions sont x = 0 et x = 3.

Exercice 9

Identité remarquable et calcul

Énoncé

On considère D = (x + 6)^2.

1. Développer D.

2. Calculer D pour x = -1.

3. Vérifier le résultat avec l'expression initiale.

Corrigé détaillé

Question 1
Développement

On utilise (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.

(x + 6)^2 = x^2 + 2 x x x 6 + 6^2
(x + 6)^2 = x^2 + 12x + 36

On obtient D = x^2 + 12x + 36.

Question 2
Calcul avec la forme développée

On remplace x par -1.

D = (-1)^2 + 12(-1) + 36

D = 1 - 12 + 36

D = 25

On trouve D = 25.

Question 3
Vérification

On contrôle avec l'expression de départ.

D = (-1 + 6)^2
D = 5^2

D = 25

Le résultat est cohérent.

Exercice 10

Réduire une expression à deux variables

Énoncé

On considère E = 3a - 2b + 5a + 7b - 4a.

1. Regrouper les termes en a.

2. Regrouper les termes en b.

3. Réduire E puis calculer pour a = 2 et b = -1.

Corrigé détaillé

Question 1
Termes en a

On isole les termes qui contiennent a.

3a + 5a - 4a = 4a

Les termes en a donnent 4a.

Question 2
Termes en b

On isole les termes qui contiennent b.

-2b + 7b = 5b

Les termes en b donnent 5b.

Question 3
Réduction puis calcul

On remplace ensuite a et b.

E = 4a + 5b

E = 4 x 2 + 5 x (-1)

E = 8 - 5

E = 3

On obtient E = 4a + 5b puis E = 3 pour a = 2 et b = -1.