MathSups - Seconde - Nombres et calcul - Multiple, diviseur et nombre premier

Exercice 1

Divisibilite et nombres premiers

Énoncé

On considère les nombres 18, 21 et 29.

1. Donner deux diviseurs de 18.

2. Dire si 21 est un nombre premier.

3. Dire si 29 est un nombre premier.

Corrigé détaillé

Question 1

Diviseurs de 18

Un diviseur de 18 permet une division exacte.

18 = 2 x 9, donc 2 est un diviseur 18 = 3 x 6, donc 3 est un diviseur

Par exemple 2 et 3 sont des diviseurs de 18.

Question 2

Etude de 21

Un nombre premier n a que deux diviseurs positifs : 1 et lui-même.

21 = 3 x 7

21 a donc d autres diviseurs que 1 et 21

21 n'est pas premier.

Question 3

Etude de 29

On teste les petits diviseurs possibles.

29 n'est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5

Comme sqrt(29) est inférieur a 6, cela suffit

29 n a que 1 et 29 comme diviseurs positifs

29 est un nombre premier.

Exercice 2

Decomposition en facteurs premiers

Énoncé

On considère le nombre 84.

1. Verifier que 84 est divisible par 2.

2. Decomposer 84 en produit de facteurs premiers.

3. En déduire si 84 est multiple de 6.

Corrigé détaillé

Question 1

Divisibilite par 2

Un nombre pair est divisible par 2.

84 se termine par 4

84 est donc pair

84 est divisible par 2

La division par 2 est possible.

Question 2

Decomposition

On divise successivement par des nombres premiers.

84 = 2 x 42 42 = 2 x 21 21 = 3 x 7 Donc 84 = 2 x 2 x 3 x 7 = 2^2 x 3 x 7

La decomposition de 84 est 2^2 x 3 x 7.

Question 3

Lien avec 6

Etre multiple de 6 signifie contenir 2 et 3 comme facteurs.

84 = 2^2 x 3 x 7 On voit apparaitre 2 x 3 = 6

Donc 84 est bien multiple de 6.

Exercice 3

Pairs, impairs et nombres premiers

Énoncé

On considère les nombres 45, 46 et 47.

1. Dire si chacun est pair ou impair.

2. Decomposer 45 en facteurs premiers.

3. Dire si 47 est premier.

Corrigé détaillé

Question 1

Parite

On regarde le chiffre des unites.

45 se termine par 5, donc il est impair

46 se termine par 6, donc il est pair

47 se termine par 7, donc il est impair

On a donc impair, pair, impair.

Question 2

Decomposition de 45

On divise par les plus petits nombres premiers.

45 = 5 x 9 9 = 3 x 3 Donc 45 = 3^2 x 5

La decomposition de 45 est 3^2 x 5.

Question 3

Etude de 47

On teste les nombres premiers inferieurs ou égaux a sqrt(47).

47 n'est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5

sqrt(47) est inférieur a 7, donc cela suffit

47 est un nombre premier.

Exercice 4

Critères de divisibilité

Énoncé

On considère le nombre 378.

1. Dire si 378 est divisible par 2, par 3 et par 9.

2. Décomposer 378 en produit de facteurs premiers.

3. Dire si 378 est multiple de 14.

Corrigé détaillé

Question 1

Divisibilité

On applique les critères usuels.

378 se termine par 8, donc 378 est divisible par 2

3 + 7 + 8 = 18 et 18 est divisible par 3, donc 378 est divisible par 3

3 + 7 + 8 = 18 et 18 est divisible par 9, donc 378 est divisible par 9

Le nombre 378 est divisible par 2, par 3 et par 9.

Question 2

Décomposition en facteurs premiers

On divise successivement par des nombres premiers.

378 = 2 x 189 189 = 3 x 63 63 = 3 x 21 21 = 3 x 7 Donc 378 = 2 x 3^3 x 7

La décomposition en facteurs premiers est 378 = 2 x 3^3 x 7.

Question 3

Lien avec 14

Être multiple de 14 signifie contenir 2 x 7 comme facteur.

378 = 2 x 3^3 x 7 On retrouve bien 2 x 7 = 14

Donc 378 est multiple de 14.

Exercice 5

Diviseurs et nombres premiers

Énoncé

On considère les nombres 54 et 53.

1. Donner tous les diviseurs positifs de 54.

2. Dire si 53 est premier.

3. Expliquer pourquoi 54 n'est pas premier.

Corrigé détaillé

Question 1

Diviseurs de 54

On part de la décomposition en facteurs premiers.

54 = 2 x 3^3

Les diviseurs positifs sont 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27 et 54

Les diviseurs positifs de 54 sont 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27 et 54.

Question 2

Étude de 53

On teste les petits nombres premiers inférieurs ou égaux à sqrt(53).

53 n'est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5, ni par 7

Comme sqrt(53) est inférieur à 8, cela suffit

Le nombre 53 est premier.

Question 3

Pourquoi 54 n'est pas premier

Un nombre premier n'a que deux diviseurs positifs.

54 admet par exemple 1, 2 et 54 comme diviseurs positifs

Il a donc plus de deux diviseurs

Ainsi, 54 n'est pas premier.

Exercice 6

Tester des divisibilités

Énoncé

On considère le nombre 420.

1. Dire si 420 est divisible par 2, par 3 et par 5.

2. Dire si 420 est divisible par 9.

3. En déduire si 420 est multiple de 30.

Corrigé détaillé

Question 1

Tests de base

On utilise les critères de divisibilité.

420 se termine par 0, donc 420 est divisible par 2

4 + 2 + 0 = 6, donc 420 est divisible par 3

420 se termine par 0, donc 420 est divisible par 5

420 est divisible par 2, par 3 et par 5.

Question 2

Test pour 9

Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.

4 + 2 + 0 = 6

6 n'est pas multiple de 9

420 n'est pas divisible par 9.

Question 3

Lien avec 30

Être multiple de 30 signifie être divisible par 2, 3 et 5.

420 est divisible par 2, par 3 et par 5

Donc 420 est multiple de 30.

Exercice 7

Nombre premier ou non

Énoncé

On considère 91 et 97.

1. Dire si 91 est premier.

2. Dire si 97 est premier.

3. Justifier avec les petits diviseurs utiles.

Corrigé détaillé

Question 1

Étude de 91

On cherche un diviseur non trivial.

91 = 7 x 13

Le nombre 91 n'est pas premier.

Question 2

Étude de 97

On teste les nombres premiers inférieurs ou égaux à sqrt(97).

sqrt(97) < 10

97 n'est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5, ni par 7

Le nombre 97 est premier.

Question 3

Conclusion

On récapitule les résultats.

91 n'est pas premier

97 est un nombre premier

Le seul nombre premier ici est 97.

Exercice 8

Division euclidienne

Énoncé

On effectue la division euclidienne de 257 par 12.

1. Donner le quotient et le reste.

2. Écrire l'égalité de la division euclidienne.

3. Dire si 257 est divisible par 12.

Corrigé détaillé

Question 1

Quotient et reste

On cherche le plus grand multiple de 12 inférieur à 257.

12 x 21 = 252

257 - 252 = 5

Le quotient est 21 et le reste est 5.

Question 2

Égalité de division euclidienne

On écrit dividende = diviseur x quotient + reste.

257 = 12 x 21 + 5

L'égalité de la division euclidienne est 257 = 12 x 21 + 5.

Question 3

Divisibilité

Un nombre est divisible par 12 si le reste est nul.

Le reste est 5

257 n'est pas divisible par 12.

Exercice 9

Diviseurs communs

Énoncé

On considère 24 et 36.

1. Donner quatre diviseurs de 24.

2. Donner quatre diviseurs de 36.

3. Donner les diviseurs communs les plus simples de 24 et 36.

Corrigé détaillé

Question 1

Diviseurs de 24

On cherche des nombres qui divisent 24 sans reste.

1, 2, 3 et 4 divisent 24

On peut déjà citer 1, 2, 3 et 4.

Question 2

Diviseurs de 36

On fait la même chose pour 36.

1, 2, 3 et 4 divisent 36

On peut citer 1, 2, 3 et 4.

Question 3

Diviseurs communs

Un diviseur commun divise les deux nombres.

1 divise 24 et 36

2 divise 24 et 36

3 divise 24 et 36

4 divise 24 et 36

Des diviseurs communs de 24 et 36 sont 1, 2, 3, 4.

Exercice 10

Pair, impair et multiple

Énoncé

On considère les nombres 144, 145 et 147.

1. Dire lesquels sont pairs et lesquels sont impairs.

2. Dire lesquels sont multiples de 3.

3. Dire lesquels sont multiples de 9.

Corrigé détaillé

Question 1

Parité

Un nombre pair se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8.

144 se termine par 4, donc 144 est pair

145 se termine par 5, donc 145 est impair

147 se termine par 7, donc 147 est impair

144 est pair, 145 et 147 sont impairs.

Question 2

Multiples de 3

On additionne les chiffres.

1 + 4 + 4 = 9, donc 144 est multiple de 3

1 + 4 + 5 = 10, donc 145 n'est pas multiple de 3

1 + 4 + 7 = 12, donc 147 est multiple de 3

144 et 147 sont multiples de 3.

Question 3

Multiples de 9

On utilise la somme des chiffres.

1 + 4 + 4 = 9, donc 144 est multiple de 9

1 + 4 + 7 = 12, donc 147 n'est pas multiple de 9

Parmi ces trois nombres, seul 144 est multiple de 9.