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Géométrie du plan

Droite du plan

Géométrie du plan

Droite du plan

Exercices corrigés de droite du plan disponibles en HTML statique, avec le JavaScript conservé pour l'interactivité.

Exercice 1

Équation d'une droite

Énoncé

On considère la droite d d équation y = 2x - 3.

1. Dire si A(0 ; -3) appartient a d.

2. Dire si B(2 ; 1) appartient a d.

3. Donner un troisieme point de d.

Corrigé détaillé

Question 1
Test du point A

On remplace x par 0 dans l équation.

Si x = 0, alors y = 2 x 0 - 3 = -3

Le point A(0 ; -3) verifie l équation

Le point A appartient a d.

Question 2
Test du point B

On remplace x par 2.

Si x = 2, alors y = 2 x 2 - 3 = 1

Le point B(2 ; 1) verifie aussi l équation

Le point B appartient a d.

Question 3
Recherche d'un autre point

On choisit une valeur simple de x.

Si x = 1, alors y = 2 x 1 - 3 = -1

Le point C(1 ; -1) appartient a d

Par exemple C(1 ; -1) est sur la droite.

Exercice 2

Alignement de trois points

Énoncé

On considère A(0 ; 1), B(2 ; 5) et C(3 ; 7).

1. Chercher une équation de la droite (AB).

2. Verifier que B appartient a cette droite.

3. Dire si C est aligne avec A et B.

Corrigé détaillé

Question 1
Équation de (AB)

On remarque que quand x augmente de 2, y augmente de 4, donc le coefficient directeur est 2.

On cherche une équation de la forme y = 2x + b
Comme A(0 ; 1) appartient a la droite, 1 = 2 x 0 + b

Donc b = 1

La droite (AB) a pour équation y = 2x + 1

Une équation de (AB) est y = 2x + 1.

Question 2
Verification pour B

On remplace x = 2.

2 x 2 + 1 = 5

Le point B appartient bien a la droite.

Question 3
Test pour C

On remplace x = 3 dans l équation.

2 x 3 + 1 = 7

Le point C(3 ; 7) verifie l équation

Les trois points A, B et C sont alignes.

Exercice 3

Trouver une équation réduite

Énoncé

On considère les points A(0 ; 2) et B(4 ; 0).

1. Calculer le coefficient directeur de la droite (AB).

2. Donner une équation réduite de (AB).

3. Verifier que le point M(2 ; 1) appartient a la droite.

Corrigé détaillé

Question 1
Coefficient directeur

On calcule la variation de y sur la variation de x.

m = (0 - 2) / (4 - 0)
m = -2/4 = -1/2

Le coefficient directeur vaut -1/2.

Question 2
Équation réduite

On cherche une équation de la forme y = -1/2 x + b.

Comme A(0 ; 2) appartient a la droite, 2 = -1/2 x 0 + b

Donc b = 2

Une équation réduite est y = -1/2 x + 2

La droite (AB) a pour équation y = -1/2 x + 2.

Question 3
Verification du point M

On remplace x = 2 dans l équation.

y = -1/2 x 2 + 2 = -1 + 2 = 1

Le point M(2 ; 1) appartient bien a la droite.

Exercice 4

Équation réduite d'une droite

Énoncé

On considère la droite passant par A(1 ; 3) et B(5 ; 1).

1. Calculer son coefficient directeur.

2. Déterminer une équation réduite de la droite.

3. Dire si le point M(3 ; 2) appartient à cette droite.

Corrigé détaillé

Question 1
Coefficient directeur

On calcule la variation des ordonnées sur la variation des abscisses.

m = (1 - 3) / (5 - 1)
m = -2 / 4
m = -1/2

Le coefficient directeur vaut -1/2.

Question 2
Équation réduite

On cherche une équation de la forme y = -1/2 x + b.

Comme A(1 ; 3) appartient à la droite, 3 = -1/2 x 1 + b
3 = -1/2 + b
b = 3 + 1/2 = 7/2

Une équation réduite est y = -1/2 x + 7/2.

Question 3
Vérification du point M

On remplace x = 3 dans l'équation trouvée.

y = -1/2 x 3 + 7/2
y = -3/2 + 7/2
y = 4/2 = 2

On retrouve bien l'ordonnée 2, donc M appartient à la droite.

Exercice 5

Deux droites parallèles ou non

Énoncé

On considère d1 : y = 2x - 1 et d2 passant par C(0 ; 3) et D(2 ; 7).

1. Calculer le coefficient directeur de d2.

2. Dire si d1 et d2 sont parallèles.

3. Donner une équation réduite de d2.

Corrigé détaillé

Question 1
Coefficient directeur de d2

On utilise les coordonnées de C et D.

m_2 = (7 - 3) / (2 - 0)
m_2 = 4/2 = 2

Le coefficient directeur de d2 vaut 2.

Question 2
Parallélisme

Deux droites non verticales sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur.

Le coefficient directeur de d1 vaut 2

Le coefficient directeur de d2 vaut aussi 2

Les droites d1 et d2 sont parallèles.

Question 3
Équation de d2

On cherche une équation de la forme y = 2x + b.

Comme C(0 ; 3) appartient à d2, 3 = 2 x 0 + b

b = 3

Une équation réduite de d2 est y = 2x + 3.

Exercice 6

Équation réduite à partir d'un point et d'un coefficient

Énoncé

On considère la droite d de coefficient directeur 3 passant par A(1 ; 2).

1. Écrire d sous la forme y = 3x + b.

2. Déterminer b.

3. Donner l'équation réduite de d.

Corrigé détaillé

Question 1
Forme générale

Une droite de coefficient directeur 3 s'écrit y = 3x + b.

y = 3x + b

On part bien de la bonne forme.

Question 2
Calcul de b

Comme A appartient à d, ses coordonnées vérifient l'équation.

2 = 3 x 1 + b

2 = 3 + b

b = -1

On obtient b = -1.

Question 3
Équation réduite

On remplace b par sa valeur.

y = 3x - 1

L'équation réduite de d est y = 3x - 1.

Exercice 7

Vérifier l'appartenance à une droite

Énoncé

On considère la droite d d'équation y = -2x + 5.

1. Dire si A(1 ; 3) appartient à d.

2. Dire si B(2 ; 2) appartient à d.

3. Donner un troisième point C de d.

Corrigé détaillé

Question 1
Test du point A

On remplace x par 1 dans l'équation.

y = -2 x 1 + 5 = 3

Le point A appartient à d.

Question 2
Test du point B

On remplace x par 2.

y = -2 x 2 + 5 = 1

1 n'est pas égal à 2

Le point B n'appartient pas à d.

Question 3
Exemple d'un point

On choisit une abscisse simple.

Si x = 0, alors y = 5

Par exemple, le point C(0 ; 5) appartient à d.

Exercice 8

Droite passant par deux points

Énoncé

On considère A(0 ; 4) et B(3 ; 1).

1. Calculer le coefficient directeur de (AB).

2. Déterminer une équation réduite de (AB).

3. Vérifier que B appartient bien à la droite trouvée.

Corrigé détaillé

Question 1
Coefficient directeur

On applique la formule (y_B - y_A)/(x_B - x_A).

m = (1 - 4)/(3 - 0)
m = -3/3

m = -1

Le coefficient directeur vaut -1.

Question 2
Équation réduite

On écrit y = -x + b puis on utilise le point A.

4 = -0 + b

b = 4

y = -x + 4

Une équation réduite de (AB) est y = -x + 4.

Question 3
Vérification

On teste le point B.

Pour x = 3, y = -3 + 4 = 1

Le point B appartient bien à la droite.

Exercice 9

Droites parallèles

Énoncé

On considère d1 : y = 4x - 3 et d2 : y = 4x + 2.

1. Donner le coefficient directeur de chaque droite.

2. Dire si d1 et d2 sont parallèles.

3. Dire si elles sont confondues.

Corrigé détaillé

Question 1
Coefficients directeurs

Dans y = mx + p, le coefficient directeur est m.

m1 = 4

m2 = 4

Les deux coefficients directeurs valent 4.

Question 2
Parallélisme

Deux droites non verticales sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur.

m1 = m2

Les droites d1 et d2 sont parallèles.

Question 3
Confondues ou non

Deux droites parallèles sont confondues seulement si elles ont aussi la même ordonnée à l'origine.

-3 \ne 2

Les droites ne sont pas confondues.

Exercice 10

Construire une droite à partir de deux points simples

Énoncé

On considère M(-2 ; -1) et N(2 ; 3).

1. Calculer le coefficient directeur de (MN).

2. Déterminer une équation réduite de (MN).

3. Dire si P(0 ; 1) appartient à (MN).

Corrigé détaillé

Question 1
Coefficient directeur

On applique la formule usuelle.

m = (3 - (-1))/(2 - (-2))
m = 4/4

m = 1

Le coefficient directeur vaut 1.

Question 2
Équation réduite

On écrit y = x + b et on utilise M.

-1 = -2 + b

b = 1

y = x + 1

Une équation réduite de (MN) est y = x + 1.

Question 3
Appartenance du point P

On teste x = 0.

Si x = 0, alors y = 0 + 1 = 1

Le point P(0 ; 1) appartient à (MN).