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Géométrie du plan

Les vecteurs et repérage

Géométrie du plan

Les vecteurs et repérage

Exercices corrigés de les vecteurs et repérage disponibles en HTML statique, avec le JavaScript conservé pour l'interactivité.

Exercice 1

Milieu d'un segment

Énoncé

Dans un repère, on considère A(2 ; 1) et B(6 ; 5).

1. Calculer l abscisse du milieu M de [AB].

2. Calculer l ordonnee de M.

3. Donner les coordonnées de M.

Corrigé détaillé

Question 1
Abscisse du milieu

On fait la moyenne des abscisses.

xM = (2 + 6) / 2
xM = 8 / 2 = 4

L abscisse de M est 4.

Question 2
Ordonnee du milieu

On fait la moyenne des ordonnees.

yM = (1 + 5) / 2
yM = 6 / 2 = 3

L ordonnee de M est 3.

Question 3
Coordonnees

On rassemble les deux resultats.

M(4 ; 3)

Le milieu de [AB] est M(4 ; 3).

Exercice 2

Translation par un vecteur

Énoncé

On considère A(1 ; -2) et le vecteur u = (3 ; 5).

1. Déterminer les coordonnées du point B tel que AB = u.

2. Verifier le calcul sur l abscisse.

3. Verifier le calcul sur l ordonnee.

Corrigé détaillé

Question 1
Recherche du point B

Si AB = (3 ; 5), on ajoute 3 a l abscisse et 5 a l ordonnee de A.

xB = 1 + 3 = 4
yB = -2 + 5 = 3

Le point B est B(4 ; 3).

Question 2
Verification sur x

On controle la difference des abscisses.

xB - xA = 4 - 1 = 3

L abscisse est correcte.

Question 3
Verification sur y

On controle la difference des ordonnees.

yB - yA = 3 - (-2) = 5

L ordonnee est correcte, donc AB = u.

Exercice 3

Colinearite avec des coordonnées

Énoncé

On considère A(1 ; 1), B(3 ; 5) et C(5 ; 9).

1. Calculer les coordonnées de AB.

2. Calculer les coordonnées de AC.

3. Dire si les points A, B et C sont alignes.

Corrigé détaillé

Question 1
Vecteur AB

On soustrait les coordonnées de A a celles de B.

AB = (3 - 1 ; 5 - 1)

AB = (2 ; 4)

On obtient AB = (2 ; 4).

Question 2
Vecteur AC

On soustrait les coordonnées de A a celles de C.

AC = (5 - 1 ; 9 - 1)

AC = (4 ; 8)

On obtient AC = (4 ; 8).

Question 3
Alignement

Les points sont alignes si les vecteurs AB et AC sont colineaires.

AC = 2 x AB

Les deux vecteurs sont colineaires

Donc les points A, B et C sont alignes.

Exercice 4

Coordonnées de vecteur et milieu

Énoncé

On considère A(2 ; -1) et B(6 ; 5).

1. Calculer les coordonnées du vecteur AB.

2. Calculer les coordonnées du milieu I de [AB].

3. Vérifier que AI = 1/2 AB.

Corrigé détaillé

Question 1
Vecteur AB

On soustrait les coordonnées de A à celles de B.

AB = (6 - 2 ; 5 - (-1))

AB = (4 ; 6)

On obtient AB = (4 ; 6).

Question 2
Milieu I

On fait la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées.

x_I = (2 + 6)/2 = 4
y_I = (-1 + 5)/2 = 2

Donc I(4 ; 2)

Le milieu est I(4 ; 2).

Question 3
Comparaison de AI et AB

On calcule AI puis on compare.

AI = (4 - 2 ; 2 - (-1)) = (2 ; 3)
1/2 AB = (4/2 ; 6/2) = (2 ; 3)

On vérifie bien que AI = 1/2 AB.

Exercice 5

Alignement de trois points

Énoncé

On considère A(1 ; 2), B(3 ; 6) et C(5 ; 10).

1. Calculer les coordonnées de AB.

2. Calculer les coordonnées de AC.

3. Dire si A, B et C sont alignés.

Corrigé détaillé

Question 1
Vecteur AB

On soustrait les coordonnées de A à celles de B.

AB = (3 - 1 ; 6 - 2)

AB = (2 ; 4)

On obtient AB = (2 ; 4).

Question 2
Vecteur AC

On soustrait les coordonnées de A à celles de C.

AC = (5 - 1 ; 10 - 2)

AC = (4 ; 8)

On obtient AC = (4 ; 8).

Question 3
Colinéarité

On vérifie si un vecteur est un multiple de l'autre.

AC = 2 x AB

Les vecteurs AB et AC sont colinéaires

Donc les points A, B et C sont alignés.

Exercice 6

Milieu d'un segment

Énoncé

On considère A(1 ; -2) et B(7 ; 4).

1. Calculer l'abscisse du milieu I de [AB].

2. Calculer l'ordonnée de I.

3. Donner les coordonnées de I.

Corrigé détaillé

Question 1
Abscisse du milieu

On fait la moyenne des abscisses.

x_I = (1 + 7)/2
x_I = 8/2
x_I = 4

L'abscisse du milieu vaut 4.

Question 2
Ordonnée du milieu

On fait la moyenne des ordonnées.

y_I = (-2 + 4)/2
y_I = 2/2
y_I = 1

L'ordonnée du milieu vaut 1.

Question 3
Coordonnées complètes

On rassemble les deux résultats.

I(4 ; 1)

Le milieu est I(4 ; 1).

Exercice 7

Point symétrique par rapport à un milieu

Énoncé

On sait que M(2 ; 3) est le milieu de [AB] et que A(-1 ; 5).

1. Écrire la formule sur les abscisses.

2. Écrire la formule sur les ordonnées.

3. Déterminer B.

Corrigé détaillé

Question 1
Abscisse

On utilise x_M = (x_A + x_B)/2.

2 = (-1 + x_B)/2
4 = -1 + x_B
x_B = 5

L'abscisse de B est 5.

Question 2
Ordonnée

On utilise y_M = (y_A + y_B)/2.

3 = (5 + y_B)/2
6 = 5 + y_B
y_B = 1

L'ordonnée de B est 1.

Question 3
Point B

On rassemble les deux coordonnées.

B(5 ; 1)

Le point B est B(5 ; 1).

Exercice 8

Vecteur et coordonnées d'un point

Énoncé

On considère A(3 ; 2) et u = (-5 ; 4).

1. Déterminer B tel que AB = u.

2. Calculer le milieu I de [AB].

3. Vérifier que AI = 1/2 AB.

Corrigé détaillé

Question 1
Coordonnées de B

On ajoute les coordonnées du vecteur à celles de A.

x_B = 3 + (-5) = -2
y_B = 2 + 4 = 6

B(-2 ; 6)

Le point B est B(-2 ; 6).

Question 2
Milieu I

On moyenne les coordonnées de A et de B.

x_I = (3 + (-2))/2 = 1/2
y_I = (2 + 6)/2 = 4
I(1/2 ; 4)

Le milieu est I(1/2 ; 4).

Question 3
Vérification vectorielle

On compare les coordonnées de AI et de AB.

AB = (-2 - 3 ; 6 - 2) = (-5 ; 4)
AI = (1/2 - 3 ; 4 - 2) = (-5/2 ; 2)
1/2 AB = (-5/2 ; 2)

On a bien AI = 1/2 AB.

Exercice 9

Repérage et distance horizontale ou verticale

Énoncé

On considère A(-4 ; 1), B(2 ; 1) et C(2 ; 6).

1. Déterminer AB.

2. Déterminer BC.

3. Donner les coordonnées du milieu de [AC].

Corrigé détaillé

Question 1
Vecteur horizontal

Les ordonnées sont égales.

AB = (2 - (-4) ; 1 - 1)

AB = (6 ; 0)

On obtient AB = (6 ; 0).

Question 2
Vecteur vertical

Les abscisses sont égales.

BC = (2 - 2 ; 6 - 1)

BC = (0 ; 5)

On obtient BC = (0 ; 5).

Question 3
Milieu de AC

On moyenne les coordonnées de A et de C.

x_I = (-4 + 2)/2 = -1
y_I = (1 + 6)/2 = 7/2

Le milieu de [AC] est (-1 ; 7/2).

Exercice 10

Coordonnées manquantes

Énoncé

On considère A(1 ; 4), B(x ; -2) et on sait que le milieu de [AB] est I(5 ; 1).

1. Utiliser l'abscisse du milieu pour trouver x.

2. Vérifier avec l'ordonnée du milieu.

3. Donner les coordonnées de B.

Corrigé détaillé

Question 1
Calcul de x

On utilise x_I = (x_A + x_B)/2.

5 = (1 + x)/2

10 = 1 + x

x = 9

L'abscisse de B vaut 9.

Question 2
Vérification sur les ordonnées

On contrôle avec y_I = (y_A + y_B)/2.

1 = (4 + (-2))/2
1 = 2/2

1 = 1

La donnée sur l'ordonnée est cohérente.

Question 3
Point B

On rassemble les coordonnées.

B(9 ; -2)

Le point B est B(9 ; -2).