MathSups - Seconde - Fonctions - Notion de fonction

Exercice 1

Calculer des images

Énoncé

On considère la fonction f définie par f(x) = 2x + 3.

1. Calculer f(0).

2. Calculer f(-1).

3. Calculer l image de 4.

Corrigé détaillé

Question 1

Image de 0

On remplace x par 0 dans la formule.

f(0) = 2 x 0 + 3

f(0) = 3

L image de 0 est 3.

Question 2

Image de -1

On remplace x par -1.

f(-1) = 2 x (-1) + 3

f(-1) = -2 + 3

f(-1) = 1

L image de -1 est 1.

Question 3

Image de 4

On remplace x par 4.

f(4) = 2 x 4 + 3

f(4) = 8 + 3

f(4) = 11

L image de 4 est 11.

Exercice 2

Retrouver un antecedent

Énoncé

On considère la fonction g définie par g(x) = 3x - 2.

1. Calculer g(5).

2. Chercher l antecedent de 10.

3. Verifier la réponse.

Corrigé détaillé

Question 1

Calcul d image

On remplace x par 5.

g(5) = 3 x 5 - 2

g(5) = 15 - 2

g(5) = 13

L image de 5 est 13.

Question 2

Recherche d antecedent

Chercher un antecedent de 10 revient a resoudre g(x) = 10.

3x - 2 = 10

3x = 12 x = 4

L antecedent de 10 est 4.

Question 3

Verification

On remplace x par 4 dans la fonction.

g(4) = 3 x 4 - 2

g(4) = 12 - 2

g(4) = 10

La verification confirme que 4 est bien l antecedent de 10.

Exercice 3

Tableau de valeurs et antecedents

Énoncé

On considère la fonction f définie par f(x) = x^2 - 1.

1. Completer les images de -2, 0 et 3.

2. Chercher les antecedents de 3.

3. Dire si 0 admet un ou plusieurs antecedents.

Corrigé détaillé

Question 1

Calculs d images

On remplace x par les valeurs demandees.

f(-2) = (-2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3 f(0) = 0^2 - 1 = -1 f(3) = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8

Les images sont 3, -1 et 8.

Question 2

Antecedents de 3

Chercher les antecedents de 3 revient a resoudre x^2 - 1 = 3.

x^2 - 1 = 3 x^2 = 4 x = -2 ou x = 2

Le nombre 3 a deux antecedents : -2 et 2.

Question 3

Antecedents de 0

On resout x^2 - 1 = 0.

x^2 = 1 x = -1 ou x = 1

Le nombre 0 admet deux antecedents : -1 et 1.

Exercice 4

Images et antécédents avec une fonction carrée

Énoncé

On considère la fonction f définie par f(x) = x^2 + 2.

1. Calculer f(-2), f(0) et f(3).

2. Chercher les antécédents de 6.

3. Dire si 1 admet un antécédent.

Corrigé détaillé

Question 1

Calcul des images

On remplace x par les valeurs demandées.

f(-2) = (-2)^2 + 2 = 4 + 2 = 6 f(0) = 0^2 + 2 = 2 f(3) = 3^2 + 2 = 9 + 2 = 11

Les images demandées sont 6, 2 et 11.

Question 2

Antécédents de 6

Chercher les antécédents de 6 revient à résoudre x^2 + 2 = 6.

x^2 + 2 = 6 x^2 = 4 x = -2 ou x = 2

Le nombre 6 admet deux antécédents : -2 et 2.

Question 3

Antécédent de 1

On résout x^2 + 2 = 1.

x^2 = -1

Or le carré d'un réel ne peut pas être négatif

Le nombre 1 n'admet aucun antécédent réel.

Exercice 5

Lire une fonction définie par un tableau

Énoncé

Une fonction g est définie par le tableau : g(-1) = 4, g(0) = 2, g(2) = -3, g(5) = 1.

1. Donner l'image de 2 et l'image de 5.

2. Donner un antécédent de 2.

3. Dire si 4 admet un ou plusieurs antécédents dans ce tableau.

Corrigé détaillé

Question 1

Lecture d'images

On lit directement dans le tableau.

g(2) = -3

g(5) = 1

Les images demandées sont -3 et 1.

Question 2

Antécédent de 2

On cherche la valeur de x dont l'image vaut 2.

g(0) = 2

Un antécédent de 2 est 0.

Question 3

Antécédents de 4

On cherche toutes les lignes où l'image vaut 4.

Dans le tableau, seule la valeur x = -1 donne 4

On n'observe pas d'autre antécédent de 4

Dans ce tableau, 4 admet un seul antécédent : -1.

Exercice 6

Images et antécédents d'un trinôme simple

Énoncé

On considère la fonction f définie par f(x) = x^2 - 4x + 1.

1. Calculer f(-1), f(2) et f(5).

2. Chercher les antécédents de 1.

3. Dire si le nombre -3 a un antécédent par f.

Corrigé détaillé

Question 1

Calcul des images

On remplace x par chaque valeur demandée.

f(-1) = (-1)^2 - 4(-1) + 1

f(-1) = 1 + 4 + 1

f(-1) = 6

f(2) = 2^2 - 4 x 2 + 1

f(2) = 4 - 8 + 1

f(2) = -3

f(5) = 5^2 - 4 x 5 + 1

f(5) = 25 - 20 + 1

f(5) = 6

Les images demandées sont 6, -3 et 6.

Question 2

Antécédents de 1

Chercher les antécédents de 1 revient à résoudre f(x) = 1.

x^2 - 4x + 1 = 1 x^2 - 4x = 0

x(x - 4) = 0

x = 0 ou x = 4

Le nombre 1 admet deux antécédents : 0 et 4.

Question 3

Antécédent éventuel de -3

On résout f(x) = -3.

x^2 - 4x + 1 = -3 x^2 - 4x + 4 = 0 (x - 2)^2 = 0 x = 2

Le nombre -3 admet un unique antécédent : 2.

Exercice 7

Lecture d'un tableau de valeurs

Énoncé

Une fonction g est définie sur { -3 ; -1 ; 0 ; 2 ; 4 } par le tableau :

g(-3) = 5, g(-1) = 1, g(0) = -2, g(2) = 3, g(4) = 7.

1. Donner l'image de -1 puis l'image de 2.

2. Donner un antécédent de 3 puis tous les antécédents de 5.

3. Résoudre g(x) = -2 dans l'ensemble de définition.

Corrigé détaillé

Question 1

Images lues dans le tableau

On lit directement les images dans les données.

g(-1) = 1

g(2) = 3

Les images demandées sont 1 et 3.

Question 2

Antécédents dans le tableau

Un antécédent d'un nombre est une valeur de x qui lui est associée.

g(2) = 3 donc 2 est un antécédent de 3

g(-3) = 5

Aucune autre valeur du tableau ne donne 5

Le nombre 3 a pour antécédent 2, et le nombre 5 a pour unique antécédent -3.

Question 3

Équation g(x) = -2

On cherche la valeur de x associée à -2.

g(0) = -2

La solution est x = 0.

Exercice 8

Fonction définie avec une fraction

Énoncé

On considère h définie par h(x) = (x + 1)/(x - 3).

1. Calculer h(1) et h(5).

2. Dire pour quelle valeur de x la fonction n'est pas définie.

3. Résoudre h(x) = 2.

Corrigé détaillé

Question 1

Calculs d'images

On remplace x par la valeur choisie.

h(1) = (1 + 1)/(1 - 3) h(1) = 2/(-2)

h(1) = -1

h(5) = (5 + 1)/(5 - 3) h(5) = 6/2

h(5) = 3

On obtient h(1) = -1 et h(5) = 3.

Question 2

Ensemble de définition

Une fraction n'est pas définie quand son dénominateur est nul.

x - 3 = 0

x = 3

La fonction h n'est pas définie en 3.

Question 3

Résolution de h(x) = 2

On résout l'équation en gardant x différent de 3.

(x + 1)/(x - 3) = 2

x + 1 = 2(x - 3)

x + 1 = 2x - 6

1 = x - 6

x = 7

La solution est x = 7.

Exercice 9

Comparer des images à partir d'une expression

Énoncé

On considère la fonction p définie par p(x) = -2x + 7.

1. Calculer p(-2), p(1) et p(4).

2. Comparer p(-2) et p(4).

3. Chercher l'antécédent de 1.

Corrigé détaillé

Question 1

Calcul des trois images

On remplace x par chaque valeur.

p(-2) = -2(-2) + 7 = 4 + 7 = 11 p(1) = -2 x 1 + 7 = -2 + 7 = 5 p(4) = -2 x 4 + 7 = -8 + 7 = -1

Les trois images sont 11, 5 et -1.

Question 2

Comparaison

On compare les valeurs numériques obtenues.

p(-2) = 11 p(4) = -1

11 > -1

On a donc p(-2) > p(4).

Question 3

Antécédent de 1

Chercher un antécédent de 1 revient à résoudre p(x) = 1.

-2x + 7 = 1

-2x = -6 x = 3

L'antécédent de 1 est 3.

Exercice 10

Fonction et ensemble de définition simple

Énoncé

On considère la fonction t définie par t(x) = sqrt(x + 4).

1. Dire pour quelles valeurs de x la fonction t est définie.

2. Calculer t(-3), t(0) et t(5).

3. Résoudre t(x) = 3.

Corrigé détaillé

Question 1

Définition de t

Une racine carrée est définie quand l'expression sous la racine est positive ou nulle.

x + 4 >= 0 x >= -4

La fonction t est définie pour x >= -4.

Question 2

Calculs d'images

On remplace x par les valeurs demandées.

t(-3) = sqrt(-3 + 4) = sqrt(1) = 1 t(0) = sqrt(0 + 4) = sqrt(4) = 2 t(5) = sqrt(5 + 4) = sqrt(9) = 3

On obtient t(-3) = 1, t(0) = 2 et t(5) = 3.

Question 3

Résolution de t(x) = 3

On résout sqrt(x + 4) = 3 en élevant au carré.

sqrt(x + 4) = 3

x + 4 = 9

x = 5

La solution est x = 5.