MathSups - Seconde - Fonctions - Variation d'une fonction

Exercice 1

Lire des variations sur une fonction affine

Énoncé

On considère la fonction h définie par h(x) = 5 - 2x.

1. Calculer h(0).

2. Calculer h(3).

3. Dire si h est croissante ou décroissante.

Corrigé détaillé

Question 1

Valeur en 0

On remplace x par 0.

h(0) = 5 - 2 x 0

h(0) = 5

On obtient h(0) = 5.

Question 2

Valeur en 3

On remplace x par 3.

h(3) = 5 - 2 x 3

h(3) = 5 - 6

h(3) = -1

On obtient h(3) = -1.

Question 3

Sens de variation

Dans une fonction affine ax + b, le signe de a donne le sens de variation.

Ici le coefficient directeur vaut -2

-2 est négatif

La fonction h est décroissante.

Exercice 2

Comparer des images avec le sens de variation

Énoncé

On considère la fonction k définie par k(x) = 3x - 4.

1. Donner le coefficient directeur de k.

2. Dire si k est croissante ou décroissante.

3. Comparer k(1) et k(5) sans les calculer completement.

Corrigé détaillé

Question 1

Coefficient directeur

On lit le coefficient de x.

Dans k(x) = 3x - 4, le coefficient directeur est 3

Le coefficient directeur est 3.

Question 2

Variation

Une fonction affine de coefficient directeur positif est croissante.

3 > 0

La fonction k est croissante.

Question 3

Comparaison

Si une fonction est croissante, le plus grand nombre a la plus grande image.

1 < 5

Comme k est croissante, k(1) < k(5)

On peut conclure que k(1) est plus petit que k(5).

Exercice 3

Variations et extremum sur un intervalle

Énoncé

On considère la fonction f définie sur [0 ; 5] par f(x) = -x + 4.

1. Calculer f(0), f(2) et f(5).

2. Dire si f est croissante ou décroissante sur [0 ; 5].

3. Donner le maximum et le minimum de f sur [0 ; 5].

Corrigé détaillé

Question 1

Images utiles

On remplace x par 0, 2 et 5.

f(0) = -0 + 4 = 4 f(2) = -2 + 4 = 2 f(5) = -5 + 4 = -1

On obtient 4, 2 et -1.

Question 2

Sens de variation

Le coefficient directeur de la fonction affine est -1.

-1 < 0

La fonction f est décroissante sur [0 ; 5].

Question 3

Extremums

Une fonction décroissante est maximale au debut de l intervalle et minimale a la fin.

Maximum : f(0) = 4

Minimum : f(5) = -1

Le maximum est 4 et le minimum est -1.

Exercice 4

Comparer des images sur un intervalle

Énoncé

On considère la fonction h définie par h(x) = 4x - 7.

1. Dire si h est croissante ou décroissante.

2. Comparer h(1) et h(3) sans les calculer complètement.

3. Donner le minimum et le maximum de h sur [0 ; 5].

Corrigé détaillé

Question 1

Sens de variation

On lit le coefficient directeur de la fonction affine.

Dans h(x) = 4x - 7, le coefficient directeur est 4

Comme 4 > 0, la fonction est croissante

La fonction h est croissante.

Question 2

Comparaison

Une fonction croissante conserve l'ordre.

1 < 3

Comme h est croissante, h(1) < h(3)

On peut conclure sans calculer que h(1) < h(3).

Question 3

Extremums sur [0 ; 5]

Une fonction croissante atteint son minimum au début et son maximum à la fin de l'intervalle.

Minimum : h(0) = 4 x 0 - 7 = -7 Maximum : h(5) = 4 x 5 - 7 = 20 - 7 = 13

Sur [0 ; 5], le minimum vaut -7 et le maximum vaut 13.

Exercice 5

Exploiter un tableau de variation

Énoncé

On sait qu'une fonction k est décroissante sur [-3 ; 1] puis croissante sur [1 ; 6].

De plus, k(-3) = 5, k(1) = -2 et k(6) = 4.

1. Comparer k(-1) et k(0).

2. Donner le minimum de k sur [-3 ; 6].

3. Comparer k(-3), k(1) et k(6).

Corrigé détaillé

Question 1

Comparaison sur un intervalle décroissant

Sur [-3 ; 1], la fonction est décroissante.

-1 < 0

Sur un intervalle décroissant, la plus petite abscisse a la plus grande image

Donc k(-1) > k(0)

On obtient k(-1) > k(0).

Question 2

Minimum global

Le minimum est atteint au point charnière si la fonction descend puis remonte.

La fonction décroît jusqu'à x = 1 Puis elle croît à partir de x = 1

Donc son minimum sur [-3 ; 6] est k(1) = -2

Le minimum de k sur [-3 ; 6] vaut -2.

Question 3

Comparaison des trois valeurs connues

On utilise directement les valeurs données.

k(-3) = 5

k(1) = -2

k(6) = 4

Donc k(1) < k(6) < k(-3)

L'ordre correct est k(1) < k(6) < k(-3).

Exercice 6

Fonction affine croissante sur un intervalle

Énoncé

On considère f(x) = 5x - 1 sur [ -2 ; 4 ].

1. Dire si f est croissante ou décroissante.

2. Calculer f(-2) et f(4).

3. Donner le minimum et le maximum de f sur [ -2 ; 4 ].

Corrigé détaillé

Question 1

Sens de variation

Une fonction affine est croissante si son coefficient directeur est positif.

Le coefficient directeur est 5

5 > 0

La fonction f est croissante.

Question 2

Valeurs aux bornes

Pour une fonction affine, les extremums sur un intervalle se trouvent aux bornes.

f(-2) = 5 x (-2) - 1 = -10 - 1 = -11 f(4) = 5 x 4 - 1 = 20 - 1 = 19

On obtient f(-2) = -11 et f(4) = 19.

Question 3

Extremums

Comme f est croissante, le minimum est au début et le maximum à la fin.

minimum = f(-2) = -11 maximum = f(4) = 19

Le minimum vaut -11 et le maximum vaut 19.

Exercice 7

Fonction affine décroissante

Énoncé

On considère g(x) = -3x + 8 sur [ -1 ; 5 ].

1. Dire si g est croissante ou décroissante.

2. Comparer g(0) et g(4).

3. Donner les extremums de g sur [ -1 ; 5 ].

Corrigé détaillé

Question 1

Sens de variation

Une fonction affine est décroissante si son coefficient directeur est négatif.

Le coefficient directeur est -3

-3 < 0

La fonction g est décroissante.

Question 2

Comparaison de deux images

Sur une fonction décroissante, le plus grand x donne la plus petite image.

0 < 4

Comme g est décroissante, g(0) > g(4)

On a g(0) > g(4).

Question 3

Extremums

Comme g est décroissante, le maximum est au début et le minimum à la fin.

g(-1) = -3(-1) + 8 = 11 g(5) = -3 x 5 + 8 = -15 + 8 = -7

Le maximum vaut 11 et le minimum vaut -7.

Exercice 8

Comparer des valeurs avec un tableau de variations

Énoncé

Une fonction h est croissante sur [ -4 ; 1 ] puis décroissante sur [ 1 ; 6 ].

On sait que h(-4) = -2, h(1) = 5 et h(6) = 0.

1. Comparer h(-2) et h(0).

2. Donner le maximum de h sur [ -4 ; 6 ].

3. Comparer h(2) et h(5).

Corrigé détaillé

Question 1

Comparaison sur la partie croissante

Sur [ -4 ; 1 ], la fonction est croissante.

-2 < 0

Comme h est croissante sur [ -4 ; 1 ], h(-2) < h(0)

On a h(-2) < h(0).

Question 2

Maximum global

La fonction monte jusqu'à x = 1 puis redescend.

Le maximum est atteint en x = 1

h(1) = 5

Le maximum de h sur [ -4 ; 6 ] vaut 5.

Question 3

Comparaison sur la partie décroissante

Sur [ 1 ; 6 ], la fonction est décroissante.

2 < 5

Comme h est décroissante sur [ 1 ; 6 ], h(2) > h(5)

On a h(2) > h(5).

Exercice 9

Minimum et maximum d'une fonction décrite

Énoncé

Une fonction k est décroissante sur [ -5 ; -1 ] puis croissante sur [ -1 ; 3 ].

On sait que k(-5) = 4, k(-1) = -3 et k(3) = 6.

1. Donner le minimum de k sur [ -5 ; 3 ].

2. Comparer k(-4) et k(-2).

3. Comparer k(0) et k(2).

Corrigé détaillé

Question 1

Recherche du minimum

La fonction descend jusqu'à x = -1 puis remonte.

Le minimum est atteint en x = -1

k(-1) = -3

Le minimum de k sur [ -5 ; 3 ] vaut -3.

Question 2

Comparaison sur un intervalle décroissant

Sur [ -5 ; -1 ], k est décroissante.

-4 < -2

Comme k est décroissante sur [ -5 ; -1 ], k(-4) > k(-2)

On a k(-4) > k(-2).

Question 3

Comparaison sur un intervalle croissant

Sur [ -1 ; 3 ], k est croissante.

0 < 2

Comme k est croissante sur [ -1 ; 3 ], k(0) < k(2)

On a k(0) < k(2).

Exercice 10

Ordre d'images et variations

Énoncé

La fonction m est croissante sur [ -3 ; 0 ] puis croissante sur [ 0 ; 4 ].

On sait que m(-3) = -5, m(0) = 1 et m(4) = 9.

1. Comparer m(-1) et m(0).

2. Comparer m(1) et m(3).

3. Donner le minimum et le maximum de m sur [ -3 ; 4 ].

Corrigé détaillé

Question 1

Comparaison sur [ -3 ; 0 ]

Sur [ -3 ; 0 ], la fonction est croissante.

-1 < 0

Comme m est croissante, m(-1) < m(0)

On a m(-1) < m(0).

Question 2

Comparaison sur [ 0 ; 4 ]

Sur [ 0 ; 4 ], la fonction est aussi croissante.

1 < 3

Comme m est croissante, m(1) < m(3)

On a m(1) < m(3).

Question 3

Extremums globaux

La fonction est croissante sur tout le domaine considéré.

minimum = m(-3) = -5 maximum = m(4) = 9

Le minimum vaut -5 et le maximum vaut 9.