MathSups - Seconde - Fonctions - Les fonctions de référence

Exercice 1

Comparer des fonctions de reference

Énoncé

On considère les fonctions carré c(x) = x^2 et inverse i(x) = 1/x.

1. Calculer c(3).

2. Calculer i(2).

3. Dire laquelle des deux valeurs est la plus grande.

Corrigé détaillé

Question 1

Fonction carré

On eleve 3 au carré.

c(3) = 3^2 c(3) = 9

On obtient c(3) = 9.

Question 2

Fonction inverse

On calcule l inverse de 2.

i(2) = 1/2

On obtient i(2) = 1/2.

Question 3

Comparaison

On compare 9 et 1/2.

9 est plus grand que 1/2

La valeur c(3) est plus grande.

Exercice 2

Fonction affine et fonction carré

Énoncé

On considère f(x) = x + 2 et g(x) = x^2.

1. Calculer f(-3) et g(-3).

2. Calculer f(1) et g(1).

3. Dire si f et g donnent toujours la même image.

Corrigé détaillé

Question 1

Valeurs en -3

On remplace x par -3 dans chaque formule.

f(-3) = -3 + 2 = -1 g(-3) = (-3)^2 = 9

Pour x = -3, les images sont -1 et 9.

Question 2

Valeurs en 1

On remplace x par 1.

f(1) = 1 + 2 = 3 g(1) = 1^2 = 1

Pour x = 1, les images sont 3 et 1.

Question 3

Conclusion

On compare les resultats trouves.

En -3, les images sont differentes

En 1, les images sont encore differentes

Les fonctions f et g ne donnent pas toujours la même image.

Exercice 3

Melange de fonctions de reference

Énoncé

On considère les fonctions u(x) = x^2, v(x) = 1/x et w(x) = sqrt(x).

1. Calculer u(-4), v(4) et w(4).

2. Comparer u(2) et w(4).

3. Dire pour quelle valeur de x la fonction v n'est pas définie.

Corrigé détaillé

Question 1

Calculs directs

On applique simplement chaque formule.

u(-4) = (-4)^2 = 16 v(4) = 1/4 w(4) = sqrt(4) = 2

On obtient 16, 1/4 et 2.

Question 2

Comparaison

On calcule les deux valeurs demandees.

u(2) = 2^2 = 4

w(4) = 2

Donc u(2) > w(4)

On a u(2) > w(4).

Question 3

Ensemble de définition de v

La fonction inverse n'est pas définie quand le dénominateur est nul.

1/x n a pas de sens pour x = 0

La fonction v n'est pas définie en 0.

Exercice 4

Comparer carré, inverse et racine carrée

Énoncé

On considère u(x) = x^2, v(x) = 1/x et w(x) = sqrt(x).

1. Calculer u(1/2).

2. Calculer v(4) et w(4).

3. Comparer u(1/2), v(4) et w(4).

Corrigé détaillé

Question 1

Valeur de u(1/2)

On élève 1/2 au carré.

u(1/2) = (1/2)^2 u(1/2) = 1/4

On obtient u(1/2) = 1/4.

Question 2

Valeurs de v(4) et w(4)

On applique les définitions.

v(4) = 1/4 w(4) = sqrt(4) = 2

On obtient v(4) = 1/4 et w(4) = 2.

Question 3

Comparaison

On compare les trois nombres calculés.

u(1/2) = 1/4 v(4) = 1/4

w(4) = 2

Donc u(1/2) = v(4) < w(4)

Les deux premières valeurs sont égales et plus petites que la troisième.

Exercice 5

Résoudre une égalité entre fonctions de référence

Énoncé

On considère f(x) = x^2 et g(x) = x + 2.

1. Calculer f(2) et g(2).

2. Résoudre l'équation x^2 = x + 2.

3. Donner les abscisses où les deux fonctions ont la même image.

Corrigé détaillé

Question 1

Valeurs en 2

On remplace x par 2.

f(2) = 2^2 = 4 g(2) = 2 + 2 = 4

Pour x = 2, les deux fonctions ont déjà la même image.

Question 2

Résolution de l'équation

On regroupe tout dans le même membre.

x^2 = x + 2 x^2 - x - 2 = 0 x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) Donc x = 2 ou x = -1

Les solutions sont x = 2 et x = -1.

Question 3

Interprétation

Les abscisses cherchées sont précisément les solutions de l'équation précédente.

Les deux fonctions ont la même image pour x = -1 et pour x = 2

Les abscisses communes sont -1 et 2.

Exercice 6

Affine, carré et inverse

Énoncé

On considère f(x) = 3x - 2, g(x) = x^2 et h(x) = 1/x.

1. Calculer f(2), g(-3) et h(4).

2. Comparer g(2) et g(-2).

3. Dire pour quelle valeur h n'est pas définie.

Corrigé détaillé

Question 1

Calculs directs

On applique directement chaque formule.

f(2) = 3 x 2 - 2 = 6 - 2 = 4 g(-3) = (-3)^2 = 9 h(4) = 1/4

On obtient 4, 9 et 1/4.

Question 2

Comparaison dans la fonction carré

La fonction carré donne la même image à 2 et -2.

g(2) = 2^2 = 4 g(-2) = (-2)^2 = 4

On a g(2) = g(-2).

Question 3

Ensemble de définition de h

La fonction inverse n'est pas définie pour x = 0.

h(x) = 1/x Le dénominateur vaut 0 si x = 0

La fonction h n'est pas définie en 0.

Exercice 7

Racine carrée et valeurs possibles

Énoncé

On considère u(x) = sqrt(x) et v(x) = x^2.

1. Calculer u(1), u(9) et v(-5).

2. Dire si u(-4) existe.

3. Résoudre v(x) = 16.

Corrigé détaillé

Question 1

Calculs de base

On applique les définitions des fonctions de référence.

u(1) = sqrt(1) = 1 u(9) = sqrt(9) = 3 v(-5) = (-5)^2 = 25

On obtient 1, 3 et 25.

Question 2

Image éventuelle de -4 par u

La racine carrée d'un nombre négatif n'est pas définie dans R.

-4 < 0

La valeur u(-4) n'existe pas dans les réels.

Question 3

Résolution de v(x) = 16

On résout x^2 = 16.

x^2 = 16 x = -4 ou x = 4

Les solutions sont x = -4 et x = 4.

Exercice 8

Fonctions cube et affine

Énoncé

On considère a(x) = x^3 et b(x) = -x + 5.

1. Calculer a(-2), a(3) et b(6).

2. Chercher l'antécédent de 1 par b.

3. Comparer a(2) et b(2).

Corrigé détaillé

Question 1

Images demandées

On remplace x par les valeurs indiquées.

a(-2) = (-2)^3 = -8 a(3) = 3^3 = 27 b(6) = -6 + 5 = -1

Les valeurs obtenues sont -8, 27 et -1.

Question 2

Antécédent de 1 par b

On résout b(x) = 1.

-x + 5 = 1

-x = -4 x = 4

L'antécédent de 1 par b est 4.

Question 3

Comparaison en 2

On calcule les deux images en 2.

a(2) = 2^3 = 8 b(2) = -2 + 5 = 3

8 > 3

On a donc a(2) > b(2).

Exercice 9

Mélange affine, inverse et racine

Énoncé

On considère f(x) = 2x + 1, g(x) = 1/x et h(x) = sqrt(x).

1. Calculer f(-1), g(-2) et h(16).

2. Résoudre f(x) = 9.

3. Comparer g(2) et g(5).

Corrigé détaillé

Question 1

Calculs des images

On applique directement les expressions des fonctions.

f(-1) = 2 x (-1) + 1 = -2 + 1 = -1 g(-2) = 1/(-2) = -1/2 h(16) = sqrt(16) = 4

On obtient -1, -1/2 et 4.

Question 2

Équation f(x) = 9

On résout 2x + 1 = 9.

2x + 1 = 9

2x = 8 x = 4

La solution est x = 4.

Question 3

Comparaison de deux inverses

On calcule les deux valeurs.

g(2) = 1/2 g(5) = 1/5 1/2 > 1/5

On a donc g(2) > g(5).

Exercice 10

Étude d'une fonction de référence sur un domaine

Énoncé

On considère p(x) = x^2 et q(x) = sqrt(x + 1).

1. Calculer p(-4), p(1) et q(8).

2. Dire pour quelles valeurs de x la fonction q est définie.

3. Résoudre p(x) = q(8).

Corrigé détaillé

Question 1

Calculs demandés

On remplace dans chaque fonction.

p(-4) = (-4)^2 = 16 p(1) = 1^2 = 1 q(8) = sqrt(8 + 1) = sqrt(9) = 3

On obtient 16, 1 et 3.

Question 2

Définition de q

Pour une racine carrée, l'intérieur doit être positif ou nul.

x + 1 >= 0 x >= -1

La fonction q est définie pour x >= -1.

Question 3

Résolution de p(x) = q(8)

On remplace d'abord q(8) par sa valeur.

p(x) = q(8) x^2 = 3 x = -sqrt(3) ou x = sqrt(3)

Les solutions sont x = -sqrt(3) et x = sqrt(3).