MathSups - Seconde - Géométrie du plan

Exercice 1

Coordonnees d'un vecteur

Énoncé

Dans un repère, on considère A(1 ; 2) et B(5 ; -1).

1. Calculer les coordonnées du vecteur AB.

2. Donner sa norme au carré.

3. Dire si AB est nul.

Corrigé détaillé

Question 1

Coordonnees de AB

On soustrait les coordonnées de A a celles de B.

AB = (xB - xA ; yB - yA)

AB = (5 - 1 ; -1 - 2)

AB = (4 ; -3)

Le vecteur AB a pour coordonnées (4 ; -3).

Question 2

Norme au carré

On utilise x^2 + y^2.

||AB||^2 = 4^2 + (-3)^2 ||AB||^2 = 16 + 9 ||AB||^2 = 25

La norme au carré vaut 25.

Question 3

Vecteur nul ou non

Un vecteur est nul seulement si ses deux coordonnées sont nulles.

AB = (4 ; -3)

Les deux coordonnées ne sont pas nulles

Le vecteur AB n'est pas nul.

Exercice 2

Addition de vecteurs

Énoncé

On considère u = (2 ; -1) et v = (-3 ; 4).

1. Calculer u + v.

2. Calculer 2u.

3. Calculer 2u + v.

Corrigé détaillé

Question 1

Somme de deux vecteurs

On additionne les coordonnées composante par composante.

u + v = (2 + (-3) ; -1 + 4)

u + v = (-1 ; 3)

On obtient u + v = (-1 ; 3).

Question 2

Multiplication par un réel

On multiplie chaque coordonnee par 2.

2u = (2 x 2 ; 2 x (-1))

2u = (4 ; -2)

Le vecteur 2u vaut (4 ; -2).

Question 3

Combinaison linéaire

On additionne maintenant 2u et v.

2u + v = (4 ; -2) + (-3 ; 4)

2u + v = (1 ; 2)

On trouve 2u + v = (1 ; 2).

Exercice 3

Reconnaître des vecteurs égaux

Énoncé

Dans un parallelogramme ABCD, on considère les vecteurs AB, DC, AD et BC.

1. Citer un vecteur égal a AB.

2. Citer un vecteur égal a AD.

3. Dire si AB et AD peuvent etre égaux en general.

Corrigé détaillé

Question 1

Premier vecteur

Dans un parallelogramme, les cotes opposes definissent des vecteurs égaux.

AB = DC

Un vecteur égal a AB est DC.

Question 2

Deuxieme vecteur

On applique la même propriete a l autre paire de cotes opposes.

AD = BC

Un vecteur égal a AD est BC.

Question 3

Comparaison finale

Deux vecteurs égaux doivent avoir même direction, même sens et même longueur.

Dans un parallelogramme quelconque, AB et AD n ont pas forcement la même direction

Ils ne sont donc pas égaux en general

AB et AD ne sont pas égaux en general.

Exercice 4

Relation de Chasles dans un triangle

Énoncé

Dans un triangle ABC, on considère les vecteurs AB et BC.

1. Écrire une relation reliant AB, BC et AC.

2. Exprimer AC en fonction de AB et BC.

3. Exprimer BC en fonction de BA et AC.

Corrigé détaillé

Question 1

Relation de Chasles

Dans tout triangle, le vecteur allant de A à C s'obtient en passant par B.

AB + BC = AC

La relation de Chasles est AB + BC = AC.

Question 2

Expression de AC

On lit directement la relation précédente.

AC = AB + BC

Le vecteur AC s'écrit AC = AB + BC.

Question 3

Expression de BC

On remplace BA par l'opposé de AB.

AB + BC = AC

Comme BA = -AB, on peut écrire BC = AC + BA

On obtient BC = BA + AC.

Exercice 5

Parallélogramme et égalité de vecteurs

Énoncé

ABCD est un parallélogramme.

1. Donner un vecteur égal à AB.

2. Donner un vecteur égal à AD.

3. Exprimer AC en fonction de AB et AD.

Corrigé détaillé

Question 1

Côtés opposés

Dans un parallélogramme, les côtés opposés définissent des vecteurs égaux.

AB = DC

Un vecteur égal à AB est DC.

Question 2

Autre paire de côtés opposés

On applique la même propriété.

AD = BC

Un vecteur égal à AD est BC.

Question 3

Diagonale

On va de A à C en passant par B ou en passant par D.

AC = AB + BC

Or BC = AD

Donc AC = AB + AD

La diagonale s'écrit AC = AB + AD.

Exercice 6

Coordonnées de deux vecteurs

Énoncé

On considère A(1 ; 2), B(5 ; -1) et C(-2 ; 4).

1. Calculer AB.

2. Calculer AC.

3. Calculer AB + AC.

Corrigé détaillé

Question 1

Vecteur AB

On soustrait les coordonnées de A à celles de B.

AB = (5 - 1 ; -1 - 2)

AB = (4 ; -3)

On obtient AB = (4 ; -3).

Question 2

Vecteur AC

On soustrait les coordonnées de A à celles de C.

AC = (-2 - 1 ; 4 - 2)

AC = (-3 ; 2)

On obtient AC = (-3 ; 2).

Question 3

Somme

On additionne coordonnée par coordonnée.

AB + AC = (4 + (-3) ; -3 + 2)

AB + AC = (1 ; -1)

On obtient AB + AC = (1 ; -1).

Exercice 7

Relation de Chasles

Énoncé

On considère A(0 ; 1), B(2 ; 4) et C(5 ; 3).

1. Calculer AB.

2. Calculer BC.

3. Vérifier que AB + BC = AC.

Corrigé détaillé

Question 1

Calcul de AB

On soustrait les coordonnées de A à celles de B.

AB = (2 - 0 ; 4 - 1)

AB = (2 ; 3)

On obtient AB = (2 ; 3).

Question 2

Calcul de BC

On soustrait les coordonnées de B à celles de C.

BC = (5 - 2 ; 3 - 4)

BC = (3 ; -1)

On obtient BC = (3 ; -1).

Question 3

Vérification

On calcule d'une part AB + BC et d'autre part AC.

AB + BC = (2 + 3 ; 3 + (-1)) = (5 ; 2) AC = (5 - 0 ; 3 - 1) = (5 ; 2)

On vérifie bien que AB + BC = AC.

Exercice 8

Vecteurs colinéaires

Énoncé

On considère u = (3 ; 6) et v = (-2 ; -4).

1. Dire si v est un multiple de u.

2. Dire si u et v sont colinéaires.

3. Donner un troisième vecteur colinéaire à u.

Corrigé détaillé

Question 1

Recherche d'un coefficient

On cherche un nombre k tel que v = ku.

-2 = 3k et -4 = 6k k = -2/3 dans la première égalité 6 x (-2/3) = -4 dans la seconde

On a bien v = (-2/3)u.

Question 2

Colinéarité

Deux vecteurs sont colinéaires si l'un est un multiple de l'autre.

v = (-2/3)u

Les vecteurs u et v sont colinéaires.

Question 3

Exemple de vecteur

Tout multiple de u convient.

2u = (6 ; 12)

Par exemple, le vecteur (6 ; 12) est colinéaire à u.

Exercice 9

Parallélogramme et vecteurs égaux

Énoncé

ABCD est un parallélogramme.

1. Donner un vecteur égal à AB.

2. Donner un vecteur égal à AD.

3. Écrire une relation vectorielle reliant AB, AD et AC.

Corrigé détaillé

Question 1

Côtés opposés

Dans un parallélogramme, les côtés opposés définissent des vecteurs égaux.

AB = DC

Un vecteur égal à AB est DC.

Question 2

Autre paire de côtés

On applique la même propriété.

AD = BC

Un vecteur égal à AD est BC.

Question 3

Diagonale

La diagonale AC est la somme de deux côtés issus de A.

AB + AD = AC

La relation cherchée est AB + AD = AC.

Exercice 10

Calcul d'un point par translation

Énoncé

On considère A(2 ; -1) et le vecteur u = (4 ; 3).

1. Déterminer les coordonnées du point B tel que AB = u.

2. Calculer BA.

3. Dire si BA est égal à u.

Corrigé détaillé

Question 1

Coordonnées de B

Si AB = (4 ; 3), alors on ajoute 4 à l'abscisse et 3 à l'ordonnée de A.

x_B = 2 + 4 = 6 y_B = -1 + 3 = 2

B(6 ; 2)

Le point B est B(6 ; 2).

Question 2

Calcul de BA

On inverse l'ordre des points.

BA = (2 - 6 ; -1 - 2)

BA = (-4 ; -3)

On obtient BA = (-4 ; -3).

Question 3

Comparaison avec u

Un vecteur opposé n'est pas égal au vecteur initial.

u = (4 ; 3)

BA = (-4 ; -3)

BA n'est pas égal à u.