Seconde générale et technologique

Fonctions affines, variations et optimisation

Une fonction affine sert à modéliser une situation où la variation est régulière : prix fixe plus prix unitaire, distance parcourue à vitesse constante, coût de fabrication, abonnement avec frais de base, etc. C'est la fonction la plus simple pour faire le lien entre calcul et graphique. Le...

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Définir et interpréter une fonction affine

Une fonction affine sert à modéliser une situation où la variation est régulière : prix fixe plus prix unitaire, distance parcourue à vitesse constante, coût de fabrication, abonnement avec frais de base, etc. C'est la fonction la plus simple pour faire le lien entre calcul et graphique.

Droite représentant une fonction affine
Le coefficient directeur donne la pente de la droite. L'ordonnée à l'origine se lit au point où $x=0$.

Forme générale

Une fonction affine s'écrit $f(x)=mx+p.$ Le nombre $m$ est le coefficient directeur et $p$ est l'ordonnée à l'origine, c'est-à-dire la valeur de $f(0).$ Sa courbe représentative est une droite.

Interpréter $m$ et $p$

Le coefficient $m$ indique de combien la valeur de $f(x)$ change quand $x$ augmente de 1. Si $m=2,$ la valeur augmente de 2 à chaque pas ; si $m=-3,$ elle baisse de 3 à chaque pas. Le terme $p$ donne le point de départ de la droite quand $x=0.$

Exemple concret

Un taxi facture 5 € de prise en charge puis 1,8 € par kilomètre. Le coût s'écrit $C(x)=1{,}8x+5.$ Ici, $x$ est la distance parcourue. On voit immédiatement le sens de la modélisation : un terme fixe, puis un terme proportionnel à la distance.

Cas particulier : la fonction linéaire

Quand $p=0,$ la fonction affine devient $f(x)=mx.$ On parle alors de fonction linéaire. Sa courbe passe par l'origine du repère. C'est le cas des situations de proportionnalité.

Lecture du modèle

Une fonction affine n'est pas seulement une formule : c'est une traduction d'une situation. Il faut donc toujours vérifier que les unités sont cohérentes. Si $x$ représente des heures, alors le coefficient directeur doit s'exprimer en euros par heure, en kilomètres par heure, ou dans l'unité adaptée.

Déterminer l'expression d'une fonction affine

Dans les exercices, on demande souvent de retrouver la formule d'une droite à partir d'informations partielles : deux points, un graphique, un tableau de valeurs ou une situation concrète. Il faut alors relier les données à la forme $mx+p.$

À partir de deux points

Si la droite passe par $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B),$ on calcule d'abord le coefficient directeur $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}.$ Puis on utilise un des deux points pour déterminer $p.$ C'est la méthode la plus sûre pour écrire l'expression complète.

Justifier la variation constante

Pour une fonction affine $f(x)=mx+p,$ on a $f(b)-f(a)=m(b-a).$ Le signe de cette différence dépend donc uniquement du signe de $m.$ C'est cette formule courte qui justifie le sens de variation d'une fonction affine sur tout $\mathbb{R}$.

À partir d'un point et d'une pente

Si on connaît un point et le coefficient directeur, on écrit $f(x)=mx+p,$ puis on remplace $x$ et $f(x)$ par les coordonnées du point pour trouver $p.$ Par exemple, si la droite passe par $A(2;7)$ et si $m=3,$ alors $7=3\times2+p,$ donc $p=1.$

Lien avec le graphique

Sur un graphique, le coefficient directeur se lit comme une pente : plus la droite monte, plus $m$ est positif ; plus elle descend, plus $m$ est négatif. L'ordonnée à l'origine se lit en regardant le point où la droite coupe l'axe vertical.

Exemple de lecture graphique

Si une droite coupe l'axe des ordonnées en 4 et qu'elle monte de 3 unités quand on avance de 1 unité, son équation est $f(x)=3x+4.$ On relie alors directement la lecture du graphique à l'écriture algébrique.

Pourquoi la méthode fonctionne ?

Une droite a une variation constante : quand on avance d'une même quantité sur l'axe des abscisses, l'ordonnée change toujours de la même façon. C'est précisément ce que mesure le coefficient directeur. Une fonction affine est donc le modèle algébrique d'une droite.

Variations et signe

L'un des grands intérêts des fonctions affines est qu'on peut lire très vite leurs variations et leur signe. En Seconde, il faut savoir passer d'une formule à un tableau de variations, puis au signe de l'expression.

Variations

Si $m>0,$ la fonction affine est croissante : quand $x$ augmente, $f(x)$ augmente aussi. Si $m<0,$ elle est décroissante. Si $m=0,$ elle est constante. Ce résultat se lit directement sur la pente de la droite.

Tableau de variations

Si $m>0,$ on place une flèche montante de la gauche vers la droite dans le tableau. Si $m<0,$ on place une flèche descendante. Si $m=0,$ la ligne reste horizontale. Ce tableau résume le comportement de la fonction sur tout $\mathbb{R}$.

Signe d'une fonction affine

Pour étudier le signe de $mx+p,$ on commence par résoudre $mx+p=0.$ Cette valeur découpe ensuite la droite en deux zones : d'un côté l'expression est positive, de l'autre elle est négative. Le sens dépend du signe de $m.$

Lire un signe proprement

On repère d'abord la racine, puis on choisit un point de test ou on utilise le sens de variation. Cette méthode évite de « deviner » le signe au hasard. Elle permet aussi de rédiger un tableau de signe lisible et complet.

Exemple de signe

Pour $f(x)=2x-6,$ la racine est $x=3.$ Comme le coefficient directeur est positif, $f(x)$ est négative pour $x<3$ et positive pour $x>3.$ On peut donc écrire le signe de la fonction à partir d'un tableau simple ou d'une phrase correctement formulée.

Erreur fréquente

Beaucoup d'élèves remplacent le signe du coefficient directeur par le signe du terme constant. Ce n'est pas correct. Le coefficient directeur commande les variations, tandis que l'ordonnée à l'origine donne seulement la valeur au départ, en $x=0.$

Optimiser et comparer des offres

Optimiser, c'est choisir la meilleure valeur possible dans un cadre donné. En Seconde, on travaille surtout sur des fonctions affines ou sur des courbes très simples, avec un intervalle précis. On compare aussi souvent deux offres pour savoir laquelle est la plus avantageuse.

Étudier une fonction sur un intervalle

Si une fonction affine est croissante, son minimum sur un intervalle fermé se trouve à gauche et son maximum à droite. Si elle est décroissante, c'est l'inverse. Cette idée permet d'aller vite sans refaire les calculs pour chaque valeur.

Extremum sur un intervalle

Sur un intervalle fermé $[a;b],$ une fonction affine prend toujours ses extrema aux bornes. Si elle est croissante, le minimum vaut $f(a)$ et le maximum vaut $f(b).$ Si elle est décroissante, c'est l'inverse. Ce vocabulaire d'extrémum est à maîtriser dès la Seconde.

Comparer deux tarifs

Si l'offre A vaut $A(x)=14+2x$ et l'offre B vaut $B(x)=30+x,$ on compare en résolvant $14+2x=30+x.$ On obtient $x=16.$ Pour $x<16,$ A est moins chère ; pour $x>16,$ B devient plus intéressante. Cette méthode est très fréquente dans les problèmes de la vie courante.

Exemple de rédaction

Sur l'intervalle $[0;12],$ la fonction $C(x)=1{,}5x+8$ est croissante. Son minimum est donc $C(0)=8$ et son maximum est $C(12)=26.$ On peut conclure que le coût varie entre 8 € et 26 € sur l'intervalle étudié.

Lecture d'une situation

Si une formule de location comporte 12 € de frais fixes puis 1 € par heure, alors le coût est $L(x)=x+12.$ Sur un graphique, cette droite coupe l'axe des ordonnées en 12 et augmente de 1 lorsque $x$ augmente de 1. Cela permet de vérifier rapidement une proposition de courbe sans refaire toute l'étude algébrique.

Interpréter le résultat

Quand on compare deux offres ou qu'on cherche un extremum, il faut toujours conclure dans le contexte : moins cher, plus grand, plus petit, au début, à la fin, etc. Un résultat sans phrase de conclusion reste incomplet.

QCM du chapitre

  1. Question 1. Dans $f(x)=3x-2,$ le coefficient directeur vaut :

    • A. -2
    • B. 3
    • C. 1
    • D. 5

    Réponse. B. 3

    Explication. Dans $mx+p,$ le coefficient directeur est le coefficient de $x.$

  2. Question 2. Si $m<0,$ une fonction affine est :

    • A. croissante
    • B. décroissante
    • C. constante
    • D. non définie

    Réponse. B. décroissante

    Explication. Un coefficient directeur négatif donne une droite descendante.

  3. Question 3. La racine de $2x-6$ est :

    • A. $-3$
    • B. $3$
    • C. $6$
    • D. $12$

    Réponse. B. $3$

    Explication. On résout $2x-6=0,$ donc $x=3.$

  4. Question 4. Sur un intervalle fermé, le minimum d'une fonction affine croissante se trouve :

    • A. à droite
    • B. au milieu
    • C. à gauche
    • D. il n'existe pas

    Réponse. C. à gauche

    Explication. Une fonction croissante prend ses plus petites valeurs à gauche de l'intervalle.

Exercices guidés

Exercice 1. Étudier une offre tarifaire

Deux formules de location sont proposées. La formule A coûte 14 € de frais fixes puis 2 € par heure. La formule B coûte 30 € de frais fixes puis 1 € par heure. On note $x$ le nombre d'heures louées.

  1. Étape 1. Écrire les deux fonctions.

    On a $A(x)=14+2x$ et $B(x)=30+x.$ Ce sont deux fonctions affines.

  2. Étape 2. Chercher à partir de quand elles coûtent le même prix.

    On résout $14+2x=30+x.$ On trouve $x=16.$ Les deux formules coûtent donc le même prix pour 16 heures.

  3. Étape 3. Comparer les deux offres.

    Si $x<16,$ alors $A(x)16,$ alors $B(x)

  4. Étape 4. Optimiser sur un intervalle.

    Sur l'intervalle $[0;12],$ la formule A est croissante. Son minimum est atteint pour $x=0$ et vaut 14, tandis que son maximum est atteint pour $x=12$ et vaut 38.

  5. Étape 5. Rédiger une conclusion claire.

    On peut donc écrire : « pour une petite durée de location, la formule A est la moins chère ; au-delà de 16 heures, la formule B devient plus avantageuse ». La réponse est plus lisible si elle est liée au contexte.

À retenir