Seconde générale et technologique

Calcul littéral, puissances, racines et arithmétique

Le calcul littéral sert à transformer une expression pour la rendre plus simple, plus lisible ou plus utile. En Seconde, il faut savoir développer, réduire et factoriser sans perdre le sens des opérations ni les signes.

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Calcul littéral, distributivité et factorisation

Le calcul littéral sert à transformer une expression pour la rendre plus simple, plus lisible ou plus utile. En Seconde, il faut savoir développer, réduire et factoriser sans perdre le sens des opérations ni les signes.

Expression littérale et priorités

Une expression littérale contient des lettres, par exemple $3x-5$ ou $2(a+1)$. Les priorités restent les mêmes qu'en calcul numérique : parenthèses, puissances, multiplications et divisions, puis additions et soustractions.

Distributivité simple

On a $k(a+b)=ka+kb$ et $-(a+b)=-a-b$. Par exemple $3(x-4)=3x-12$ et $-(2x-5)=-2x+5$. Le signe moins devant une parenthèse change le signe de tous les termes.

Double distributivité

Quand deux parenthèses sont multipliées, on développe chaque terme de la première avec chaque terme de la seconde : $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.$ Par exemple $(x+3)(x-2)=x^2+x-6.$ Cette méthode évite d'oublier un terme au milieu du calcul.

Réduire puis factoriser

Réduire consiste à regrouper les termes de même nature : $5x-3+2x+8=7x+5$. Factoriser consiste à écrire une somme sous forme de produit, souvent en mettant un facteur commun en évidence : $6x+9=3(2x+3)$.

Trois transformations utiles

On peut par exemple écrire :

  • $4(x-2)+3(x-2)=7(x-2)$ en mettant $x-2$ en facteur ;
  • $2(x+1)-3(x-1)=2x+2-3x+3=-x+5$ en développant puis en réduisant ;
  • $x(x-5)-2(x-5)=(x-5)(x-2)$ en factorisant par facteur commun.

Ces trois réflexes reviennent très souvent dans les exercices.

Développer et factoriser

Développer transforme un produit en somme. Factoriser fait l'inverse. Avant de commencer, il faut donc se demander quelle forme est demandée.

Puissances et racines carrées

Les puissances et les racines apparaissent dans les simplifications, les calculs exacts et les identités remarquables. Il faut connaître les règles, mais aussi leurs conditions d'utilisation.

Règles sur les puissances

Pour une même base $a$, on a $a^m\times a^n=a^{m+n}$, $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ si $a\neq0$, et $\left(a^m\right)^n=a^{mn}$. Ces formules ne s'utilisent que quand la base est la même.

Puissances de 10 et notation scientifique

Un nombre en notation scientifique s'écrit $a\times10^n$ avec $1\le a<10$. Par exemple $450000=4,5\times10^5$ et $0,00072=7,2\times10^{-4}.$ Les puissances de 10 permettent de déplacer la virgule sans changer la valeur du nombre.

Exemples de calculs

$2^3\times2^4=2^7$, $\dfrac{5^6}{5^2}=5^4$ et $\left(3^2\right)^3=3^6$. En revanche, $2^3+2^4$ ne se simplifie pas en une seule puissance, car il s'agit d'une somme.

Racine carrée

La racine carrée $\sqrt{x}$ n'est définie que pour $x\ge0$. C'est le nombre positif dont le carré vaut $x$. Par exemple $\sqrt{49}=7$.

Produit et quotient sous une racine

Si $a\ge0$ et $b\ge0,$ alors $\sqrt{ab}=\sqrt a\times\sqrt b.$ Si $a\ge0$ et $b>0,$ alors $\sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}.$ Ces formules sont très utiles pour simplifier une racine, à condition de vérifier les hypothèses sur les signes.

Par exemple, $\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=\sqrt{36}\sqrt2=6\sqrt2.$ De même, $\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt4}=\frac52.$

Pourquoi $\sqrt{a^2}=|a|$ ?

Si $a\ge0$, alors $\sqrt{a^2}=a$. Si $a<0$, le nombre positif dont le carré vaut $a^2$ est $-a$. Dans tous les cas, $\sqrt{a^2}=|a|$.

Ne pas oublier les conditions

Quand on simplifie une racine, il faut garder en tête que $\sqrt{x}$ n'existe pas pour un nombre négatif. De même, la règle $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ exige $a\neq0$. Ces conditions sont petites, mais elles évitent de gros contresens.

Simplifier une racine

On extrait un carré parfait : $\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=6\sqrt2$. Cette méthode permet ensuite de réduire plusieurs termes de même forme.

Identités remarquables et arithmétique

Les identités remarquables doivent être connues, mais aussi comprises. L'arithmétique complète ensuite le chapitre avec les diviseurs, les facteurs premiers et la simplification des fractions.

Les trois identités à connaître par coeur

On doit savoir reconnaître et écrire les trois formes suivantes, de manière très lisible :

$\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2$

$\left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2$

$\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2$

Ces trois écritures doivent être reconnues visuellement, puis utilisées dans le bon sens : pour développer ou pour factoriser.

Identité 1 : $\left(a+b\right)^2$

On a :

$\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2.$

Pourquoi ? Parce que $\left(a+b\right)^2=\left(a+b\right)\left(a+b\right)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2.$

Exemple : $\left(x+3\right)^2=x^2+6x+9.$

Identité 2 : $\left(a-b\right)^2$

On a :

$\left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2.$

Pourquoi ? Parce que $\left(a-b\right)\left(a-b\right)=a^2-ab-ab+b^2=a^2-2ab+b^2.$

Exemple : $\left(2x-5\right)^2=4x^2-20x+25.$

Identité 3 : $\left(a-b\right)\left(a+b\right)$

On a :

$\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2.$

Pourquoi ? Les termes du milieu se compensent : $\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2+ab-ab-b^2=a^2-b^2.$

Exemple : $x^2-16=(x-4)(x+4).$

Reconnaître la bonne identité

Si on voit trois termes avec un carré au début et à la fin, on cherche souvent un carré remarquable. Si on voit une différence de deux carrés, on pense à $a^2-b^2=(a-b)(a+b).$

Exemple : $9x^2-12x+4$ se reconnaît comme $\left(3x-2\right)^2$ car $9x^2=(3x)^2$, $4=2^2$ et $-12x=-2\times3x\times2.$

Du calcul littéral à la factorisation

On peut aussi factoriser une expression en utilisant les identités remarquables après avoir réécrit les termes de manière adaptée. Par exemple $x^2+6x+9$ devient $\left(x+3\right)^2$, et $4y^2-25$ devient $\left(2y-5\right)\left(2y+5\right)$. C'est souvent plus utile que de laisser une somme développée.

Piège classique

On ne doit jamais écrire $a^2+b^2=(a+b)^2$. Il manque le terme $2ab$. Cette confusion est l'une des fautes les plus fréquentes du chapitre.

Additionner et simplifier des fractions

Pour additionner deux fractions, on commence par les mettre au même dénominateur. Par exemple $\frac23+\frac56=\frac46+\frac56=\frac96=\frac32.$ Pour simplifier une fraction, on divise ensuite le numérateur et le dénominateur par un même diviseur non nul.

PGCD

Le plus grand commun diviseur de deux entiers $a$ et $b,$ noté $\operatorname{PGCD}(a;b),$ est le plus grand entier positif qui divise à la fois $a$ et $b.$ C'est l'outil naturel pour simplifier une fraction de façon complète.

Calculer un PGCD

On peut calculer un PGCD de deux façons classiques :

  • avec la décomposition en facteurs premiers : on garde les facteurs communs avec les plus petits exposants ;
  • avec l'algorithme d'Euclide : on effectue des divisions successives jusqu'à obtenir un reste nul.

Exemple : $84=2^2\times3\times7$ et $126=2\times3^2\times7.$ Le PGCD vaut donc $2\times3\times7=42.$ On peut alors simplifier $\frac{84}{126}=\frac{2}{3}.$ Par Euclide, on écrirait aussi $126=84+42$ puis $84=2\times42,$ donc le PGCD est $42.$

Divisibilité et facteurs premiers

Dire que $b$ divise $a$ signifie qu'il existe un entier $k$ tel que $a=bk$. Tout entier supérieur à 1 se décompose en produit de facteurs premiers. Par exemple $84=2^2\times3\times7$. Cette écriture sert ensuite à simplifier une fraction comme $\frac{84}{126}=\frac23$.

Parité et multiples

Un entier pair s'écrit $2k$ et un entier impair $2k+1.$ La somme de deux entiers pairs est paire, la somme d'un pair et d'un impair est impaire, et le carré d'un entier impair est impair. Ces formes simples permettent de justifier beaucoup de résultats d'arithmétique sans calcul compliqué.

Deux exemples utiles

1. Développer $\left(x-7\right)^2$ donne $x^2-14x+49$.

2. Factoriser $25-9x^2$ donne $\left(5-3x\right)\left(5+3x\right).$

Dans les deux cas, l'identité remarquable permet d'aller plus vite, à condition d'identifier correctement la forme.

QCM du chapitre

  1. Question 1. Quelle égalité est correcte ?

    • A. $\left(x+5\right)^2=x^2+25$
    • B. $\left(x-3\right)^2=x^2-6x+9$
    • C. $a^2+b^2=(a+b)^2$
    • D. $\sqrt{a^2}=a$ pour tout réel $a$

    Réponse. B. $\left(x-3\right)^2=x^2-6x+9$

    Explication. La deuxième identité remarquable donne bien $x^2-6x+9$.

  2. Question 2. $\sqrt{18}$ vaut :

    • A. $9\sqrt2$
    • B. $3\sqrt2$
    • C. $\sqrt9+\sqrt2$
    • D. $6\sqrt3$

    Réponse. B. $3\sqrt2$

    Explication. On écrit $18=9\times2$ puis $\sqrt{18}=\sqrt9\sqrt2=3\sqrt2$.

  3. Question 3. L'expression $x^2-25$ se factorise en :

    • A. $\left(x-5\right)^2$
    • B. $\left(x-5\right)(x+5)$
    • C. $x(x-25)$
    • D. $\left(x+5\right)^2$

    Réponse. B. $\left(x-5\right)(x+5)$

    Explication. Il s'agit d'une différence de deux carrés.

  4. Question 4. La décomposition en facteurs premiers de $60$ est :

    • A. $2\times30$
    • B. $2^2\times3\times5$
    • C. $6\times10$
    • D. $3\times20$

    Réponse. B. $2^2\times3\times5$

    Explication. $60=4\times15=2^2\times3\times5$.

Exercices guidés

Exercice 1. Développer puis factoriser

On considère $A=(x+4)^2-(x-4)^2$. Développer, réduire, puis retrouver le résultat par factorisation directe.

  1. Étape 1. Développer chaque carré.

    On obtient $\left(x+4\right)^2=x^2+8x+16$ et $\left(x-4\right)^2=x^2-8x+16$.

  2. Étape 2. Réduire l'expression.

    Donc $A=(x^2+8x+16)-(x^2-8x+16)=16x$.

  3. Étape 3. Retrouver le résultat autrement.

    On reconnaît une différence de deux carrés : $A=((x+4)-(x-4))((x+4)+(x-4))=8\times2x=16x$. Les deux méthodes donnent le même résultat.

Exercice 2. Simplifier des racines

Simplifier $B=\sqrt{50}+\sqrt8-\sqrt{18}$.

  1. Étape 1. Extraire les carrés parfaits.

    On écrit $\sqrt{50}=5\sqrt2$, $\sqrt8=2\sqrt2$ et $\sqrt{18}=3\sqrt2$.

  2. Étape 2. Réduire les termes de même forme.

    Alors $B=5\sqrt2+2\sqrt2-3\sqrt2=4\sqrt2$.

  3. Étape 3. Conclure.

    Le résultat simplifié est $B=4\sqrt2$.

À retenir