Seconde générale et technologique

Droites du plan, équations et alignement

Une droite du plan peut être décrite de plusieurs façons : par son dessin, par une fonction affine, par une équation cartésienne ou par un vecteur directeur. Savoir passer d'une écriture à l'autre est une compétence centrale en Seconde, car cela permet de résoudre plus vite et de rédiger plus...

Version HTML statique du cours. Si JavaScript est actif, MathSups affiche l’expérience interactive avec QCM, exercices guidés et assistant IA.

Droites du plan et forme affine

Une droite du plan peut être décrite de plusieurs façons : par son dessin, par une fonction affine, par une équation cartésienne ou par un vecteur directeur. Savoir passer d'une écriture à l'autre est une compétence centrale en Seconde, car cela permet de résoudre plus vite et de rédiger plus proprement.

Forme affine

Lorsqu'une droite n'est pas verticale, elle peut s'écrire $y=mx+p.$ Le coefficient directeur $m$ mesure la pente de la droite, et $p$ est l'ordonnée à l'origine, c'est-à-dire la valeur de $f(0).$

Sens de variation

Si $m>0,$ la droite monte quand on va vers la droite. Si $m<0,$ elle descend. Si $m=0,$ elle est horizontale. Le signe de $m$ donne donc immédiatement le sens de variation de la fonction affine associée.

Trouver une droite à partir de deux points

On calcule d'abord le coefficient directeur par :

$m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$

si $x_A\ne x_B.$ Puis on remplace un point dans $y=mx+p$ pour déterminer $p.$ C'est la méthode la plus classique du chapitre.

Droite verticale

Si deux points ont la même abscisse, la droite est verticale et ne peut pas être écrite sous la forme $y=mx+p.$ Elle s'écrit alors $x=a.$ Il faut vérifier ce cas avant de calculer un coefficient directeur.

Exemple de lecture

La droite $y=2x-3$ coupe l'axe des ordonnées au point $A(0;-3).$ Son coefficient directeur vaut $2$ : quand $x$ augmente de 1, $y$ augmente de 2. Cette lecture rapide est très utile pour interpréter un graphique.

Équation cartésienne et vecteur directeur

L'équation cartésienne est la forme la plus robuste pour étudier les droites du plan. Elle est pratique pour vérifier l'appartenance d'un point, comparer deux droites ou résoudre un système. Le vecteur directeur, lui, donne la direction de la droite sans passer par la pente.

Équation cartésienne

Une droite admet une équation de la forme $ax+by+c=0$ avec $(a,b)\ne(0,0).$ Un point $M(x;y)$ appartient à la droite si et seulement si ses coordonnées vérifient cette équation.

Vecteur directeur

Un vecteur directeur d'une droite est un vecteur non nul qui donne sa direction. Si deux droites ont des vecteurs directeurs colinéaires, elles sont parallèles. Si leurs vecteurs ne le sont pas, elles ne sont pas parallèles.

Vecteur directeur d'une équation cartésienne

Si une droite a pour équation $ax+by+c=0,$ alors un vecteur directeur est $(-b;a).$ Par exemple, pour $2x-3y+1=0,$ un vecteur directeur est $(3;2).$ Cette règle relie directement l'écriture cartésienne à la direction de la droite.

Passer de $ax+by+c=0$ à $y=mx+p$

Si $b\ne0,$ on isole $y$ :

$ax+by+c=0\Longleftrightarrow y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}.$

On retrouve ainsi le coefficient directeur $m=-\frac{a}{b}$ et l'ordonnée à l'origine $p=-\frac{c}{b}.$ Cette passerelle entre les deux écritures doit être maîtrisée.

Tester l'appartenance d'un point

Pour savoir si un point appartient à une droite, on remplace simplement ses coordonnées dans l'équation. Si l'égalité est vraie, le point est sur la droite. Cette vérification est rapide et évite les confusions visuelles.

Exemple concret

Le point $M(2;1)$ appartient à la droite $2x-y+3=0$ ? On teste : $2\times2-1+3=6,$ ce qui n'est pas nul. Donc $M$ n'appartient pas à la droite. La substitution permet de trancher immédiatement.

À retenir

Une équation cartésienne ne donne pas seulement des nombres à calculer. Elle décrit un ensemble de points. C'est pour cela qu'un point vérifie l'équation ou ne la vérifie pas, sans zone grise.

Alignement, parallélisme et intersection

L'alignement et le parallélisme sont deux problèmes proches. En pratique, on utilise des vecteurs colinéaires, des équations cartésiennes ou l'intersection de deux droites pour conclure proprement. Il faut savoir rédiger la conclusion finale sans ambiguïté.

Alignement par vecteurs

Les points $A,$ $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. C'est le critère de base à utiliser dans les exercices du programme.

Parallélisme

Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Dans le cas de droites écrites sous forme affine $y=mx+p,$ le parallélisme se lit simplement avec l'égalité des coefficients directeurs.

Perpendiculaires et coefficients directeurs

Si deux droites non verticales ont pour coefficients directeurs $m_1$ et $m_2,$ alors elles sont perpendiculaires si et seulement si $m_1\times m_2=-1.$ C'est l'un des critères les plus utiles du chapitre. Par exemple, une droite de pente $2$ est perpendiculaire à une droite de pente $-\frac12.$ Si l'une des droites est verticale, la perpendiculaire est horizontale, et la formule avec les coefficients directeurs ne s'applique plus directement.

Intersection de deux droites

Deux droites sécantes ont un point d'intersection unique. Leurs équations forment alors un système à deux inconnues. La solution du système donne précisément les coordonnées du point d'intersection.

Trois positions relatives de deux droites

Deux droites peuvent être sécantes, parallèles distinctes ou confondues. En langage de système, cela correspond respectivement à une solution unique, aucune solution ou une infinité de solutions. Cette lecture géométrique permet de contrôler un calcul algébrique.

Rédiger une conclusion

Une conclusion propre doit annoncer clairement la propriété prouvée : « Les points sont alignés », « Les droites sont parallèles » ou « Les droites se coupent en un point ». L'écriture finale compte autant que le calcul.

Exemple d'intersection

Les droites $d_1: y=2x-1$ et $d_2: y=-x+8$ se coupent au point où $2x-1=-x+8.$ On obtient $3x=9,$ donc $x=3$ et $y=5.$ Le point d'intersection est donc $I(3;5).$

Méthodes à maîtriser

Cette dernière partie rassemble les réflexes à stabiliser. En géométrie analytique, la difficulté ne vient pas seulement des formules, mais surtout du choix du bon outil au bon moment : distance, milieu, vecteur, alignement ou parallélisme.

Choisir la bonne formule

Si on cherche une longueur, on pense à la distance. Si on cherche le point qui partage un segment, on pense au milieu. Si on cherche un déplacement, on pense au vecteur. Si on veut prouver un alignement ou un parallélisme, on pense à la colinéarité.

Ne pas confondre vecteur et segment

Un segment a deux extrémités. Un vecteur décrit un déplacement et peut être translaté. Cette distinction est importante : le vecteur $\overrightarrow{AB}$ ne dépend pas de la position du dessin, seulement du départ et de l'arrivée.

Mini bilan

Avec les coordonnées, on peut lire une figure, calculer une longueur, déterminer un milieu, comparer des directions et prouver des propriétés. C'est pour cela que cette partie sert de base à toute la géométrie analytique du lycée.

QCM du chapitre

  1. Question 1. Une droite verticale a pour équation :

    • A. $y=mx+p$
    • B. $x=a$
    • C. $ax+by+c=0$ uniquement
    • D. $y=a$

    Réponse. B. $x=a$

    Explication. Une droite verticale regroupe tous les points de même abscisse.

  2. Question 2. Le coefficient directeur de la droite passant par $A(1;1)$ et $B(3;5)$ vaut :

    • A. 1
    • B. 2
    • C. 3
    • D. 4

    Réponse. B. 2

    Explication. On calcule $\frac{5-1}{3-1}=2.$

  3. Question 3. Pour vérifier qu'un point appartient à $2x-y+1=0,$ il faut :

    • A. calculer une distance
    • B. remplacer $x$ et $y$ dans l'équation
    • C. dresser un tableau de variations
    • D. tracer la droite obligatoirement

    Réponse. B. remplacer $x$ et $y$ dans l'équation

    Explication. La substitution donne immédiatement la réponse.

  4. Question 4. Si deux droites ont des vecteurs directeurs colinéaires, alors elles sont :

    • A. sécantes
    • B. parallèles
    • C. perpendiculaires
    • D. confondues forcément

    Réponse. B. parallèles

    Explication. La colinéarité des vecteurs directeurs entraîne le parallélisme.

Exercices guidés

Exercice 1. Déterminer et vérifier une équation de droite

Déterminer l'équation réduite de la droite passant par $A(1;2)$ et $B(3;6).$ Puis vérifier si le point $C(5;10)$ appartient à cette droite.

  1. Étape 1. Calculer le coefficient directeur.

    On a $m=\frac{6-2}{3-1}=\frac42=2.$

  2. Étape 2. Chercher l'ordonnée à l'origine.

    On écrit $y=2x+p.$ Comme $A(1;2)$ appartient à la droite, on a $2=2\times1+p,$ donc $p=0.$

  3. Étape 3. Vérifier le point C.

    On teste $C(5;10)$ dans $y=2x.$ On obtient $2\times5=10.$ Le point appartient bien à la droite.

  4. Étape 4. Conclure.

    La droite a donc pour équation $y=2x$ et le point $C$ appartient à cette droite. La réponse est complète parce qu'elle donne l'équation et la vérification demandée.

Exercice 2. Montrer que deux droites sont parallèles puis trouver leur intersection si elles existent

On considère $d_1: y=3x-2$ et $d_2: 3x-y+5=0.$
1. Montrer que ces droites sont parallèles ou sécantes.
2. Interpréter le résultat.

  1. Étape 1. Mettre chaque droite sous une forme lisible.

    La première droite est déjà sous la forme $y=3x-2.$ La seconde s'écrit $y=3x+5.$ Les deux coefficients directeurs valent donc $3.$

  2. Étape 2. Comparer les coefficients directeurs.

    Les coefficients directeurs étant égaux, les droites ont la même direction. Elles sont donc parallèles.

  3. Étape 3. Conclure correctement.

    Les droites sont parallèles et distinctes, car leurs ordonnées à l'origine sont différentes : $-2$ et $5.$ Elles ne se coupent donc pas.

À retenir