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Statistiques et probabilités

Échantillonnage

Statistiques et probabilités

Échantillonnage

Exercices corrigés de échantillonnage disponibles en HTML statique, avec le JavaScript conservé pour l'interactivité.

Exercice 1

Frequence dans un echantillon

Énoncé

Dans un echantillon de 80 personnes, 28 declarent pratiquer un sport en club.

1. Donner l effectif total.

2. Donner l effectif favorable.

3. Calculer la frequence observee.

Corrigé détaillé

Question 1
Effectif total

Il est donne directement dans l enonce.

L effectif total est 80

On retient n = 80.

Question 2
Effectif favorable

Il s agit du nombre de personnes qui pratiquent un sport en club.

L effectif favorable est 28

On retient 28 succès.

Question 3
Frequence observee

On divise l effectif favorable par l effectif total.

f = 28 / 80

f = 0.35

La frequence observee est 0.35, soit 35 %.

Exercice 2

Comparer une frequence a une proportion attendue

Énoncé

On sait qu environ 40 % des eleves d'un lycee sont demi-pensionnaires.

Dans un echantillon de 100 eleves, on en observe 47.

1. Calculer la frequence observee.

2. Calculer l intervalle de fluctuation approche p - 1/sqrt(n) ; p + 1/sqrt(n).

3. Dire si l observation est compatible avec p = 0.40.

Corrigé détaillé

Question 1
Frequence observee

On divise 47 par 100.

f = 47 / 100 = 0.47

La frequence observee vaut 0.47.

Question 2
Intervalle approche

Ici p = 0.40 et n = 100.

1/sqrt(100) = 1/10 = 0.10
borne basse = 0.40 - 0.10 = 0.30
borne haute = 0.40 + 0.10 = 0.50

L intervalle approche est [0.30 ; 0.50].

Question 3
Conclusion

On regarde si 0.47 appartient a l intervalle.

0.30 <= 0.47 <= 0.50

Oui, l observation est compatible avec la proportion 0.40.

Exercice 3

Controle d'une proportion par echantillon

Énoncé

Une usine annonce que 92 % de ses ampoules sont conformes.

On preleve un echantillon de 100 ampoules et on en trouve 88 conformes.

1. Calculer la frequence observee.

2. Calculer l intervalle approche [p - 1/sqrt(n) ; p + 1/sqrt(n)].

3. Dire si le resultat observe est coherent avec l annonce.

Corrigé détaillé

Question 1
Frequence observee

On divise le nombre d ampoules conformes par la taille de l echantillon.

f = 88 / 100 = 0.88

La frequence observee vaut 0.88.

Question 2
Intervalle approche

Ici p = 0.92 et n = 100.

1/sqrt(100) = 0.10
borne basse = 0.92 - 0.10 = 0.82
borne haute = 0.92 + 0.10 = 1.02

L intervalle approche est [0.82 ; 1.02].

Question 3
Conclusion

On verifie si 0.88 appartient a cet intervalle.

0.82 <= 0.88 <= 1.02

Oui, le resultat observe est coherent avec l annonce.

Exercice 4

Intervalle de fluctuation approché

Énoncé

On suppose qu'une proportion vaut p = 0.35 et on prélève un échantillon de taille n = 100.

1. Calculer 1/sqrt(n).

2. Déterminer l'intervalle approché [p - 1/sqrt(n) ; p + 1/sqrt(n)].

3. Dire si une fréquence observée 0.29 est compatible avec ce modèle.

Corrigé détaillé

Question 1
Calcul de 1/sqrt(n)

Ici n = 100.

1/sqrt(100) = 1/10 = 0.10

On obtient 1/sqrt(n) = 0.10.

Question 2
Intervalle

On soustrait puis on ajoute 0.10 à 0.35.

borne basse = 0.35 - 0.10 = 0.25
borne haute = 0.35 + 0.10 = 0.45

L'intervalle de fluctuation approché est [0.25 ; 0.45].

Question 3
Compatibilité

On vérifie si 0.29 appartient à l'intervalle.

0.25 <= 0.29 <= 0.45

La fréquence 0.29 est compatible avec le modèle.

Exercice 5

Tester une annonce statistique

Énoncé

Un club affirme que 60 % de ses adhérents viennent en vélo.

On interroge 200 adhérents et 102 répondent venir en vélo.

1. Calculer la fréquence observée.

2. Calculer l'intervalle approché autour de p = 0.60 pour n = 200.

3. Dire si l'annonce du club semble cohérente.

Corrigé détaillé

Question 1
Fréquence observée

On divise l'effectif favorable par l'effectif total.

f = 102 / 200 = 0.51

La fréquence observée vaut 0.51.

Question 2
Intervalle approché

On commence par calculer 1/sqrt(200).

sqrt(200) \approx 14.14

1/sqrt(200) \approx 0.071

borne basse \approx 0.60 - 0.071 = 0.529

borne haute \approx 0.60 + 0.071 = 0.671

On obtient environ [0.529 ; 0.671].

Question 3
Conclusion

On compare la fréquence observée à l'intervalle obtenu.

0.51 < 0.529

La fréquence observée est en dehors de l'intervalle : l'annonce ne semble pas cohérente avec cet échantillon.

Exercice 6

Intervalle de fluctuation autour de 0.4

Énoncé

On suppose qu'une proportion vaut p = 0.4 et que n = 100.

1. Calculer 1/sqrt(n).

2. Déterminer l'intervalle de fluctuation approché.

3. Dire si 0.46 est compatible avec ce modèle.

Corrigé détaillé

Question 1
Calcul de 1/sqrt(n)

Comme n = 100, on utilise sqrt(100) = 10.

1/sqrt(100) = 1/10 = 0.1

On obtient 0.1.

Question 2
Intervalle

On calcule p - 0.1 et p + 0.1.

0.4 - 0.1 = 0.3

0.4 + 0.1 = 0.5

L'intervalle est [0.3 ; 0.5].

Question 3
Compatibilité

On vérifie si 0.46 appartient à l'intervalle.

0.3 <= 0.46 <= 0.5

La fréquence 0.46 est compatible avec le modèle.

Exercice 7

Tester une proportion annoncée

Énoncé

On annonce qu'une proportion vaut p = 0.55. On interroge n = 400 personnes.

1. Calculer 1/sqrt(400).

2. Déterminer l'intervalle de fluctuation approché.

3. Dire si une fréquence observée 0.49 est compatible.

Corrigé détaillé

Question 1
Calcul de 1/sqrt(400)

On sait que sqrt(400) = 20.

1/sqrt(400) = 1/20 = 0.05

On obtient 0.05.

Question 2
Intervalle

On calcule 0.55 - 0.05 et 0.55 + 0.05.

borne basse = 0.50

borne haute = 0.60

L'intervalle est [0.50 ; 0.60].

Question 3
Décision

On compare 0.49 à l'intervalle.

0.49 < 0.50

La fréquence 0.49 n'est pas compatible avec l'annonce.

Exercice 8

Échantillon de taille 225

Énoncé

On a p = 0.3 et n = 225.

1. Calculer 1/sqrt(n).

2. Déterminer l'intervalle approché.

3. Dire si 0.21 appartient à cet intervalle.

Corrigé détaillé

Question 1
Calcul de 1/sqrt(225)

On sait que sqrt(225) = 15.

1/sqrt(225) = 1/15
1/sqrt(225) \approx 0.067

On obtient environ 0.067.

Question 2
Intervalle

On ajoute et on enlève 0.067 à 0.3.

borne basse \approx 0.3 - 0.067 = 0.233

borne haute \approx 0.3 + 0.067 = 0.367

L'intervalle approché est [0.233 ; 0.367].

Question 3
Appartenance

On compare 0.21 à la borne basse.

0.21 < 0.233

La fréquence 0.21 n'appartient pas à l'intervalle.

Exercice 9

Lire un intervalle de fluctuation

Énoncé

Pour un modèle donné, on obtient l'intervalle de fluctuation [0.42 ; 0.58].

1. Dire si 0.5 est compatible.

2. Dire si 0.61 est compatible.

3. Dire si 0.42 est compatible.

Corrigé détaillé

Question 1
Fréquence centrale

On vérifie l'appartenance à l'intervalle.

0.42 <= 0.5 <= 0.58

La fréquence 0.5 est compatible.

Question 2
Fréquence trop grande

On compare 0.61 à la borne haute.

0.61 > 0.58

La fréquence 0.61 n'est pas compatible.

Question 3
Cas de la borne

La borne 0.42 appartient à l'intervalle fermé.

0.42 appartient à [0.42 ; 0.58]

La fréquence 0.42 est compatible.

Exercice 10

Décision à partir d'un sondage

Énoncé

Une entreprise affirme que 70 % des clients sont satisfaits.

Sur 100 clients interrogés, 62 se disent satisfaits.

1. Calculer la fréquence observée.

2. Déterminer l'intervalle de fluctuation autour de p = 0.70.

3. Conclure.

Corrigé détaillé

Question 1
Fréquence observée

On divise le nombre de réponses favorables par l'effectif total.

f = 62/100

f = 0.62

La fréquence observée vaut 0.62.

Question 2
Intervalle attendu

Pour n = 100, on a 1/sqrt(n) = 0.1.

borne basse = 0.70 - 0.10 = 0.60
borne haute = 0.70 + 0.10 = 0.80

L'intervalle de fluctuation est [0.60 ; 0.80].

Question 3
Conclusion

On compare 0.62 à l'intervalle.

0.60 <= 0.62 <= 0.80

L'observation est compatible avec l'affirmation de l'entreprise.