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Nombres et calcul

Fraction, puissance, racine carrée

Nombres et calcul

Fraction, puissance, racine carrée

Exercices corrigés de fraction, puissance, racine carrée disponibles en HTML statique, avec le JavaScript conservé pour l'interactivité.

Exercice 1

Calculer avec des fractions

Énoncé

On considère C = 3/4 + 5/6.

1. Donner un dénominateur commun.

2. Ecrire les deux fractions avec ce dénominateur.

3. Calculer C.

Corrigé détaillé

Question 1
Choix du dénominateur commun

On cherche un multiple commun de 4 et 6.

4 x 3 = 12
6 x 2 = 12

Le dénominateur commun 12 convient

On peut travailler sur 12.

Question 2
Mise au même dénominateur

On transforme chaque fraction sans changer sa valeur.

3/4 = 9/12
5/6 = 10/12

Les deux fractions ont maintenant le même dénominateur.

Question 3
Addition

Quand les dénominateurs sont égaux, on additionne les numérateurs.

C = 9/12 + 10/12
C = 19/12

Le resultat est C = 19/12.

Exercice 2

Puissances et racine carrée

Énoncé

On considère D = 2^3 x 2^4 / 2^5 et E = sqrt(81) - sqrt(16).

1. Simplifier D.

2. Calculer E.

3. Comparer D et E.

Corrigé détaillé

Question 1
Calcul de D

On additionne puis on soustrait les exposants de même base.

2^3 x 2^4 = 2^(3+4) = 2^7
D = 2^7 / 2^5 = 2^(7-5)
D = 2^2 = 4

On trouve D = 4.

Question 2
Calcul de E

La racine carrée positive de 81 est 9 et celle de 16 est 4.

sqrt(81) = 9

sqrt(16) = 4

E = 9 - 4 = 5

On obtient E = 5.

Question 3
Comparaison

On compare les deux nombres trouves.

D = 4

E = 5

4 < 5

Donc D < E.

Exercice 3

Fractions et puissances dans un même exercice

Énoncé

On considère F = (3/8) / (9/4) et G = (10^3 x 10^-5) / 10^-1.

1. Simplifier F.

2. Simplifier G.

3. Calculer H = F + G.

Corrigé détaillé

Question 1
Simplification de la fraction F

Diviser par une fraction revient a multiplier par son inverse.

F = (3/8) x (4/9)
F = 12/72
F = 1/6

On obtient F = 1/6.

Question 2
Simplification de G

On additionne puis on soustrait les exposants de même base.

10^3 x 10^-5 = 10^(3-5) = 10^-2
G = 10^-2 / 10^-1 = 10^(-2-(-1))
G = 10^-1 = 1/10

On obtient G = 1/10.

Question 3
Somme finale

On additionne les deux nombres obtenus.

H = 1/6 + 1/10
H = 5/30 + 3/30
H = 8/30 = 4/15

La valeur finale est H = 4/15.

Exercice 4

Addition de fractions et calcul exact

Énoncé

On considère F = 2/3 + 5/12 - 1/4.

1. Mettre les trois fractions au même dénominateur.

2. Calculer F.

3. Donner F sous forme irréductible.

Corrigé détaillé

Question 1
Même dénominateur

Le plus petit dénominateur commun de 3, 12 et 4 est 12.

2/3 = 8/12
5/12 = 5/12
1/4 = 3/12

Les trois fractions sont écrites sur 12.

Question 2
Calcul de F

On additionne et on soustrait les numérateurs.

F = 8/12 + 5/12 - 3/12
F = (8 + 5 - 3)/12
F = 10/12

On obtient F = 10/12.

Question 3
Simplification

On simplifie par 2 car 10 et 12 sont tous les deux divisibles par 2.

10/12 = 5/6

La forme irréductible est F = 5/6.

Exercice 5

Puissances et racines carrées

Énoncé

On considère G = (3 x 10^4)(2 x 10^-3) et H = sqrt(49) + sqrt(121) - sqrt(9).

1. Simplifier G.

2. Calculer H.

3. Comparer G et H.

Corrigé détaillé

Question 1
Simplification de G

On multiplie les coefficients puis on additionne les exposants de 10.

G = (3 x 2) x (10^4 x 10^-3)
G = 6 x 10^(4 + (-3))
G = 6 x 10^1

G = 60

On obtient G = 60.

Question 2
Calcul de H

On calcule chaque racine carrée séparément.

sqrt(49) = 7

sqrt(121) = 11

sqrt(9) = 3

H = 7 + 11 - 3 = 15

On obtient H = 15.

Question 3
Comparaison

On compare les deux résultats numériques.

G = 60

H = 15

60 > 15

Donc G > H.

Exercice 6

Somme et différence de fractions

Énoncé

On considère F = 5/6 - 1/4 + 1/3.

1. Mettre les fractions au même dénominateur.

2. Calculer F.

3. Donner le résultat sous forme irréductible.

Corrigé détaillé

Question 1
Même dénominateur

Le PPCM de 6, 4 et 3 vaut 12.

5/6 = 10/12
1/4 = 3/12
1/3 = 4/12

Toutes les fractions sont écrites sur 12.

Question 2
Calcul

On additionne les numérateurs.

F = 10/12 - 3/12 + 4/12
F = (10 - 3 + 4)/12
F = 11/12

On obtient F = 11/12.

Question 3
Irréductibilité

11 et 12 n'ont pas de diviseur commun autre que 1.

11/12 est irréductible

La forme irréductible est 11/12.

Exercice 7

Produit de puissances de 10

Énoncé

On considère G = (4 x 10^5)(3 x 10^-2).

1. Multiplier les coefficients.

2. Simplifier la partie en puissances de 10.

3. Écrire G sous forme scientifique.

Corrigé détaillé

Question 1
Coefficients

On multiplie 4 par 3.

4 x 3 = 12

Le coefficient vaut 12.

Question 2
Puissances

On additionne les exposants pour une même base.

10^5 x 10^-2 = 10^(5 + (-2))
10^5 x 10^-2 = 10^3

La partie en puissances vaut 10^3.

Question 3
Forme scientifique

On écrit 12 x 10^3 sous la forme a x 10^n avec 1 <= a < 10.

12 x 10^3 = 1.2 x 10 x 10^3
12 x 10^3 = 1.2 x 10^4

La forme scientifique est G = 1.2 x 10^4.

Exercice 8

Racines carrées exactes

Énoncé

On considère H = sqrt(64) - sqrt(16) + sqrt(25).

1. Calculer chaque racine carrée.

2. Calculer H.

3. Comparer H à 10.

Corrigé détaillé

Question 1
Calcul des racines

On reconnaît des carrés parfaits.

sqrt(64) = 8

sqrt(16) = 4

sqrt(25) = 5

Les racines valent 8, 4 et 5.

Question 2
Calcul de H

On remplace par les valeurs trouvées.

H = 8 - 4 + 5

H = 9

On obtient H = 9.

Question 3
Comparaison

On compare 9 et 10.

9 < 10

On a donc H < 10.

Exercice 9

Fraction complexe et simplification

Énoncé

On considère K = (3/5) / (9/10).

1. Remplacer la division par une multiplication.

2. Calculer K.

3. Vérifier le résultat avec des décimaux.

Corrigé détaillé

Question 1
Inverse de la deuxième fraction

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.

K = (3/5) x (10/9)

On a remplacé la division par une multiplication.

Question 2
Calcul exact

On multiplie numérateurs et dénominateurs.

K = 30/45
K = 2/3

On obtient K = 2/3.

Question 3
Vérification décimale

On peut approcher les deux écritures.

3/5 = 0.6
9/10 = 0.9
0.6 / 0.9 = 0.666...
2/3 = 0.666...

La vérification confirme que K = 2/3.

Exercice 10

Puissances négatives et quotient

Énoncé

On considère L = (10^-4 x 10^7) / 10^2.

1. Simplifier le produit du numérateur.

2. Simplifier ensuite le quotient.

3. Donner l'écriture décimale de L.

Corrigé détaillé

Question 1
Produit au numérateur

On additionne les exposants.

10^-4 x 10^7 = 10^(-4 + 7)
10^-4 x 10^7 = 10^3

Le numérateur vaut 10^3.

Question 2
Quotient

Pour un quotient de puissances de même base, on soustrait les exposants.

L = 10^3 / 10^2
L = 10^(3 - 2)
L = 10^1

On obtient L = 10.

Question 3
Écriture décimale

10^1 correspond à 10.

L = 10

L'écriture décimale est 10.