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Nombres et calcul

Nombre réel

Nombres et calcul

Nombre réel

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Exercice 1

Classer des nombres réels

Énoncé

On considère les nombres suivants : -3, 2/5, sqrt(9), pi.

1. Dire lesquels sont entiers.

2. Dire lesquels sont rationnels.

3. Dire lesquels sont irrationnels.

Corrigé détaillé

Question 1
Entiers

Un entier est un nombre sans partie decimale.

-3 est un entier

sqrt(9) = 3, donc c'est aussi un entier

2/5 et pi ne sont pas des entiers

Les entiers sont -3 et 3.

Question 2
Rationnels

Un nombre rationnel s ecrit comme quotient de deux entiers.

-3 = -3/1 est rationnel
2/5 est rationnel
sqrt(9) = 3 = 3/1 est rationnel

Les rationnels sont -3, 2/5 et sqrt(9).

Question 3
Irrationnels

Un nombre irrationnel ne peut pas s ecrire comme quotient de deux entiers.

pi ne s ecrit pas comme une fraction d entiers

pi est donc irrationnel

Le seul nombre irrationnel ici est pi.

Exercice 2

Encadrement et valeur absolue

Énoncé

On considère x = -2.7.

1. Donner un encadrement de x entre deux entiers consecutifs.

2. Calculer |x|.

3. Placer x et |x| par rapport a 0.

Corrigé détaillé

Question 1
Encadrement

On cherche les deux entiers consecutifs entre lesquels se trouve -2.7.

-3 < -2.7 < -2

On a donc -3 < x < -2.

Question 2
Valeur absolue

La valeur absolue mesure la distance a 0.

|-2.7| = 2.7

La valeur absolue de x vaut 2.7.

Question 3
Signe

On regarde la position sur la droite reelle.

x = -2.7 est négatif

|x| = 2.7 est positif

On a x < 0 < |x|

Le nombre x est a gauche de 0 et |x| a droite de 0.

Exercice 3

Ensembles de nombres et intervalles

Énoncé

On considère les nombres -4, 7/2, sqrt(36), sqrt(5).

1. Dire lesquels appartiennent a Z.

2. Dire lesquels appartiennent a D.

3. Donner ceux qui appartiennent a l intervalle [0 ; +∞[.

Corrigé détaillé

Question 1
Appartenance a Z

Les entiers relatifs sont les nombres entiers positifs, negatifs ou nuls.

-4 appartient a Z

sqrt(36) = 6 appartient aussi a Z

7/2 et sqrt(5) ne sont pas des entiers

Les nombres de Z sont -4 et sqrt(36).

Question 2
Appartenance a D

Les nombres decimaux ont une ecriture decimale finie.

-4 est decimal

7/2 = 3.5 est decimal

sqrt(36) = 6 est decimal

sqrt(5) n'est pas decimal

Les nombres de D sont -4, 7/2 et sqrt(36).

Question 3
Appartenance a [0 ; +∞[

Cet intervalle contient les nombres positifs ou nuls.

7/2 > 0
sqrt(36) = 6 > 0

sqrt(5) > 0

-4 n appartient pas a l intervalle

Dans [0 ; +∞[, on trouve 7/2, sqrt(36) et sqrt(5).

Exercice 4

Intervalles et appartenance

Énoncé

On considère les intervalles I = [-2 ; 5] et J = ]1 ; +∞[.

1. Dire si -2, 1 et 5 appartiennent à I.

2. Dire si 1, 2 et 5 appartiennent à J.

3. Donner l'intersection I inter J.

Corrigé détaillé

Question 1
Appartenance à I

Dans un intervalle fermé, les bornes appartiennent à l'intervalle.

-2 appartient à I car I commence en -2 avec un crochet fermé

1 appartient à I car -2 <= 1 <= 5

5 appartient à I car I se termine en 5 avec un crochet fermé

Les trois nombres -2, 1 et 5 appartiennent à I.

Question 2
Appartenance à J

Dans ]1 ; +∞[, le nombre 1 n'est pas inclus.

1 n'appartient pas à J car l'intervalle est ouvert en 1

2 appartient à J car 2 > 1

5 appartient à J car 5 > 1

Dans J, 2 et 5 appartiennent à l'intervalle, mais pas 1.

Question 3
Intersection

On garde seulement les nombres communs aux deux intervalles.

I = [-2 ; 5]

J = ]1 ; +∞[

Les nombres communs sont ceux strictement supérieurs à 1 et inférieurs ou égaux à 5

On obtient I inter J = ]1 ; 5].

Exercice 5

Valeur absolue et comparaison

Énoncé

On considère x = -4.3.

1. Encadrer x entre deux entiers consécutifs.

2. Calculer |x| puis encadrer |x| entre deux entiers consécutifs.

3. Comparer x, -|x| et |x|.

Corrigé détaillé

Question 1
Encadrement de x

On repère les deux entiers consécutifs qui entourent -4.3.

-5 < -4.3 < -4

On a donc -5 < x < -4.

Question 2
Valeur absolue

La valeur absolue est la distance à 0.

|x| = |-4.3| = 4.3

Comme 4 < 4.3 < 5, on a 4 < |x| < 5

On obtient |x| = 4.3 et 4 < |x| < 5.

Question 3
Comparaison finale

On compare les trois nombres obtenus.

-|x| = -4.3

x = -4.3

|x| = 4.3

Donc x = -|x| < |x|

On a x = -|x| et ces deux nombres sont plus petits que |x|.

Exercice 6

Union et intersection de deux intervalles

Énoncé

On considère I = [ -3 ; 2 ] et J = [ 1 ; 6 ].

1. Donner I inter J.

2. Donner I union J.

3. Dire si 0, 4 et 7 appartiennent à I union J.

Corrigé détaillé

Question 1
Intersection

On garde les nombres communs aux deux intervalles.

I inter J = [1 ; 2]

L'intersection est [1 ; 2].

Question 2
Union

On réunit tous les nombres appartenant à au moins un des deux intervalles.

I union J = [ -3 ; 6 ]

L'union est [ -3 ; 6 ].

Question 3
Appartenance

On vérifie si chaque nombre est compris entre -3 et 6.

0 appartient à [ -3 ; 6 ]

4 appartient à [ -3 ; 6 ]

7 n'appartient pas à [ -3 ; 6 ]

0 et 4 appartiennent à I union J, mais 7 n'y appartient pas.

Exercice 7

Valeur absolue et distance à 0

Énoncé

On considère les nombres a = -7.2 et b = 3.5.

1. Calculer |a| et |b|.

2. Comparer a et b.

3. Comparer |a| et |b|.

Corrigé détaillé

Question 1
Valeurs absolues

La valeur absolue mesure la distance à 0.

|a| = |-7.2| = 7.2
|b| = |3.5| = 3.5

On obtient 7.2 et 3.5.

Question 2
Comparaison de a et b

Un nombre négatif est inférieur à un nombre positif.

-7.2 < 3.5

On a donc a < b.

Question 3
Comparaison des valeurs absolues

On compare les distances à 0.

7.2 > 3.5

On a |a| > |b|.

Exercice 8

Encadrer une racine carrée

Énoncé

On s'intéresse au nombre sqrt(30).

1. Montrer que 25 < 30 < 36.

2. En déduire un encadrement de sqrt(30).

3. Dire si sqrt(30) appartient à ]5 ; 6[.

Corrigé détaillé

Question 1
Encadrement du nombre sous la racine

On compare 30 à deux carrés parfaits.

5^2 = 25
6^2 = 36
25 < 30 < 36

Le nombre 30 est bien compris entre 25 et 36.

Question 2
Encadrement de la racine

La racine carrée conserve l'ordre sur les nombres positifs.

sqrt(25) < sqrt(30) < sqrt(36)
5 < sqrt(30) < 6

On obtient 5 < sqrt(30) < 6.

Question 3
Appartenance à un intervalle

On utilise l'encadrement précédent.

5 < sqrt(30) < 6

Donc sqrt(30) appartient à ]5 ; 6[.

Exercice 9

Comparer des écritures différentes

Énoncé

On considère les nombres A = -3/2, B = -1.4 et C = -sqrt(2).

1. Donner des valeurs décimales simples de A et C.

2. Classer A, B et C dans l'ordre croissant.

3. Dire lequel est le plus proche de 0.

Corrigé détaillé

Question 1
Valeurs décimales

On transforme ou on approche les nombres.

A = -3/2 = -1.5

sqrt(2) \approx 1.41

C = -sqrt(2) \approx -1.41

On peut comparer -1.5, -1.4 et -1.41.

Question 2
Ordre croissant

Pour des nombres négatifs, le plus petit est celui qui est le plus éloigné de 0.

-1.5 < -1.41 < -1.4

On obtient A < C < B.

Question 3
Nombre le plus proche de 0

Le nombre le plus proche de 0 est le plus grand parmi ces trois négatifs.

-1.4 > -1.41

-1.4 > -1.5

Le nombre le plus proche de 0 est B.

Exercice 10

Appartenance et intervalle solution

Énoncé

On considère l'intervalle S = ] -2 ; 5 ].

1. Dire si -2, 0 et 5 appartiennent à S.

2. Donner un nombre qui n'appartient pas à S mais qui est supérieur à -2.

3. Traduire S par une double inégalité.

Corrigé détaillé

Question 1
Lecture de l'intervalle

La borne -2 est exclue et la borne 5 est incluse.

-2 n'appartient pas à S

0 appartient à S

5 appartient à S

Dans S, 0 et 5 appartiennent à l'intervalle, mais pas -2.

Question 2
Exemple de nombre hors de S

Il suffit de choisir un nombre strictement supérieur à 5.

Par exemple 5.4 > 5

5.4 n'appartient pas à S

Le nombre 5.4 convient.

Question 3
Double inégalité

L'intervalle ] -2 ; 5 ] se traduit par une inégalité stricte à gauche et large à droite.

-2 < x <= 5

La double inégalité est -2 < x <= 5.