Seconde générale et technologique

Ensembles, intervalles et valeur absolue

Un ensemble est une collection d'objets bien définis. Dans ce chapitre, ces objets sont des nombres. Le but n'est pas de réciter une liste de lettres, mais de savoir dire précisément à quel ensemble appartient un nombre et pourquoi.

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Ensembles de nombres, appartenance et inclusion

Un ensemble est une collection d'objets bien définis. Dans ce chapitre, ces objets sont des nombres. Le but n'est pas de réciter une liste de lettres, mais de savoir dire précisément à quel ensemble appartient un nombre et pourquoi.

Qu'est-ce qu'un ensemble ?

Un ensemble regroupe des éléments que l'on sait reconnaître sans ambiguïté. On note par exemple $\mathbb{N}$ l'ensemble des naturels, $\mathbb{Z}$ celui des entiers relatifs, $\mathbb{D}$ celui des nombres décimaux, $\mathbb{Q}$ celui des rationnels et $\mathbb{R}$ celui des réels.

On retient l'inclusion fondamentale : $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}.$

Tableau des ensembles à connaître

Voici un tableau de repères à connaître. Il sert à visualiser ce que contient chaque ensemble, et surtout à éviter les confusions entre les exemples.

Ensemble Ce qu'il contient Exemples Exemple exclu
$\mathbb{N}$ Les naturels $0,1,2,15$ $-1$
$\mathbb{Z}$ Les entiers relatifs $-4,0,8,27$ $2,5$
$\mathbb{D}$ Les décimaux finis $-3,5\ ;\ 0,125\ ;\ 7$ $\frac13$
$\mathbb{Q}$ Les rationnels $\frac27\ ;\ -5\ ;\ 0,4$ $\sqrt2$
$\mathbb{R}$ Tous les réels $\pi\ ;\ \sqrt2\ ;\ -7\ ;\ \frac35$ Aucun réel n'est exclu de $\mathbb{R}$
Schéma sur les ensembles en Seconde
Ce schéma complète le rappel sur les ensembles de nombres étudiés en Seconde.

Lire le tableau comme un élève de Seconde

Le tableau n'est pas seulement une liste : il sert à répondre vite à des questions simples.

  • $0\in\mathbb{N}$, donc aussi $0\in\mathbb{Z}$, $0\in\mathbb{D}$, $0\in\mathbb{Q}$ et $0\in\mathbb{R}$.
  • $-5\in\mathbb{Z}$ mais $-5\notin\mathbb{N}$.
  • $\frac{3}{10}\in\mathbb{D}$ car $\frac{3}{10}=0,3$.
  • $\frac17\in\mathbb{Q}$ mais $\frac17\notin\mathbb{D}$.
  • $\pi\in\mathbb{R}$ mais $\pi\notin\mathbb{Q}$.

Quand on rédige, il faut toujours justifier l'appartenance avec une vraie raison et non seulement avec une intuition.

Pourquoi $\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}$ ?

Tout nombre décimal fini s'écrit sous forme de fraction. Par exemple $3,7=\frac{37}{10}$ et $-2,45=\frac{-245}{100}$. Donc tout décimal est rationnel.

Décimal, rationnel, irrationnel

Un nombre décimal s'écrit sous la forme $\frac{a}{10^n}$ avec $a$ entier et $n$ naturel. Ainsi $0,125=\frac{125}{1000}$. Un rationnel est un quotient d'entiers, mais il n'a pas toujours une écriture décimale finie : $\frac13$ est rationnel sans être décimal. À l'inverse, $\sqrt2$ et $\pi$ sont réels mais irrationnels : ils n'admettent pas d'écriture fractionnaire exacte.

Valeur approchée, défaut, excès et arrondi

Pour approcher un réel, on peut choisir un nombre décimal à un certain rang de précision.

  • La valeur approchée par défaut à $n$ décimales est le plus grand décimal à $n$ décimales inférieur ou égal au nombre.
  • La valeur approchée par excès à $n$ décimales est le plus petit décimal à $n$ décimales supérieur ou égal au nombre.
  • L'arrondi à $n$ décimales est le décimal à $n$ décimales le plus proche du nombre.

Exemple : pour $\pi,$ au centième, la valeur par défaut est $3,14,$ la valeur par excès est $3,15,$ et l'arrondi est $3,14.$ Pour arrondir, on regarde le chiffre suivant : s'il est inférieur à 5, on garde ; s'il est supérieur ou égal à 5, on augmente d'une unité le dernier chiffre conservé.

Appartenance, inclusion et classement

Le symbole $\in$ relie un nombre à un ensemble : $-3\in\mathbb{Z}$. Le symbole $\subset$ relie deux ensembles : $\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}$. Pour classer un nombre, on cherche l'ensemble le plus précis possible. Ainsi $-8\in\mathbb{Z}$, $0,125\in\mathbb{D}$, $\frac13\in\mathbb{Q}$ mais $\frac13\notin\mathbb{D}$, et $\sqrt2\in\mathbb{R}$ mais $\sqrt2\notin\mathbb{Q}$.

Exemples rédigés comme sur une copie

On peut écrire :

  • $-1\notin\mathbb{N}$ car $-1$ n'est pas un naturel.
  • $0\in\mathbb{N}$ et donc aussi $0\in\mathbb{Z}$, $0\in\mathbb{D}$, $0\in\mathbb{Q}$ et $0\in\mathbb{R}$.
  • $2,75\in\mathbb{D}$ car son écriture décimale est finie.
  • $\frac{5}{8}\in\mathbb{Q}$ et même $\frac{5}{8}\in\mathbb{D}$ car $\frac{5}{8}=0,625$.
  • $\sqrt5\in\mathbb{R}$ mais $\sqrt5\notin\mathbb{Q}$.

Écrire un ensemble de solutions

Quand on résout une inéquation, on termine souvent par un ensemble de solutions. Par exemple, si on trouve $x\ge3$, on peut écrire $S=[3;+\infty[$. Si on trouve $-2

Erreur fréquente

On n'écrit jamais $-3\subset\mathbb{Z}$ ni $\mathbb{Z}\in\mathbb{Q}$. Un nombre appartient à un ensemble, alors qu'un ensemble peut être inclus dans un autre.

Intervalles, bornes et lecture sur la droite réelle

Un intervalle est la manière standard d'écrire un ensemble de réels compris entre deux bornes. Il faut savoir lire les crochets, passer d'une phrase ou d'une inéquation à une notation, puis retrouver le sens de l'écriture obtenue.

Intervalles sur une droite graduée
Le schéma des intervalles doit être lu ici : il sert à comprendre la différence entre borne comprise, borne exclue, intervalle borné et demi-droite.

Définition et crochets

On note $[a;b]$ si les deux bornes sont comprises, $]a;b[$ si elles sont exclues, et $[a;b[$ ou $]a;b]$ si une seule borne est comprise. Les demi-droites s'écrivent par exemple $]-\infty;3]$ ou $[2;+\infty[$.

Traduire une phrase

« $x$ est strictement supérieur à $-2$ et inférieur ou égal à $5$ » se traduit par $x\in]-2;5]$. Le mot « strictement » correspond à une borne exclue. L'absence de stricteté correspond à une borne comprise.

Passer d'une inéquation à un intervalle

On doit connaître les équivalences suivantes : $a\le x\le b\Longleftrightarrow x\in[a;b]$, $ab\Longleftrightarrow x\in]b;+\infty[$ et $x\le c\Longleftrightarrow x\in]-\infty;c].$

Trois cas à reconnaître immédiatement

On doit savoir écrire sans hésiter :

  • $x\ge0\Longleftrightarrow x\in[0;+\infty[$.
  • $x<2\Longleftrightarrow x\in]-\infty;2[$.
  • $-3\le x<1\Longleftrightarrow x\in[-3;1[$.

Ces passages rapides seront utilisés partout : en inéquations, en étude de fonction et en probabilités.

Lecture correcte

Si $A=]-4;1]$, on rédige : « l'ensemble $A$ contient tous les réels strictement supérieurs à $-4$ et inférieurs ou égaux à $1$ ». Les crochets portent l'information essentielle.

Tester l'appartenance à un intervalle

Pour savoir si un nombre appartient à un intervalle, on le compare simplement aux bornes. Par exemple, $-1\in]-4;1]$ car $-4<-1\le1,$ mais $1,3\notin]-4;1]$ car $1,3>1.$ Cette lecture directe est attendue dans les résolutions d'inéquations.

Union, intersection, encadrements et valeur absolue

Quand plusieurs conditions sont imposées, on combine des ensembles avec l'union et l'intersection. La valeur absolue, elle, mesure une distance : c'est cette idée qui permet de relier un écart à un intervalle.

Union et intersection

L'union $A\cup B$ rassemble les éléments qui appartiennent à $A$ ou à $B$. L'intersection $A\cap B$ garde seulement les éléments communs. Par exemple $[-2;5]\cap[1;7]=[1;5]$, tandis que $]-\infty;-1]\cup[4;+\infty[$ décrit deux zones séparées.

Encadrement

Dire que $x$ est encadré par $2$ et $9$ s'écrit $2\le x\le9$, donc $x\in[2;9]$. Une double inégalité et un intervalle traduisent exactement la même information.

Valeur absolue comme distance

La valeur absolue $|x|$ est la distance entre $x$ et $0$. Plus généralement, $|x-a|$ est la distance entre $x$ et $a$. Ainsi $|x-a|\le r$ signifie que $x$ reste à distance au plus $r$ de $a$.

Traduire en intervalle

On obtient : $|x-a|\le r\Longleftrightarrow a-r\le x\le a+r$, donc $x\in[a-r;a+r]$. De même, $|x-a|

Deux égalités utiles

La valeur absolue permet aussi d'écrire des égalités simples à partir de la distance :

  • $|x-a|=0\Longleftrightarrow x=a$.
  • $|x-a|=r$ signifie que $x$ est à distance exactement $r$ de $a$, donc $x=a-r$ ou $x=a+r$.

Ces deux cas sont très utiles quand on résout une équation avec valeur absolue.

Exemple d'équation

Résoudre $|x-3|=5$ revient à chercher les nombres situés à distance 5 de 3. On obtient donc deux solutions : $x=-2$ ou $x=8$. Une valeur absolue égale à un nombre positif donne souvent deux solutions symétriques autour du centre.

Exemple complet

Résoudre $|x+1|<4$ revient à écrire $|x-(-1)|<4$. Le centre est $-1$ et le rayon vaut $4$. On obtient donc $-5

Trois traductions à connaître

On rencontre très souvent les équivalences suivantes :

  • $|x|\le3\Longleftrightarrow x\in[-3;3]$ ;
  • $|x|>2\Longleftrightarrow x\in]-\infty;-2[\cup]2;+\infty[$ ;
  • $|x-4|=1\Longleftrightarrow x=3\text{ ou }x=5.$

Dans chaque cas, on revient à une lecture de distance sur la droite réelle.

QCM du chapitre

  1. Question 1. Quel nombre appartient à $\mathbb{Q}$ mais pas à $\mathbb{D}$ ?

    • A. $-7$
    • B. $0,125$
    • C. $\frac13$
    • D. $\sqrt9$

    Réponse. C. $\frac13$

    Explication. $\frac13$ est un quotient d'entiers, mais n'a pas d'écriture décimale finie.

  2. Question 2. L'écriture $x\in]-4;2]$ signifie :

    • A. $-4\le x\le2$
    • B. $-4<x\le2$
    • C. $-4<x<2$
    • D. $x\le-4\text{ ou }x\ge2$

    Réponse. B. $-4<x\le2$

    Explication. La borne $-4$ est exclue et la borne $2$ est comprise.

  3. Question 3. L'intersection $]-\infty;5]\cap[1;+\infty[$ vaut :

    • A. $[1;5]$
    • B. $]1;5[$
    • C. $]-\infty;1]\cup[5;+\infty[$
    • D. $]-\infty;+\infty[$

    Réponse. A. $[1;5]$

    Explication. On garde seulement les réels qui vérifient les deux conditions à la fois.

  4. Question 4. $|x-3|\le2$ équivaut à :

    • A. $x\in[1;5]$
    • B. $x\in]1;5[$
    • C. $x\in]-\infty;1]\cup[5;+\infty[$
    • D. $x\in[0;6]$

    Réponse. A. $x\in[1;5]$

    Explication. Être à distance au plus 2 de 3 revient à rester entre 1 et 5.

Exercices guidés

Exercice 1. Classer des nombres

Classer $-12$, $2,75$, $\frac27$ et $\sqrt5$ dans l'ensemble le plus précis parmi $\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{D},\mathbb{Q},\mathbb{R}$.

  1. Étape 1. Commencer par les cas simples.

    $-12$ est un entier relatif, donc $-12\in\mathbb{Z}$. Le nombre $2,75$ est un décimal fini, donc $2,75\in\mathbb{D}$.

  2. Étape 2. Traiter le rationnel non décimal.

    Le nombre $\frac27$ est un quotient d'entiers, donc $\frac27\in\mathbb{Q}$. Son écriture décimale n'est pas finie, donc il n'appartient pas à $\mathbb{D}$.

  3. Étape 3. Conclure avec l'irrationnel.

    Le nombre $\sqrt5$ appartient à $\mathbb{R}$ mais pas à $\mathbb{Q}$. Les ensembles les plus précis sont donc respectivement $\mathbb{Z},\mathbb{D},\mathbb{Q},\mathbb{R}$.

Exercice 2. Passer d'une valeur absolue à un intervalle

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $|x+1|<4$.

  1. Étape 1. Repérer centre et rayon.

    On réécrit $|x+1|$ sous la forme $|x-(-1)|$ : le centre est $-1$ et le rayon vaut $4$.

  2. Étape 2. Traduire en double inégalité.

    La condition $|x+1|<4$ devient $-4

  3. Étape 3. Isoler $x$ et conclure.

    On soustrait $1$ : $-5

À retenir