MathSups - Seconde - Géométrie du plan - Système d'équation et droite

Exercice 1

Intersection de deux droites

Énoncé

On considère les droites d1 : y = x + 1 et d2 : y = -x + 5.

1. Ecrire le systeme associe au point d intersection.

2. Resoudre ce systeme.

3. Donner le point d intersection.

Corrigé détaillé

Question 1

Mise en systeme

Au point d intersection, les deux expressions de y sont egales.

x + 1 = -x + 5

On obtient une équation simple en x.

Question 2

Resolution

On regroupe les termes en x d'un cote.

x + x = 5 - 1 2x = 4 x = 2 Puis y = x + 1 = 3

On trouve x = 2 et y = 3.

Question 3

Conclusion

On rassemble les deux coordonnées.

Le point d intersection est I(2 ; 3)

Les deux droites se coupent en I(2 ; 3).

Exercice 2

Systeme de deux équations

Énoncé

Resoudre le systeme : x + y = 7 et x - y = 1.

1. Additionner les deux équations.

2. Trouver x.

3. En déduire y.

Corrigé détaillé

Question 1

Addition des équations

On additionne membre a membre.

(x + y) + (x - y) = 7 + 1

2x = 8

La variable y disparait.

Question 2

Calcul de x

On divise par 2.

x = 8 / 2 x = 4

On trouve x = 4.

Question 3

Calcul de y

On remplace x dans l une des équations.

x + y = 7 devient 4 + y = 7 y = 3

La solution du systeme est (4 ; 3).

Exercice 3

Probleme modele par un systeme

Énoncé

Au theatre, 12 billets ont été vendus pour un total de 78 euros.

Un billet enfant coute 5 euros et un billet adulte coute 8 euros.

1. Poser un systeme avec x le nombre de billets enfant et y le nombre de billets adulte.

2. Resoudre ce systeme.

3. Donner la repartition des billets.

Corrigé détaillé

Question 1

Mise en équations

On traduit les deux informations de l enonce.

x + y = 12 5x + 8y = 78

On obtient un systeme de deux équations a deux inconnues.

Question 2

Resolution

On remplace x par 12 - y dans la deuxieme équation.

5(12 - y) + 8y = 78 60 - 5y + 8y = 78 3y = 18 y = 6 x = 12 - 6 = 6

On trouve x = 6 et y = 6.

Question 3

Interprétation

On revient au contexte.

Il y a 6 billets enfant et 6 billets adulte

La repartition est 6 billets enfant et 6 billets adulte.

Exercice 4

Système et point d'intersection

Énoncé

On considère le système { x + y = 7 ; 2x - y = 2 }.

1. Exprimer y en fonction de x avec la première équation.

2. Résoudre le système.

3. Donner le point d'intersection des deux droites.

Corrigé détaillé

Question 1

Isolement de y

On part de la première équation.

x + y = 7 y = 7 - x

On obtient y = 7 - x.

Question 2

Résolution

On remplace y par 7 - x dans la deuxième équation.

2x - (7 - x) = 2

2x - 7 + x = 2 3x = 9 x = 3 y = 7 - 3 = 4

La solution du système est (3 ; 4).

Question 3

Interprétation

La solution d'un système représente les coordonnées du point commun aux deux droites.

Le point d'intersection est (3 ; 4)

Les deux droites se coupent au point (3 ; 4).

Exercice 5

Problème à deux tarifs

Énoncé

Deux formules d'abonnement sont proposées.

La formule A coûte 12 euros fixes puis 3 euros par séance.

La formule B coûte 6 euros fixes puis 5 euros par séance.

1. Écrire le système obtenu quand les deux formules coûtent le même prix pour x séances.

2. Résoudre ce système ou l'égalité associée.

3. Donner le nombre de séances à partir duquel les deux formules sont au même prix.

Corrigé détaillé

Question 1

Mise en équations

On traduit le coût de chaque formule.

Coût A = 12 + 3x

Coût B = 6 + 5x

On cherche 12 + 3x = 6 + 5x

L'égalité à résoudre est 12 + 3x = 6 + 5x.

Question 2

Résolution

On regroupe les termes en x dans un même membre.

12 + 3x = 6 + 5x

12 - 6 = 5x - 3x

6 = 2x

x = 3

On obtient x = 3.

Question 3

Interprétation

On revient au contexte.

Pour 3 séances, les deux formules coûtent le même prix

Les deux formules sont au même prix pour 3 séances.

Exercice 6

Résoudre un système simple

Énoncé

Résoudre le système :

x + y = 7

x - y = 1

Corrigé détaillé

Question 1

Addition des deux lignes

En additionnant, on élimine y.

(x + y) + (x - y) = 7 + 1

2x = 8 x = 4

On obtient x = 4.

Question 2

Recherche de y

On remplace x par 4 dans l'une des équations.

4 + y = 7 y = 3

On obtient y = 3.

Question 3

Solution du système

On rassemble les deux valeurs.

(x ; y) = (4 ; 3)

La solution du système est (4 ; 3).

Exercice 7

Point d'intersection de deux droites

Énoncé

On considère d1 : y = 2x + 1 et d2 : y = -x + 7.

1. Résoudre le système associé.

2. Donner les coordonnées du point d'intersection.

3. Vérifier dans d2.

Corrigé détaillé

Question 1

Système associé

Au point d'intersection, les deux expressions de y sont égales.

2x + 1 = -x + 7

3x = 6 x = 2

On obtient x = 2.

Question 2

Coordonnée y

On remplace x par 2 dans d1.

y = 2 x 2 + 1 y = 5

Le point d'intersection est I(2 ; 5).

Question 3

Vérification

On teste dans d2.

y = -2 + 7 = 5

La vérification est correcte.

Exercice 8

Système par substitution

Énoncé

Résoudre le système :

y = 3x - 4

2x + y = 11

Corrigé détaillé

Question 1

Substitution

On remplace y dans la deuxième équation.

2x + (3x - 4) = 11

5x - 4 = 11

5x = 15 x = 3

On obtient x = 3.

Question 2

Calcul de y

On remplace x par 3 dans y = 3x - 4.

y = 3 x 3 - 4 y = 9 - 4 y = 5

On obtient y = 5.

Question 3

Conclusion

On rassemble les deux résultats.

(x ; y) = (3 ; 5)

La solution du système est (3 ; 5).

Exercice 9

Deux droites sans intersection

Énoncé

On considère d1 : y = -2x + 3 et d2 : y = -2x - 1.

1. Comparer les coefficients directeurs.

2. Dire si les droites sont parallèles.

3. Conclure sur le système associé.

Corrigé détaillé

Question 1

Coefficients directeurs

On lit m dans y = mx + p.

m1 = -2

m2 = -2

Les deux coefficients directeurs sont égaux.

Question 2

Parallélisme

Même coefficient directeur et ordonnées à l'origine différentes.

3 \ne -1

Les droites sont parallèles et distinctes.

Question 3

Conséquence sur le système

Deux droites parallèles distinctes n'ont pas de point commun.

Le système n'a pas de solution

Le système est impossible.

Exercice 10

Système et vérification finale

Énoncé

Résoudre le système :

3x - y = 8

x + y = 4

Corrigé détaillé

Question 1

Addition adaptée

On additionne les deux équations pour éliminer y.

(3x - y) + (x + y) = 8 + 4

4x = 12 x = 3

On obtient x = 3.

Question 2

Calcul de y

On remplace dans x + y = 4.

3 + y = 4 y = 1

On obtient y = 1.

Question 3

Vérification complète

On teste la solution dans la première équation.

3 x 3 - 1 = 9 - 1 = 8

La solution (3 ; 1) convient bien.