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Nombres et calcul

Équation, inéquation

Nombres et calcul

Équation, inéquation

Exercices corrigés de équation, inéquation disponibles en HTML statique, avec le JavaScript conservé pour l'interactivité.

Exercice 1

Resoudre une équation du premier degré

Énoncé

On considère l équation 3x + 5 = 20.

1. Soustraire 5 dans les deux membres.

2. Isoler x.

3. Verifier la solution.

Corrigé détaillé

Question 1
Premier passage

On garde l egalite en faisant la même operation des deux cotes.

3x + 5 - 5 = 20 - 5

3x = 15

L équation se simplifie en 3x = 15.

Question 2
Isolement de x

On divise les deux membres par 3.

x = 15 / 3
x = 5

La solution est x = 5.

Question 3
Verification

On remplace x par 5 dans l équation de depart.

3 x 5 + 5 = 15 + 5

15 + 5 = 20

La verification est correcte, donc x = 5 est bien la solution.

Exercice 2

Resoudre une inequation simple

Énoncé

On considère l inequation 4x - 7 <= 9.

1. Ajouter 7 dans les deux membres.

2. Diviser par 4.

3. Donner l ensemble solution.

Corrigé détaillé

Question 1
Premier passage

On fait la même operation dans les deux membres.

4x - 7 + 7 <= 9 + 7
4x <= 16

On obtient 4x <= 16.

Question 2
Division par un nombre positif

Comme 4 est positif, le sens de l inégalité ne change pas.

x <= 16 / 4
x <= 4

La condition sur x est x <= 4.

Question 3
Ensemble solution

On traduit la réponse sous forme d intervalle.

Tous les réels inferieurs ou égaux a 4 conviennent

L ensemble solution est ]-∞ ; 4]

La solution de l inequation est ]-∞ ; 4].

Exercice 3

Inequation produit et interprétation

Énoncé

On considère P(x) = (x - 3)(x + 2).

1. Resoudre P(x) = 0.

2. Étudier le signe de P(x) sur les intervalles determines par -2 et 3.

3. Resoudre P(x) < 0.

Corrigé détaillé

Question 1
Équation produit

Un produit est nul si un des facteurs est nul.

x - 3 = 0 donne x = 3
x + 2 = 0 donne x = -2

Les zeros de P sont -2 et 3.

Question 2
Signe du produit

On étudie le signe de chaque facteur sur ]-∞ ; -2[, ]-2 ; 3[ et ]3 ; +∞[.

Si x < -2, alors x - 3 < 0 et x + 2 < 0, donc P(x) > 0
Si -2 < x < 3, alors x - 3 < 0 et x + 2 > 0, donc P(x) < 0

Si x > 3, alors les deux facteurs sont positifs, donc P(x) > 0

Le produit est positif a l extérieur des racines et négatif entre elles.

Question 3
Resolution de l inequation

On garde seulement l intervalle ou le produit est strictement négatif.

P(x) < 0 pour -2 < x < 3

La solution est ]-2 ; 3[.

Exercice 4

Résoudre une équation avec parenthèses

Énoncé

On considère l'équation 4(x - 3) + 5 = 2x + 9.

1. Développer et simplifier chaque membre.

2. Résoudre l'équation.

3. Vérifier la solution.

Corrigé détaillé

Question 1
Développement

On développe le membre de gauche.

4(x - 3) + 5 = 4x - 12 + 5

4(x - 3) + 5 = 4x - 7

L'équation devient 4x - 7 = 2x + 9.

Question 2
Résolution

On regroupe les x d'un côté et les nombres de l'autre.

4x - 7 = 2x + 9

4x - 2x = 9 + 7
2x = 16
x = 8

La solution est x = 8.

Question 3
Vérification

On remplace x par 8 dans l'équation de départ.

4(8 - 3) + 5 = 4 x 5 + 5 = 25
2 x 8 + 9 = 16 + 9 = 25

Les deux membres sont égaux, donc x = 8 convient.

Exercice 5

Résoudre une inéquation

Énoncé

On considère l'inéquation 3x - 4 <= 2x + 5.

1. Regrouper les termes en x dans un même membre.

2. Résoudre l'inéquation.

3. Donner l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.

Corrigé détaillé

Question 1
Regroupement

On soustrait 2x dans les deux membres.

3x - 4 <= 2x + 5
3x - 2x - 4 <= 5
x - 4 <= 5

On obtient x - 4 <= 5.

Question 2
Résolution

On ajoute 4 dans les deux membres.

x - 4 + 4 <= 5 + 4
x <= 9

L'inéquation est résolue : x <= 9.

Question 3
Intervalle solution

Tous les nombres inférieurs ou égaux à 9 conviennent.

S = ]-∞ ; 9]

L'ensemble des solutions est ]-∞ ; 9].

Exercice 6

Équation du premier degré

Énoncé

Résoudre 3x + 7 = 22.

1. Isoler le terme en x.

2. Donner la solution.

3. Vérifier la solution.

Corrigé détaillé

Question 1
Isolement du terme en x

On soustrait 7 aux deux membres.

3x + 7 = 22

3x = 15

Le terme en x est isolé.

Question 2
Résolution

On divise par 3.

x = 15/3
x = 5

La solution est x = 5.

Question 3
Vérification

On remplace x par 5 dans l'équation initiale.

3 x 5 + 7 = 15 + 7 = 22

La vérification est correcte.

Exercice 7

Équation produit

Énoncé

Résoudre (x - 4)(x + 1) = 0.

1. Utiliser la propriété du produit nul.

2. Donner les solutions.

3. Vérifier l'une des deux solutions.

Corrigé détaillé

Question 1
Produit nul

Un produit est nul si un facteur est nul.

x - 4 = 0 ou x + 1 = 0

On obtient deux équations simples.

Question 2
Résolution

On résout chacune des deux équations.

x = 4 ou x = -1

Les solutions sont x = 4 et x = -1.

Question 3
Vérification

On remplace par exemple x par 4.

(4 - 4)(4 + 1) = 0 x 5 = 0

La valeur x = 4 convient bien.

Exercice 8

Inéquation avec coefficient positif

Énoncé

Résoudre 5x - 3 > 12.

1. Isoler le terme en x.

2. Donner la solution.

3. Écrire l'ensemble solution.

Corrigé détaillé

Question 1
Isolement

On ajoute 3 aux deux membres.

5x - 3 > 12

5x > 15

Le terme en x est isolé.

Question 2
Division

Comme 5 est positif, le sens de l'inégalité ne change pas.

x > 15/5

x > 3

La condition est x > 3.

Question 3
Ensemble solution

On traduit l'inégalité en intervalle.

S = ]3 ; +∞[

L'ensemble solution est ]3 ; +∞[.

Exercice 9

Inéquation avec coefficient négatif

Énoncé

Résoudre -2x + 5 <= 1.

1. Isoler le terme en x.

2. Diviser par un nombre négatif.

3. Donner l'ensemble solution.

Corrigé détaillé

Question 1
Isolement

On soustrait 5 aux deux membres.

-2x + 5 <= 1
-2x <= -4

Le terme en x est isolé.

Question 2
Division par un négatif

En divisant par -2, on change le sens de l'inégalité.

x >= (-4)/(-2)
x >= 2

On obtient x >= 2.

Question 3
Ensemble solution

On traduit en intervalle.

S = [2 ; +∞[

L'ensemble solution est [2 ; +∞[.

Exercice 10

Double inéquation

Énoncé

Résoudre -1 < 2x + 3 <= 9.

1. Soustraire 3 aux trois membres.

2. Diviser par 2.

3. Donner l'ensemble solution.

Corrigé détaillé

Question 1
Première transformation

On soustrait 3 partout.

-1 - 3 < 2x + 3 - 3 <= 9 - 3
-4 < 2x <= 6

On obtient -4 < 2x <= 6.

Question 2
Division par 2

Comme 2 est positif, le sens des inégalités ne change pas.

-2 < x <= 3

La condition sur x est -2 < x <= 3.

Question 3
Ensemble solution

On écrit la réponse sous forme d'intervalle.

S = ]-2 ; 3]

L'ensemble solution est ]-2 ; 3].