Seconde générale et technologique

Équations, inéquations et systèmes

Résoudre une équation, c'est chercher toutes les valeurs qui rendent une égalité vraie. En Seconde, on attend une méthode lisible, avec des transformations équivalentes et une conclusion claire.

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Équations du premier degré

Résoudre une équation, c'est chercher toutes les valeurs qui rendent une égalité vraie. En Seconde, on attend une méthode lisible, avec des transformations équivalentes et une conclusion claire.

Équation et solution

Une équation est une égalité contenant une inconnue. Une solution est une valeur qui rend cette égalité vraie. Par exemple $x=3$ est solution de $2x-6=0$ car $2\times3-6=0$.

Transformations équivalentes

On peut ajouter, soustraire, multiplier ou diviser par un même nombre non nul dans les deux membres d'une équation sans changer l'ensemble des solutions.

Méthode standard

On regroupe les termes en $x$ d'un côté et les nombres seuls de l'autre. Exemple : $3x-5=2x+7\Longleftrightarrow x-5=7\Longleftrightarrow x=12$.

Équations avec fractions

Quand des fractions apparaissent, on cherche souvent à multiplier toute l'équation par le PPCM des dénominateurs pour simplifier les calculs. Par exemple $\frac{x}{3}-\frac{1}{2}=\frac{5}{6}$ devient, après multiplication par 6, $2x-3=5$, donc $x=4.$

Produit nul

Si $ab=0$, alors $a=0$ ou $b=0$. Cette règle permet de résoudre très vite une équation factorisée, par exemple $\left(2x-1\right)\left(x+4\right)=0$.

Équations de la forme $x^2=a$

Si $a<0,$ l'équation $x^2=a$ n'a pas de solution réelle. Si $a=0,$ la seule solution est $x=0.$ Si $a>0,$ les solutions sont $x=-\sqrt{a}$ et $x=\sqrt{a}.$ Par exemple, $x^2=25$ donne $x=-5$ ou $x=5.$

Inéquations et écriture des solutions

Une inéquation donne un ensemble de solutions. Il faut donc résoudre, puis écrire correctement cet ensemble, le plus souvent avec des intervalles.

Changement de sens

Quand on multiplie ou qu'on divise une inéquation par un nombre négatif, on inverse le sens du signe. Par exemple $-2x\le6\Longleftrightarrow x\ge-3$.

Résolution d'une inéquation linéaire

On suit presque la même méthode que pour une équation, en surveillant le signe. Exemple : $5x-1<9\Longleftrightarrow5x<10\Longleftrightarrow x<2$. On conclut alors $S=]-\infty;2[$.

Signe d'une expression affine $ax+b$

Pour étudier le signe de $ax+b,$ on commence par résoudre $ax+b=0.$ Si $a>0,$ l'expression est négative à gauche de la racine et positive à droite. Si $a<0,$ c'est l'inverse. Ce réflexe prépare les tableaux de signes utilisés ensuite pour les produits et les quotients.

Double encadrement

Résoudre $-1<2x+3\le7$ revient à écrire $-4<2x\le4$ puis $-2

Inéquations produit et quotient

Pour une expression factorisée, on étudie le signe. Par exemple $\left(x-1\right)\left(x+2\right)\ge0$ donne $S=]-\infty;-2]\cup[1;+\infty[$. Pour un quotient, on pense d'abord aux valeurs interdites : si $\dfrac{x-3}{x+1}>0$, alors $x\neq-1$ et on cherche les intervalles où le numérateur et le dénominateur ont le même signe.

Rédaction attendue

Une résolution complète se termine par l'ensemble solution noté $S$. Une simple valeur sans conclusion est insuffisante.

Tableaux de signes et systèmes

Dès qu'un produit, un quotient ou deux équations apparaissent, il faut choisir le bon outil : tableau de signes pour les expressions factorisées, substitution ou combinaison pour les systèmes.

Construire un tableau de signes

Pour une expression factorisée ou un quotient, on suit toujours la même méthode :

  1. on factorise si nécessaire ;
  2. on repère les valeurs qui annulent chaque facteur ;
  3. on repère les valeurs interdites si un dénominateur peut s'annuler ;
  4. on découpe la droite réelle avec ces valeurs ;
  5. on étudie le signe de chaque facteur sur chaque intervalle ;
  6. on combine les signes pour obtenir le signe final.

Dans la marge d'un tableau, on écrit donc les zéros des facteurs, puis on combine les lignes. Cette méthode est beaucoup plus sûre qu'un raisonnement de tête.

Règle utile pour un produit ou un quotient

Un produit est positif quand ses facteurs sont de même signe. Il est négatif quand ils sont de signes contraires. Pour un quotient, l'idée est la même, mais il faut en plus exclure les valeurs qui annulent le dénominateur.

Par exemple, pour $\dfrac{(x-2)(x+1)}{x-5}$, les valeurs importantes sont $-1$, $2$ et $5$, mais $5$ est interdite.

Exemple détaillé sur un produit

Résolvons $\left(x-1\right)\left(x+2\right)\ge0.$ Les changements de signe se font en $x=-2$ et $x=1.$

Sur $]-\infty;-2[$, les deux facteurs sont négatifs, donc le produit est positif.

Sur $]-2;1[$, les facteurs sont de signes contraires, donc le produit est négatif.

Sur $]1;+\infty[$, les deux facteurs sont positifs, donc le produit est positif.

Comme on cherche $\ge0$, on garde aussi les zéros. On conclut :

$S=]-\infty;-2]\cup[1;+\infty[$.

Exemple détaillé sur un quotient

Pour étudier $\dfrac{x-3}{x+1}>0,$ on commence par noter que $x\ne-1.$ Les valeurs clés sont donc $-1$ et $3.$

Sur $]-\infty;-1[$, numérateur et dénominateur sont négatifs : le quotient est positif.

Sur $]-1;3[$, le numérateur est négatif et le dénominateur positif : le quotient est négatif.

Sur $]3;+\infty[$, les deux sont positifs : le quotient est positif.

Comme on cherche $>0$, on ne garde ni $x=-1$, qui est interdite, ni $x=3$, qui annule le quotient. Donc :

$S=]-\infty;-1[\cup]3;+\infty[$.

Méthode de substitution

La substitution consiste à isoler une inconnue dans l'une des deux équations, puis à la remplacer dans l'autre. On transforme ainsi un système à deux inconnues en une seule équation à une inconnue.

Exemple :

$\begin{cases}y=2x+1\\x+y=7\end{cases}$

On remplace $y$ par $2x+1$ dans la deuxième équation :

$x+(2x+1)=7\Longleftrightarrow3x=6\Longleftrightarrow x=2.$

Puis on remonte à $y$ :

$y=2\times2+1=5.$

Méthode de combinaison

La combinaison consiste à additionner ou à soustraire les deux équations pour faire disparaître une inconnue. Cette méthode est très pratique quand les coefficients sont déjà égaux ou facilement opposés.

Exemple :

$\begin{cases}x+y=11\\2x-y=4\end{cases}$

En additionnant les deux lignes, le $y$ disparaît :

$x+y+2x-y=11+4\Longleftrightarrow3x=15\Longleftrightarrow x=5.$

On remplace ensuite dans une équation de départ :

$5+y=11\Longleftrightarrow y=6.$

Quand choisir substitution ou combinaison ?

On choisit souvent la substitution quand une équation est déjà presque isolée, par exemple $y=3x-2$. On choisit souvent la combinaison quand les coefficients d'une inconnue sont déjà opposés ou peuvent facilement le devenir. L'essentiel est de faire disparaître proprement une inconnue pour ramener le problème à une seule équation.

Interprétation graphique

Chaque équation du premier degré à deux inconnues représente une droite. Résoudre le système revient donc à chercher leur point d'intersection. Deux droites sécantes donnent une solution unique.

Trois cas pour un système

Graphiquement, deux droites sécantes donnent une solution unique. Deux droites parallèles distinctes n'ont aucune solution. Deux droites confondues donnent une infinité de solutions. Cette lecture géométrique permet de contrôler rapidement le résultat d'une résolution algébrique.

QCM du chapitre

  1. Question 1. L'équation $2x+3=11$ a pour solution :

    • A. $x=3$
    • B. $x=4$
    • C. $x=5$
    • D. $x=7$

    Réponse. B. $x=4$

    Explication. On soustrait 3 puis on divise par 2.

  2. Question 2. Si on divise une inéquation par $-5$, il faut :

    • A. garder le même sens
    • B. inverser le sens
    • C. ajouter une valeur absolue
    • D. multiplier encore par 5

    Réponse. B. inverser le sens

    Explication. Le sens de l'inégalité s'inverse.

  3. Question 3. Dans un quotient, une valeur qui annule le dénominateur est :

    • A. toujours solution
    • B. interdite
    • C. forcément positive
    • D. une borne fermée

    Réponse. B. interdite

    Explication. Une valeur qui annule le dénominateur doit être exclue.

  4. Question 4. Deux droites sécantes correspondent à :

    • A. aucune solution
    • B. une solution unique
    • C. deux solutions
    • D. une infinité de solutions

    Réponse. B. une solution unique

    Explication. Deux droites sécantes se coupent en un seul point.

Exercices guidés

Exercice 1. Résoudre une inéquation

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $3x-7\ge2x+5$.

  1. Étape 1. Regrouper les termes en $x$.

    On soustrait $2x$ des deux côtés : $x-7\ge5$.

  2. Étape 2. Isoler $x$.

    On ajoute $7$ : $x\ge12$.

  3. Étape 3. Conclure avec un intervalle.

    L'ensemble solution est $S=[12;+\infty[$.

Exercice 2. Résoudre un système par combinaison

Résoudre $\begin{cases}x+y=11\\2x-y=4\end{cases}$.

  1. Étape 1. Additionner les deux équations.

    On obtient $3x=15$, donc $x=5$.

  2. Étape 2. Remplacer pour trouver $y$.

    Dans $x+y=11$, on remplace $x$ par $5$ : on obtient $y=6$.

  3. Étape 3. Rédiger la solution.

    Le système admet pour solution unique le couple $\left(5;6\right)$.

À retenir